En donner une base et la dimension Exercice 10 Soient (E,+,·) un R-espace vectoriel et A,B,C trois sous-espaces vectoriels de E
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L'ensemble est-il un sous espace vectoriel de ℝ 4 ? Si oui, en donner une base Allez à : Correction exercice 5 Exercice 6 Dans l'espace ℝ 4
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3) Donner un syst`eme d'équations de G relativement `a la base canonique de R4 Exercice 4 – Soir E un K-espace vectoriel de dimension 4 et b = (e1,e2,e3,e4 )
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En donner une base et la dimension Exercice 10 Soient (E,+,·) un R-espace vectoriel et A,B,C trois sous-espaces vectoriels de E
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Exercice 1 Soit E un de vecteurs est égal à la dimension du sous-espace vectoriel engendré par ces vecteurs : ii) Donner la dimension et une base de F
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1 2 2 Base de C Soit E l'ensemble des nombres complexes considéré comme un espace vectoriel sur R a Quelle est la dimension de E ?
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Exercice de base, à maîtriser parfaitement (* s'il s'agit d'un exercice classique), Montrer que E est un R-espace vectoriel dont on déterminera une base et la
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3 Donner, dans R3, un exemple de famille génératrice, mais qui n'est pas libre Exercice 3 Vrai ou faux ? On désigne par E un R-espace vectoriel de dimension
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Montrer que F ∩ G est un sous-espace vectoriel de E Corrigé i) On a 0 ∈ F,0 Corrigé On a : dim(F + G) = dimF + dimG − dimF ∩ G EXERCICE II Donner une base de E1 Quelle est sa dimension ? Corrigé On a v = (x, y, z, t) ∈ E1 ⇐⇒
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En déduire les coordonnées de e1, e2 et e3 dans la base B ? Exercice 3 – On considére le sous-espace vectoriel F de R4 formé des solutions du syst`eme suivant
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Algébrique sur les Matrices avec Exercices Corrigés 57 1 Espace vectoriel des matrices 57 En d'autre termes, si un espace vectoriel admet une base alors
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Exercices corrig´es
Alg`ebre lin´eaire 1
1 Enonc´es
Exercice 1On rappelle que (E,+,·) est unK-espace vectoriel si (I) (E,+) est un groupe commutatif; (II-1)?x,y?E,?α?K,α·(x+y) =α·x+α·y; (II-2)?x?E,?α,β?K, (α+β)·x=α·x+β·x; (II-3)?x?E,?α,β?K,α·(β·x) = (αβ)·x; (II-4) 1·x=x.Soit (E,+,·) unK-espace vectoriel. On note 0El"´el´ement neutre de (E,+) (que l"on appelle aussi
l"originede (E,+,·)) et 0Kle nombre z´ero (dansK). Pour toutxdansE, le sym´etrique dexest not´e
-x. (1) Montrer que, pour toutx?E,x+x= 2·x. (2) Montrer que, pour toutx?E, 0K·x= 0E. (3) Montrer que, pour toutx?E, (-1)·x=-x. Exercice 2SoientF1,...,Fmdes sous-espaces vectoriels d"unR-espace vectoriel (E,+,·). Montrer queF:=F1∩...∩Fmest un sous-espace vectoriel deE. Exercice 3Soient (E,+,·) unR-espace vectoriel,{x1,...,xm}une famille de vecteurs deE. Montrer queF:= vect{x1,...,xm}est un sous-espace vectoriel deE. Exercice 4Soient (E,+,·) unR-espace vectoriel,Fun sous-espace vectoriel deEetA,Bdeux sous-ensembles deE. (1) Montrer que, siA?B, alors vectA?vectB. (2) Montrer queAest un sous-espace vectoriel deEsi et seulement si vectA=A. (3) Montrer que, siA?B?FetAengendreF, alorsBengendreF. Exercice 5Consid´erons les vecteurs deR4suivants : e 1=( ((1 1 1 1) )),e2=( ((0 1 2 -1) )),e3=( ((1 0 -2 3) )),e4=( ((2 1 0 -1) La famille{e1,e2,e3,e4}est-elle libre? Est-ce une base deR4? Exercice 6Consid´erons les vecteurs deR4suivants : e 1=( ((1 1 1 1) )),e2=( ((0 1 2 1) )),e3=( ((1 0 -2 3) )),e4=( ((1 1 2 -2) 1 (1) La famille{e1,e2,e3,e4}est-elle libre? (2) Quel est le rang de la famille{e1,e2,e3,e4}?(3) D´eterminer une relation entre les nombres r´eelsαetβpour que le vecteuru= (1,1,α,β)t
appartienne au sous-espace vectoriel engendr´e par la famille{e1,e2,e3,e4}. Exercice 7SoitE=RR, l"espace des fonctions deRdansR. (1) Soientcetsles fonctions d´efinies par ?x?R, c(x) = cosxets(x) = sinx. Montrer que{c,s}est une famille libre deE. Quelle est la dimension du sous-espace vectorielT engendr´e par la famille{c,s}? (2) Soientα,β,γtrois r´eels fix´es. Soientf,g,hles fonctions d´efinies par ?x?R, f(x) = cos(x+α), g(x) = cos(x+β) eth(x) = cos(x+γ). Montrer quef,g,happartiennent `aT, et expliciter leurs coordonn´ees dans la base{c,s}deT. La famille{f,g,h}est-elle libre? Quel est son rang?(3) Soienta1,a2,a3trois r´eels distincts. Pour tout entierk? {1,2,3}on notefkla fonction d´efinie
surRpar ?x?R, fk(x) =|x-ak|.Montrer que{f1,f2,f3}est une famille libre deE.
Exercice 8(1) On rappelle queC0(R) d´esigne l"espace des fonctions continues deRdansR. Montrer queA:={f? C0(R)|?x?R, f(x) =f(-x)}etB:={f? C0(R)|?x?R, f(x) =-f(-x)}sont des sous-espaces vectoriels deC0(R). Sont-ils en somme directe? (2) Montrer queA:={(x,y,z)?R3|x+y+z= 0}etB:={(x,y,z)?R3|x-y+z= 0}sont des sous-espaces vectoriels deR3. Sont-ils en somme directe? Exercice 9(1) SoientF:={(x,x,x)?R3|x?R}etG:={(0,y,z)?R3|y,z?R}. Montrer que FetGsont deux sous-espaces vectoriels deR3. Pr´eciser leurs bases et leurs dimensions. Sont-ils en somme directe? (2) SoitH:={(x,y,z,t)?R4|x= 2y-z, t=x+y+z}. V´erifier queHest un sous-espace vectoriel deR4. En donner une base et la dimension. Exercice 10Soient (E,+,·) unR-espace vectoriel etA,B,Ctrois sous-espaces vectoriels deE. (1) Montrer que (A∩C)+(B∩C)?(A+B)∩C. Donner un exemple dansR2pour lequel l"inclusion est stricte. (2) Montrer que, siA+B=A+C,A∩B=A∩CetB?C, alorsB=C. Exercice 11On consid`ere l"application donn´ee par ?:R3-→R3 (x y z) (-x+ 2y+ 2z -8x+ 7y+ 4z -13x+ 5y+ 8z) (1) Montrer que?est une application lin´eaire. D´eterminer l"image par?des vecteurs de la base canonique{e1,e2,e3}deR3. Calculer?(2e1+e2-e3). (2) D´eterminer le noyau de?. En donner une base et pr´eciser sa dimension. 2 (3) L"application?est-elle injective? surjective? bijective? (4) Soitψl"application lin´eaire donn´ee parψ:R2-→R3
x y? (x-y x+y x+ 2y)D´eterminer?◦ψ.
Exercice 12On consid`ere l"application donn´ee par ?:R3-→R2 (x y z) ?-→?y+z x? ainsi que les vecteursu:= (1,2,3)tetv:= (1,1,1)t. (1) Montrer que?est lin´eaire. D´eterminer?(u),?(v) et?(u-2v). (2) D´eterminer le noyau de?. En donner une base et pr´eciser sa dimension. (3) D´eterminer l"image de?. En donner une base et pr´eciser sa dimension. Exercice 13SoientEetFdeuxR-espaces vectoriels et?une application lin´eaire deEdansF. SoitA:={x1,...,xm}une famille de vecteurs deE.
(1) Montrer que, siAest li´ee, alorsf(A) ={?(x1),...,?(xm)}est li´ee. (2) Montrer que, si?(A) est libre, alorsAest libre. (3) Montrer que, siAest libre et?est injective, alors?(A) est libre.2 Solutions
Solution de l"exercice 1
(1) Pour toutx?E, 2·x= (1 + 1)·x= 1·x+ 1·x=x+x, o`u l"on a utilis´e successivement les
axiomes (II-2) et (II-4). (2) On a : 0K·x= (0K2)·x
= 0K·(2·x) [d"apr`es l"axiome (II-3)]
= 0K·(x+x) [d"apr`es la question (1)]
= 0K·x+ 0K·x.
En simplifiant (c"est-`a-dire, en ajoutant-(0K·x) des deux cˆot´es), on obtient l"´egalit´e 0E= 0K·x.
(3) D"apr`es la question (2), 0 E= 0K·x= (1 + (-1))·x= (1·x) + ((-1)·x) =x+ ((-1)·x), o`ula troisi`eme ´egalit´e r´esulte de l"axiome (II-2) et o`u la derni`ere ´egalit´e r´esulte de l"axiome (II-4).
On en d´eduit que (-1)·xest le sym´etrique dex, c"est-`a-dire,-x. Solution de l"exercice 2: Nous devons montrer que pour tousx,y?Fet pour toutα?R, x+αy?F. Soient doncx,y?Fetα?Rquelconques. Par d´efinition de l"intersection, pour tout k? {1,...,m},x,y?Fk. CommeFkest un sous-espace vectoriel deEnous d´eduisons que x+αy?Fk, 3 et ce pour toutk? {1,...,m}. Doncx+αyappartient `a l"intersection desFk, c"est-`a-dire, `aF. Solution de l"exercice 3: Remarquons tout d"abord queFest non vide, puisque que 0E= 0·x1+···+ 0·xm?F.
Soientx,y?Fetα?Rquelconques. Alorsxetys"´ecrivent avecα1,...,αm,β1,...,βm?R. Donc, x+αy= (α1x1+···+αmxm) +α(β1x1+···+βmxm) = (α1+αβ1)x1+···+ (αm+αβm)xm.Par cons´equent,x+αyest une combinaison lin´eaire des vecteursx1,...,xm, c"est-`a-dire, un ´el´ement
deF.Solution de l"exercice 4:
(1) Supposons queA?B, et montrons que tout ´el´ement de vectAappartient `a vectB. Soit doncx quelconque dans vectA. SiA=∅, alors vectA={0}et doncxest forc´ement le vecteur nul. Comme vectBest un sous-espace vectoriel, vectB?0 et l"on a bien vectA?vectB. SiAest non vide, alors PuisqueA?B, lesxksont aussi dansB, de sorte quexest une combinaison lin´eaire de vecteurs deB, c"est-`a-dire, un ´el´ement de vectB. On a donc encore vectA?vectB. (2) Supposons queA= vectA. Puisque vectAest un sous-espace vectoriel, il en est de mˆeme deA. R´eciproquement, supposons queAsoit un sous-espace vectoriel, et montrons queA= vectA.Remarquons que tout ´el´ement deAest une combinaison lin´eaire particuli`ere d"´el´ements deA
(prendrep= 1,α1= 1 etx1=x). Donc on a clairement l"inclusionA?vectA. De plus, siA est un sous-espace vectoriel, alorsAest non vide. Soit alorsx?vectA: PuisqueAest stable par combinaison lin´eaire,x?A. On a donc aussi l"inclusion vectA?A. (3) D"apr`es le point (1), vectA?vectB?vectF. Or, vectF=FpuisqueFest un sous-espace vectoriel. De plus, vectA=FpuisqueAengendreF. Finalement, on a :F?vectB?F,
ce qui montre que vectB=F. Autrement dit,BengendreF.Solution de l"exercice 5: On r´esout l"´equation vectorielleαe1+βe2+γe3+δe4=0. Ceci revient
r´esoudre le syst`eme lin´eaire???? ??0 =α+γ+ 2δ,0 =α+β+δ,
0 =α+ 2β-2γ,
0 =α-β+ 3γ-δ.
On trouve que la seule solution possible estα=β=γ=δ= 0. Donc la famille{e1,e2,e3,e4}est libre, et puisque son cardinal est ´egal `a la dimension deR4, c"est une base deR4. 4Solution de l"exercice 6:
(1) On r´esout l"´equation vectorielleαe1+βe2+γe3+δe4=0. Ceci revient r´esoudre le syst`eme
lin´eaire ??0 =α+γ+δ,0 =α+β+δ,
0 =α+ 2β-2γ+ 2δ,
0 =α+β+ 3γ-2δ.
On trouve que ce syst`eme est ´equivalent au syst`eme ?0 =α+γ+δ,0 =β-γ,
0 =γ-δ.
Ce syst`eme admet d"autres solutions que la solution nulle. On en d´eduit que{e1,e2,e3,e4}n"est pas libre.(2) D"apr`es ce qui pr´ec`ede, le rang de la famille{e1,e2,e3,e4}est inf´erieur ou ´egal `a 3. On consid`ere
alors la famille{e1,e2,e3}. On v´erifie facilement qu"elle est libre, de sorte que le rang cherch´e
est en fait ´egal `a 3. (3) Pour queuappartienne ausevengendr´e par{e1,e2,e3,e4}, il faut que l"´equation vectorielle u=αe1+βe2+γe3+δe4 admette au moins une solution. On cherche donc `a r´esoudre le syst`eme lin´eaire ??1 =α+γ+δ,1 =α+β+δ,
a=α+ 2β-2γ+ 2δ, b=α+β+ 3γ-2δ. On v´erifie que ce syst`eme est ´equivalent au syst`eme ??1 =α+γ+δ,0 =β-γ,
a-1 =-γ+δ, b-1 = 3γ-3δ.En consid´erant les deux derni`eres ´equations, on voit que le syst`eme n"a de solution que sib-1 =
-3(a-1), c"est-`a-dire, sib+ 3a= 4.