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L'ensemble est-il un sous espace vectoriel de ℝ 4 ? Si oui, en donner une base Allez à : Correction exercice 5 Exercice 6 Dans l'espace ℝ 4

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3) Donner un syst`eme d'équations de G relativement `a la base canonique de R4 Exercice 4 – Soir E un K-espace vectoriel de dimension 4 et b = (e1,e2,e3,e4 ) 

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En donner une base et la dimension Exercice 10 Soient (E,+,·) un R-espace vectoriel et A,B,C trois sous-espaces vectoriels de E 

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Exercice 1 Soit E un de vecteurs est égal à la dimension du sous-espace vectoriel engendré par ces vecteurs : ii) Donner la dimension et une base de F

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1 2 2 Base de C Soit E l'ensemble des nombres complexes considéré comme un espace vectoriel sur R a Quelle est la dimension de E ?

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Exercice de base, à maîtriser parfaitement (* s'il s'agit d'un exercice classique), Montrer que E est un R-espace vectoriel dont on déterminera une base et la 

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3 Donner, dans R3, un exemple de famille génératrice, mais qui n'est pas libre Exercice 3 Vrai ou faux ? On désigne par E un R-espace vectoriel de dimension  

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Montrer que F ∩ G est un sous-espace vectoriel de E Corrigé i) On a 0 ∈ F,0 Corrigé On a : dim(F + G) = dimF + dimG − dimF ∩ G EXERCICE II Donner une base de E1 Quelle est sa dimension ? Corrigé On a v = (x, y, z, t) ∈ E1 ⇐⇒

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En déduire les coordonnées de e1, e2 et e3 dans la base B ? Exercice 3 – On considére le sous-espace vectoriel F de R4 formé des solutions du syst`eme suivant 

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Algébrique sur les Matrices avec Exercices Corrigés 57 1 Espace vectoriel des matrices 57 En d'autre termes, si un espace vectoriel admet une base alors

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Espaces Vectoriels Pascal lainé

1

Espaces vectoriels

Exercice 1.

Allez à : Correction exercice 1

Exercice 2.

Les familles suivantes sont-elles libres ?

Allez à : Correction exercice 2

Exercice 3.

Les familles suivantes sont-elles libres ?

Allez à : Correction exercice 3

Exercice 4.

Allez à : Correction exercice 4

Exercice 5.

Dans Թସ on considère l'ensemble ܧ

L'ensemble ܧ

Allez à : Correction exercice 5

Exercice 6.

Chercher les relations de dépendance linéaires entre ces vecteurs. Si ces vecteurs sont dépendants, en

extraire au moins une famille libre engendrant le même sous-espace.

Allez à : Correction exercice 6

Exercice 7.

Allez à : Correction exercice 7

Exercice 8.

sont-elles libres?

Espaces Vectoriels Pascal lainé

2

Allez à : Correction exercice 8

Exercice 9.

Dans Թସ, comparer les sous-espaces ܨ et ܩ

Allez à : Correction exercice 9

Exercice 10.

ils linéairement indépendants?

Allez à : Correction exercice 10

Exercice 11.

Allez à : Correction exercice 11

Exercice 12.

Allez à : Correction exercice 12

Exercice 13.

de Թସ. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier votre réponse.

Allez à : Correction exercice 13

Exercice 14.

dans Թସ.

Allez à : Correction exercice 14

Exercice 15.

Թଷ est un sous-espace vectoriel de Թଷ ?

Allez à : Correction exercice 15

Espaces Vectoriels Pascal lainé

3

Exercice 16.

Soit ܧൌܸ݁ܿ

1. Donner une base de ܧ

2. Montrer que ܨ

3. Donner une base de ܨ

4. Donner une base de ܨתܧ

Allez à : Correction exercice 16

Exercice 17.

1. Montrer que ܧ est un sous-espace vectoriel de Թଷ. Déterminer une base de ܧ

3. Est-ce que ݑଷܧא

4. Donner une base de ܨתܧ

Allez à : Correction exercice 17

Exercice 18.

1. Montrer que ܧ

2. Déterminer ܨתܧ

3. A-t-on ܨْܧ

Allez à : Correction exercice 18

Exercice 19.

deux sous-ensembles de Թଷ.

On admettra que ܨ

1. Montrer que ܧ

2. Déterminer une famille génératrice de ܧ

5. A-t-on ܨْܧ

Allez à : Correction exercice 19

Exercice 20.

deux sous-ensembles de Թଷ.

On admettra que ܨ

1°) Montrer que ܧ

2°) Déterminer une famille génératrice de ܧ

Espaces Vectoriels Pascal lainé

4

5°) A-t-on ܨْܧ

Allez à : Correction exercice 20

Exercice 21.

deux sous-ensembles de Թଷ.

On admettra que ܨ

1. Montrer que ܧ

2. Déterminer une famille génératrice de ܧ

5. A-t-on ܨْܧ

Allez à : Correction exercice 21

Exercice 22.

3. Déterminer une ou plusieurs équations caractérisant ܧ

4. Compléter une base de ܧ

Allez à : Correction exercice 22

Exercice 23.

On admettra que ܧ

Première partie

1. Déterminer une base de ܧ et en déduire la dimension de ܧ

2. Compléter cette base en une base de Թସ.

Deuxième partie

3. Montrer que ܨ

4. Déterminer une base de ܨ

5. A-t-on ܨْܧ

Troisième partie

Allez à : Correction exercice 23

Exercice 24.

1. Donner une base de ces deux sous-espaces vectoriels de Թସ.

2. A-t-on ܨْܧ

Espaces Vectoriels Pascal lainé

5

Allez à : Correction exercice 24

Exercice 25.

1. Montrer que ܧ

2. A-t-on ܨْܧ

On justifiera la réponse.

Allez à : Correction exercice 25

Exercice 26.

Soit ܨൌܸ݁ܿ

On admettra que ܧ

1. Donner une base de ܧ

2. Déterminer une base de ܨ

3. Donner une (ou plusieurs) équation(s) qui caractérise(nt) ܨ

4. Donner une famille génératrice de ܧ൅ܨ

5. Montrer que : ܨْܧ

Allez à : Correction exercice 26

Exercice 27.

Soient

On admettra que ܧǡܨଵ et ܨ

3. A-t-on ܨଵܨْ

5. A-t-on ܨْܧ

Allez à : Correction exercice 27

Exercice 28.

1. Montrer que ܧǡܨ et ܪ

espaces vectoriels.

2. Déterminer ܧ൅ܨ

3. Montrer que ܪ۩ܧ

Allez à : Correction exercice 28

Exercice 29.

Espaces Vectoriels Pascal lainé

6 la dimension de ܧ

Allez à : Correction exercice 29

Exercice 30.

On admettra que ܧ

1. Déterminer une base de ܧ

2. Compléter cette base de ܧ

Allez à : Correction exercice 30

Exercice 31.

1. Montrer que ܧ et ܨ

2. Donner une base de ܧ et une base de ܨ

3. A-t-on ܨ۩ܧ

Allez à : Correction exercice 31

Exercice 32.

Allez à : Correction exercice 32

Exercice 33.

Soient ܲ

Allez à : Correction exercice 33

Exercice 34.

Allez à : Correction exercice 34

Exercice 35.

2. Donner une base de ܧ

Allez à : Correction exercice 35

Espaces Vectoriels Pascal lainé

7

Exercice 36.

2. Déterminer une base et la dimension de ܧ

Allez à : Correction exercice 36

Exercice 37.

indépendantes?

Allez à : Correction exercice 37

Exercice 38.

Allez à : Correction exercice 38

Exercice 39.

Soit ܧ

Montrer que ܧ

Allez à : Correction exercice 39

Exercice 40. (Hors programme)

espace vectoriel. b. Vérifier que le système ܵ

Allez à : Correction exercice 40

CORRECTIONS

Correction exercice 1.

Sinon " deviné » ci-dessus.

Allez à : Exercice 1

Correction exercice 2.

1.

Espaces Vectoriels Pascal lainé

8

Donc la famille est libre

3. :

Donc la famille est liée.

Sinon on se lance dans un gros calcul

relation : 4. la première et la seconde

La famille est libre.

Allez à : Exercice 2

Correction exercice 3.

1. Oui évidemment, sinon

2. 3.

Espaces Vectoriels Pascal lainé

9

Il existe une combinaison linéaire non identiquement nulle de ces trois vecteurs, la famille est liée.

4.

La famille est libre.

forment une famille liée, en rajoutant ݁ସ cela ne change rien, la famille est liée.

Allez à : Exercice 3

Correction exercice 4.

Allez à : Exercice 4

Correction exercice 5.

Première méthode

-൅-൅-൅-ൌ- donc -Թరܧא

Deuxième méthode

Espaces Vectoriels Pascal lainé

10

Un vecteur de ܧ

cette famille est déjà génératrice).

Allez à : Exercice 5

Correction exercice 6.

les) relation(s) reliant ces vecteurs.

Autre façon de voir les choses :

Cette dernière relation étant vraie pour tout ߜ et pour tout ߳

Ce ne sont pas les seules relations entre ces vecteurs, si on fait la somme ou la différence, on trouve

dessus avec ߜൌ߳

Allez à : Exercice 6

Correction exercice 7.

Espaces Vectoriels Pascal lainé

11

Allez à : Exercice 7

Correction exercice 8.

1. 2. 3.

Il existe une combinaison linéaire non identiquement nulle de ces trois vecteurs, la famille est liée.

4.

La famille est libre.

forment une famille liée, en rajoutant ݒସ cela ne change rien, la famille est liée.

Allez à : Exercice 8

Correction exercice 9.

réciproquement) ou si les ensemble sont égaux. savoir si les vecteurs qui engendrent ܩ sont dans ܨ

Cela montre que ܨؿܩ

forment une base de ܩ

Espaces Vectoriels Pascal lainé

12 Il faut montrer que les trois vecteurs qui engendrent ܨ de ܨ

On trouve

Autrement dit ܩ est inclus dans ܨ mais ܨ ܩ

Allez à : Exercice 9

Correction exercice 10.

1.

Cette famille est liée.

2. Si ݊ൌ-݌൅ͳ

La famille est libre.

Si ݊ൌ-݌

La famille est liée

3.

La famille est libre.

Allez à : Exercice 10

Correction exercice 11.

génératrice de ܨ

Espaces Vectoriels Pascal lainé

13 mple en trouvant pour ܧ et ܨ ces espaces.

Allez à : Exercice 11

Correction exercice 12.

La réponse est oui.

Allez à : Exercice 12

Correction exercice 13.

1.

Première méthode

Donc Et

On a bien

Deuxième méthode

On cherche une (ou plusieurs) équation cartésien caractérisant ܧൌܸ݁ܿ

Espaces Vectoriels Pascal lainé

14 2. Le tout est de savoir si ݑଵܸא݁ܿ

Par conséquent

4.

Première méthode

Doncquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28