[PDF] Barycentre - Lycée dAdultes PDF 07_Rappel_sur_les_vecteurs

3 jan 2011 · On peut alors placer le point G Remarque : L'isobarycentre (α = β = γ) de trois points A, B et C est le centre de gravité du

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ce qui définit un unique point G b/ Définition G s'appelle le barycentre des points pondérés (A, a ) , (B, b ) ,

[PDF] Barycentres : Résumé de cours et méthodes 1 Barycentre de deux

On appelle isobarycentre de deux points A et B, le barycentre de ces deux points pondérés par un même coefficient Il s'agit en fait du milieu du segment [AB]

[PDF] BARYCENTRES I) Barycentre de deux points

Vocabulaire : Lorsque a = b, le barycentre G appelé isobarycentre des points A et B est le milieu du segment [AB] Théorème : Si A et B sont deux points distincts

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Comment définit-on le barycentre de 2 ou 3 points pondérés ? Un tel point existe- t-il toujours ? Peut-il être vite construit en utilisant les vecteurs ? Travail demandé

[PDF] LEÇON N˚ 25 : Définition et propriétés du barycentre de n points

(point B), il serait naturel de placer le point G tel que m GA = m′ GB afin Définition 1 : Lorsque m = 0, on appelle barycentre des n points pondérés {(Ai, ai) i} l'

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3 jan 2011 · On peut alors placer le point G Remarque : L'isobarycentre (α = β = γ) de trois points A, B et C est le centre de gravité du

[PDF] 1 S Barycentres de trois points ou plus

A, B, C sont trois points quelconque du plan a, b, c sont trois réels tels que 0 a b c + + ≠ et 0 a b + ≠ Si G est le barycentre des points pondérés (A ; a),

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I/ Barycentre de deux points a) Définition Soient A et B deux points quelconques, α et β deux réels Il existe un unique point G du plan tel que α−−→

[PDF] 1) Barycentre de deux points ponderes :

Ce point G est appelé barycentre des points pondérés ( ou des points massifs ) Remarque : Lorsque a = b ont dit que G est l'isobarycentre de A , B Il s'agit

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3 avr 2008 · le point G est appelé barycentre des trois points pondérés (A, α) ; (B, β) et (C, γ) Démonstration : calcul par exemple du vecteur → AG α →

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1

Barycentre

Table des matières

1 Rappels sue les vecteurs

1.1 Définition

1.2 Opérations sur les vecteurs

1.2.1 Somme de deux vecteurs

1.2.2 Multiplication d"un vecteur par un scalaire

1.3 Vecteurs et configuration

1.3.1 Le milieu d"un segment

1.3.2 La médiane d"un triangle

1.4 Colinéarité de deux vecteurs

1.5 Géométrie analytique

2 Barycentre de deux points

2.1 Définition

2.2 Propriétés

2.3 Réduction

3 Barycentre de trois points

3.1 Définition

3.2 Associativité

3.3 Réduction

4 Barycentre de n points

4.1 Définition

4.2 Associativité

4.3 Réduction

5 Centre d"inertie d"une plaque homogène

5.1 Principes utilisés par les physiciens

5.2 Application

5.2.1 Exercice 1

5.2.2 Exercice 2

19 PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

21 RAPPELS SUE LES VECTEURS1Rappelssuelesvecteurs

1.1Définition

Définition 1 :Un vecteur~uou!ABest défini par :

êune direction (la droite(AB)).

êun sens (deAversB)

êUne longueur : la norme du vecteurk~ukouAB!

AB=!CDsi et seulement siABDCest un parallélogramme.

1.2Opérationssurlesvecteurs

1.2.1Sommededeuxvecteurs

La somme : la relation de chasles :

AC=!AB+!BC

Cette relation permet de décompo-

ser un vecteur.

On a l"inégalité triangulaire :

k ~u+~vk6k~uk+k~vkConstruction de la somme de deux vecteurs de même origine. On effectue un parallélogramme, afin de reporter le deuxième vecteur permettant d"appli- quer la relation de Chasles.Propriété 1 :La somme de deux vecteurs :

êEst commutative :~u+~v=~v+~u

êEst associative :(~u+~v) +~w=~u+ (~v+~w) =~u+~v+~w êPossède un élélment neutre~0 :~u+~0=~u êtout vecteur possède un opposé~u:!AB=!BA1.2.2Multiplicationd"unvecteurparunscalaire Lorsqu"on multiplie un vecteur par un réelk, appelé scalaire, le vecteur ainsi formék~uest tel que : êSa longueur est multiplié parjkjPAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

1.3 VECTEURS ET CONFIGURATION3êSik>0 son sens est inchangé et sik<0 son sens est inversé.Propriété 2 :La multiplication par un scalaire est distributive par rapport

à l"addition de deux vecteurs ou la somme de deux réels.

êk(~u+~v) =k~u+k~v

1.3.1Lemilieud"unsegment

SiIest le milieu d"un segment[AB]

alors : AI=12 !AB

AI=!IB

!IA+!IB=!0Théorème 1 :SoitABCun triangle. SiIetJsont les milieux respectifs de [AB]et[AC]alors :!IJ=12 !BC1.3.2Lamédianed"untriangle Dans un triangleABC,(AA0)la médiane issue deA, vérifie :

AA0=12

(!AB+!AC)PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

41 RAPPELS SUE LES VECTEURS1.4Colinéaritédedeuxvecteurs

Définition 2 :On dit que deux vecteurs~uet~vsont colinéaires, si et seulement si, il existe un réelktel que : v=k~uPropriété 3 :La colinéarité permet de montrer le parallélisme et l"aligne- ment. êLes droites(AB)et(CD)sont parallèles si et seulement si les vecteurs!AB et!CDsont colinéaires. êLes pointsA,BetCsont alignés si et seulement si les vecteurs!ABet!AC sont colinéaires.Application :SoitABCun triangle,Eest tel que!AE=13 !BC,Iest tel que !CI=23 !CBetFest tel que!AF=13 !AC. Démontrer queI,EetFsont alignés

Faisons d"abord une figure :Exprimons

!EIet!EFen fonction de!AB.

Nous savons que!CI=23

!CBdonc!BI=13 !BC. On en déduit que!AE=!BI donc queAEIBest un parallélogramme. On a alors : !EI=!AB

De plus :

!EF=!EA+!AF 13 !CB+13 !AC 13 (!AC+!CB) 13 !ABPAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

1.5 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE5On en déduit alors :

!EF=13 !EI. Les vecteurs!EFet!EFsont colinéaires et donc les pointsE,FetIsont alignés.

1.5Géométrieanalytique

Propriété 4 :Mis à part les calculs de distance qui exige un repère ortho- normal, les formules suivantes sont valable dans tout repère. êSoit deux pointsA(xA;yA)etB(xB;yB), les coordonnées du vecteur!AB vérifient :!AB=xBxA y ByA êSoit deux pointsA(xA;yA)etB(xB;yB), les coordonnées du milieuIdu segment[AB]vérifient : I=0 B B@x B+xA2 y B+yA2 1 C CA êOn appelle déterminant de deux vecteurs~u(x;y)et~v(x0;y0), le nombre : det(~u,~v) =x x0 y y 0 =xy0x0y êDeux vecteurs sont colinéaires si et seulement si, leur déterminant est

égale à 0

uet~vcolinéaires,det(~u,~v) =0 êDans un repère orthonormal, la norme d"un vecteur~uet la distance entre les pointsA(xA;yA)etB(xB;yB)verifient : jj ~ujj=qx 2+y2 AB=q(xBxA)2+ (yByA)2Application :ABCDest un parallèlogramme.M,N,Qsont tels que : DM=45 !DA,!AN=34 !AB,!CQ=23 !CD La parallèle à(MQ)menée parNcoupeBCenP. Déterminer le coefficientk de colinéarité tel que!BP=k!AD. Faisons une figure, en prenant comme repère(A;!AB,!AD):PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

62 BARYCENTRE DE DEUX POINTSD"après l"énoncé les coordonnées deM,NetQsont :

M 0;15 ,N34 ;0 ,Q13 ;1 CommePest sur(BC), son abscisse est 1. De plus commekest tel que :!BP= k!AD, son ordonné vautk. Les coordonnées dePsont :

P(1;k)

Comme(NP)//(MQ), le déterminant de!MQet!NPest nul, on a : det(!MQ,!NP) =013 0 134 115
k0 =0 13 14 45
k =0 k3 15 =0 k3 =15 k=35

2Barycentrededeuxpoints

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