Ce point est appelé barycentre des deux points pondérés (A, α) et (B , β) On note G = bar{(A Théorème 7 : théorème du barycentre partiel Si H = bar{(A,α),( B
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Il s'agit en fait du centre de gravité du triangle ABC (si les trois points sont distincts) 3 Théorème du barycentre partiel - construction du barycentre de trois points
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Ce point est appelé barycentre des deux points pondérés (A, α) et (B , β) On note G = bar{(A Théorème 7 : théorème du barycentre partiel Si H = bar{(A,α),( B
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3 avr 2008 · Théorème : On ne change pas le barycentre de trois points pondérés en remplaçant deux d'entre eux par leur barycentre partiel (s'il existe)
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ce qui définit un unique point G b/ Définition G s'appelle le barycentre des points pondérés (A, a ) , (B, b ) ,
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ou en utilisant le théorème d'associativité qui fait intervenir le barycentre partiel I de (B ; b), (C ; c) affecté du coefficient b + c • 2ème méthode vectorielle utilisant
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II Barycentre de deux points point G, appelé barycentre du système pondéré tel que α → Théorème d'associativité (ou du barycentre partiel 5 H) : Si G
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Chap 5 :?
???BarycentresI. Vecteurs
1) Définitions
Définition 1 :Un vecteur-→uest défini par unedirection, unsenset une longueur (appeléenorme).
La norme du vecteur--→ABest la longueurAB.
Elle est notée???--→AB???
. Ainsi???--→AB??? =AB. Proposition 1 :Lorsque les pointsA,B,CetD, ne sont pas alignés, on a--→AB=--→DC??ABCDest un parallèlogramme.×D×C×
A×B
Définition 2 :Relation de Chasles:
On a --→AB+--→BC=--→AC.×A×B×
C --→AB+--→BC Remarque :??Règle du parallélogramme??:--→AB+--→AC=--→AD??ABDCest un parallèlogramme.
A×B×
D×C--→AB+--→AC
Définition 3 :Dire que (x;y) sont lescoordonnées(uniques) du pointMdans le repère?
O;-→i;-→j?
signifie que---→OM=x-→i+y-→j.On note :M(x;y).
Les coordonnées d"un vecteur-→usont celles du pointMtel que---→OM=-→u. On note :-→u(x;y) . ×O y xM -→i -→j -→uPage 1/7
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Remarque :Ainsi, dire que les coordonnées de-→udans le repère?O;-→i;-→j?
sont (x;y) signifie que -→u=x-→i+y-→j. (On dit aussi que (x;y) sont les coordonnées de-→udans la base?-→i;-→j?2) Colinéarité
Définition 4 :Lorsque le vecteur-→uet le nombreksont non nuls, le vecteurk-→ua :même direction que-→u,
même sens que-→usik>0 et sens contraire sik<0.pour norme le réel|k|×??-→u??.
Remarque :Les vecteurs--→ABet--→BAsont
opposés:--→BA=---→AB. ATTENTION, la??multiplication??et la??division??entre vecteursn"est pas définie. Définition 5 :Deux vecteursnonnuls--→ABet--→CDsontcolinéairess"ils ont la même direction, c"est-à-dire que les droites (AB) et (CD) sont parallèles (voir éventuellement confondues).×A×B
C×D
-→u -→vOn peut également dire que deux vecteurs non nuls--→ABet--→CDsont colinéaires s"il existe un réelktel
que--→AB=k--→CD. Remarque :Parconvention, le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur. Proposition 2 :Trois pointsdistinctsA,BetCsontalignéssi et seulement si il existeun nombrek tel que--→AB=k--→AC.Deux droites (AB) et (CD) sont
parallèlessi et seulement si il existe un nombre ktel que--→AB=k--→CD. On peut caractériser la colinéarité avec les coordonnées.Proposition 3 :les vecteurs-→u(x;y) et-→v(x?;y?) sontcolinéairessi et seulement sixy?-yx?=0.
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(Forme vectorielle du théorèmede Thalès) Théorème 1 :SoitABCun triangle.Msur (AB) etNsur (AC). Si (MN) est parallèle à (BC), on notekle nombre tel que--→AM=k--→AB, on a alors :--→AN=k--→ACet---→MN=k--→BC.A×B×M
C ×N k>0×A×B
M×C×N
k<0(Réciproque)S"il existe un réelktel que--→AM=k--→ABet--→AN=k--→AC, alors (MN) et
(BC) sont parallèles.3) Vecteurs directeurs et équationsde droites
Définition 6 :Unvecteur directeurd"une droite (D) est un vecteur dont la direction est celle de (D). En particulier,--→ABest un vecteur directeur de la droite (AB) et tous les vecteurs directeurs de cette droite sont les vecteursk--→AB, oùkest un réel non nul.×E×
F×A×
B (D) -→u Proposition 4 :Toute droite (D) estcaractériséepar uneéquation cartésiennede la forme ax+by+c=0 , aveca?=0 oub?=0 .Le vecteur
-→u(-b;a) est alors un vecteur directeur de (D).Proposition 5 :Toute droitenon parallèle à l"axe des ordonnéesa uneéquation réduitede la forme :
y=mx+p. Proposition 6 :Les droites d"équationsy=mx+pety=m?x+p?sont parallèles si et seulement sim=m?. Les droites d"équationsax+by+c=0 eta?x+b?y+c?=0 sont parallèles si et seulement siab?-a?b=0 .Page 3/7
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II. Barycentre
1) Barycentre de deux points
La notionmathématiquede barycentreest intuitivementtrèsprochede la notionphysiquede centre de gravité et en fait le centre de gravité est défini comme un barycentre.Théorème 2 :: Définition
SoientAetBdeux points du planP,αetβdeux réels tels queα+β?=0 .Il existe un unique pointGtel que :
--→GA+β--→GB=-→0 .Ce point est appelé
barycentredes deux points pondérés (A,α) et (B,β) .On noteG=bar?(A,α),?B,β??.
-→démonstration Définition 7 :Siα=β?=0(et notammentα=β=1), on dit queGest l"isobarycentredeAetB.Remarque :L"isobarycentre deAetBest le milieu de [AB], c"est le pointItel que-→I A+-→IB=-→0 .
Théorème 3 :Soientαetβtels queα+β?=0 et soientA,BetGtrois points du planP, G=bar?(A,α),?B,β???? ?M?P,α--→MA+β--→MB=(α+β)--→MG. -→démonstration Proposition 7 :Le barycentre de (A,α) et (B,β) est situé sur la droite (AB). -→démonstration Remarque :Siαetβsont de même signe,G?[AB].Siαetβsont de signes contraires,G?[AB].
Si |α|>??β??alorsGest plus près deAque deB. Penser à l"équilibre d"une barre avec une masse à chaque bout. -→démonstration Remarque :Pour tout nombreknon nul :G=bar?(A,α),?B,β??=bar?(A,kα),?B,kβ??.Page 4/7
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Théorème 4 :SoitGle barycentre de (A,α) et (B,β) et?O;-→i;-→j?
un repère du plan. SiA(xA;yA) et siB(xB;yB) alors les coordonnées deGdans ce repère sont : G ?αxA+βxBα+β;αyA+βyBα+β?
-→démonstration2) Barycentre de trois points
Théorème 5 :: Définition
SoientA,BetCtrois points du planP,α,βetγtrois réels tels queα+β+γ?=0 .Il existe un unique pointGtel que :
--→GA+β--→GB+γ--→GC=-→0 .Ce point est appelé
barycentredes trois points pondérés (A,α), (B,β) et (C,γ).On noteG=bar?(A,α),?B,β?,?C,γ??.
-→démonstrationDéfinition 8 :Siα=β=γ?=0 ,(et notamment siα=β=γ=1)on dit queGest l"isobarycentredeA,
BetC. Remarque :Pardéfinitionlecentre de gravitéGd"un triangleABCest l"isobarycentre des pointsA,B etC. On a donc :--→GA+--→GB+--→GC=-→0 .Théorème 6 :Soientα,βetγtels queα+β+γ?=0 et soientA,B,CetGquatre points du planP, on
a alors :G=bar?(A,α),?B,β?,?C,γ??
-→démonstrationPage 5/7
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du barycentre partiel. Pour cela il suffit de penser à l"équilibre d"une barre en T avec des poids aux 3
extremités Théorème 7 :théorème du barycentre partiel SiH=bar?(A,α),?B,β??alors on a l"équivalence : -→démonstration Théorème 8 :SoitGle barycentre de (A,α) , (B,β) et (C,γ) et?O;-→i;-→j?
un repère du plan. SiA(xA;yA) ,B(xB;yB) etC(xC;yC) alors les coordonnées deGdans ce repère sont : G ?αxA+βxB+γxC -→démonstrationPage 6/7
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3) Barycentre denpoints(HP)
On peut généraliser à un nombre plus grand de points la notionde barycentre. Les propriétés resteront
alors similaires. Dans toute la suitenest un entier naturel supérieur ou égal à 2. Théorème 9 :Soientnpoints du planPA1,A2, ...,An,nréelsα1,α2, ...,αntels que1+α2+···+αn?=0 . Il existe un unique pointGtel que :
1---→GA1+α2---→GA2+···+αn---→GAn=-→0 .
Ce point est appelé
barycentredesnpoints pondérés (A1,α1), (A2,α2),..., (An,αn). On noteG=Bar?(A1,α1),(A2,α2),...,(An,αn)?.Théorème 10 :Soientα1,α2, ...,αntelsqueα1+α2+···+αn?=0 et soientA1,A2, ...,AnetGqui sont
n+1 points du planP, on a l"équivalence Théorème 11 :SoitGle barycentre de (A1,α1),(A2,α2),...,(An,αn) et?