[PDF] [PDF] Chapitre 2 Formes quadratiques

[PDF] Chapitre 2 Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques

2 1 2 Matrice d'une forme bilinéaire symétrique On suppose E de la matrice M de la forme quadratique q dans la base E est la matrice de sa forme polaire La

[PDF] FORMES QUADRATIQUES - Licence de mathématiques Lyon 1

On appelle matrice associée à q dans B la matrice de sa forme polaire PROPOSITION 15 : Soit q forme quadratique représentée par A dans B Soit B' une autre 

[PDF] Chapitre 2 Formes quadratiques

C'est aussi le rang de la matrice Aq dans n'importe quelle base Pour terminer, à une forme quadratique, on peut associer le cône isotrope Cq = {x 2 E, q(x)=0} 

[PDF] Formes quadratiques réelles Exemples et applications

2 nov 2014 · Définition 5 Soit q une forme quadratique sur E de dimension finie et B = (e1, , en) une base de E On appelle matrice de q dans la base B la

[PDF] Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie

Soit A la matrice associée à q dans une base B Alors, si x ∈ E a pour vecteur matrices Exemple 4 ([dSP] p 51) La forme quadratique q : R3 −→ R (x, y, z) 

[PDF] Cours de Mathématiques - Institut de Mathématiques de Toulouse

Matrices orthogonales 9 3 Matrices symétriques 11 4 Application aux formes quadratiques réelles 13 Chapitre 3 Fonctions de plusieurs variables 17 1

[PDF] Chapitre 5 Formes quadratiques et matrices symétriques

7 mar 2013 · Matrices symétriques et formes quadratiques 67 Chapitre 5 Formes On dit que la forme quadratique Q est définie positive si ∀X = 0 ∈ E

[PDF] Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques

Soit B une autre base de E, et soit P la matrice de passage de B `a B , c'est-`a- dire la matrice telle que pour tout vecteur x de E, ayant les matrices colonnes X et X 

[PDF] TP 1 : réduction des formes quadratiques 1 Cas générique

carrés de formes linéaires On rappelle si besoin est qu'une forme quadratique sur Rn est associée `a une matrice symétrique S telle que q(x1,x2, ··· ,xn) = XtSX,

[PDF] montrer que q est une forme quadratique

[PDF] dessin industriel cours pdf

[PDF] coupes et sections dessin technique exercices corrigés

[PDF] bases du dessin technique pdf

[PDF] dessin technique

[PDF] cours et exercices avec solutions

[PDF] dessin technique exercices corrigés pdf

[PDF] cours de dessin technique mécanique pdf

[PDF] cours d'échographie gratuit

[PDF] manuel d'échographie

[PDF] cours echographie abdominale pdf

[PDF] prf doppler

[PDF] principe d'échographie

[PDF] cryptography engineering design principles and practical applications

[PDF] cryptographie pdf

Chapitre2

Formesquadratiq ues

Youkno w,thereareamill ionwaystodiein thewest,C lin ch.There's,uh,famine , disease,gunfights...And,uh, wild animals.Youknow,likesnakes. And,you know,the funnything is,youd on'teven havetoget bitten.

AMillionWaystoDieintheWest,Se thMacFarlane( 2014)

2.1Prérequis surlesformesquadratiques

Touteslespreuvess ontdans[3 ,Chap.V,AnnexesAetB].

Formesquadratiqu es,diversesapproches

Lesformes quadratiquespeuve ntêtreabordéesdedi ff

érentesfaçons:parles fonctions

polynômes,parlesformesbilin éairessym étriques ,parlesmatrices,et même,dansune certainemesure,par leurscônesisotrop es. Commençonsparunepremièredéfi nition.So itEunespa cevectorielde dimension finiensuruncorps K.Sil'onfixeunebasedeE,onpeutassimilerl'espaceEàl'espace vectorielK n .UneformequadratiquesurEestalorstout simplementune fonctio npoly- nômehomog ènededegré2surK n

àcoe

ffi vérifierquecettedéfi nitionned épendpasdelaba sechoisie. Silaca ractéristiquede Kestdifférentede2,cequel'onsupposeraparlasuite,la théoriepartdubonpied. Ene ff et,dansce cas,ilestéq uivale ntdedéfiniru neform e quadratiqueqsurEetuneformebilinéaire symétriquebsurE⇥Evialesform ules b(x,y)= q(x+y)q(x)q(y) 2 ,q(x)=b(x,x). L'étudedes formesqua dratiquesseramènea lorsàcelledesformesbilinéaires symé- triques.Celapermet,entre autres,de définirlanotiond'orth ogonalité:deux vecteursx 87

88CHAPITRE2.FORMESQUAD RATIQU ES

Laforme bilinéairea ssociéeàqpermetenoutreded éfiniru neapplicationl inéair e b entreEetsondual E ;explicitement:

8(x,y)2E⇥E,h

b (x),yi=b(x,y), oùE désigneledualde Eeth·,·i:E ⇥E!Kdésigneicil'évalua tion(d'une forme linéaireenunv ecteur). Grâceà cetteapplica tionlinéaire,nous pouvonsfairelelienavec lesmatrices! On peutene ff etdéfin irlamatrice(symét rique) delaformeq(oudelaforme b)dansune basefixéeepar mat e (q)=ma t e,e b b(e j ,e i

1i,jn

oùe désignelabasedua lede e. SixetydansEs'écriventrespectivementXetYencolonnedans labasee,alorson obtientlesformules: q(x)= t XA q

X,b(X,Y)=

t XA q Y, oùA q désignelamatricede qdanse.

Plusprécis ément,sil'onnoteA

q =(a ij ),alorsqs'écrit q(x)= n X i=1 a ii x 2 i X

1i a ij x i x j ,avecx= n X i=1 x i e i Celasignifi equel'écrituredeqentant quefonctionpolynomialeestunique,puisque lamatrice A q esten tièrementdéterminéeparb,etquebeste ntièrementdéterminéeparq (encaract éristiquedi ff érentede2).Dita utrement,o npeutidentifierpolynôme etfonction polynômeendegréhomogè ne2(c'est-à-dire,pourlesformesquad ratiques). Ilconv ientégalementdedéfinirlenoyauetle rangd'uneforme quadrat ique.On appelle noyaudeblenoy audumorphismeassocié b

Kerb=Ker

b ={x2E:8y2E,b(x,y)=0}. Ondit quebestnondégénér éesiso nnoyauestréduit à{0}.Danscecas,lamatriceA q estinv ersible. Plusgénér alement,onappellerangdeq,lerangdel'applicationlinéaire b .C'e st aussiler angdela matriceA q dansn'importe quellebase. Pourtermin er,àuneformequadratique,on peu tassocier lecôneisotrope C q ={x2E,q(x)=0}, quel'on neconfondrapas avec lenoyaudelafo rme! Onver radansl'exercice 2.2.3,quesile côneisotropeestnonréduitàzér o,ilcaracté- riseqàscalaireprès 1 1 L'idéeestque laq-orthogonalitésevoitsurlecôneisotr ope.

2.1.PRÉREQUISSU RLESFORMESQUADRATIQUES 89

Ondi raquedeuxformesq uadratiquesqetq

0 sontcongruentess'ilexiste'dansGL(E)tel queq 0 desfo rmesquadratiques,etl'o nentendpar"classificatio ndesfo rmesquadratiques» l'étudedescla ssesd'équiva lencepourcetterela tion. Sil'on munitEd'uneb asee,onpeutvoirlacongruencedefaçonmatricielle: A q 0= t PA q

P,avecP:=mat

e Ondi radoncquedeuxm atrices(symétr iques)AetBsontcongruentess'ilexisteune matricePdeGL n (K)tellequeB= t PAP. Onpeu tconsidérerla congruencematriciellede deuxfaçons: •soitA=mat e (q)etB=mat e (q 0 ),avecq 0 etqcongruentes,etdanscecas Pestla matriced'unauto morphisme'telque q 0 =q'; •soitA=mat e (q)etB=mat e

0(q),etdanscecasPestlamatrice depassagede la

baseeverslabase e 0 Enfin,lanotion decong ruencesetransfère surles cônesisotropespuisque,siq 0 =q', alors C q 0=' 1 (C q Onclassi fieraainsiàl'envilescôn esisotropes,les formes quadratiques,lesmatri cessy- métriques.On pourraaussi déciderd'a ffi nerlacla ssification endemandantque',resp.P, n (K).SurR,legroupepourra êtrelegroup eorthogonal(classification euclidienne),oulegroupe dessimilitudes.

Invariantspourlaclassification

Laqu estionquel'onseposeàprésent estlasuiv ante:q u'est-ce quedeuxformesquadra- tiques,ou deuxmatricessymétriques,cong ruentes,o ntencomm un?I nversement,com- mentreconnaître deuxformesquadratiques,oudeux matrices,co ngruentes?O nattaque icilepro blèmeprofo nddelarecherc hed'invariantsdeco ngruence. C'estsousform ematriciell equel'onvoitlem ieuxlesinvariants,puisquelesmatr ices serapporten tauxapplicationslinéairesquel'onconnaîttrèsbien. Lerang estdéjàunpre mierinva riantintéres sant. Ene ff et,comme t

PAPetAsont

deuxmatrices équivalentes,elles ontmêmerang. Ledéterminan t,quiétaituninva riant desimilitude,n'estenreva nchepa suninvariant decong ruence,puisquedet( t

PAP)=det(A)det(P)

2 .Toutefois,decetteégalité,onpeut récupéreruninv arian tutile:lediscriminantd'uneforme quadratique;ils'a gitdudéter- minantdemat e delaba seechoisie.Parexemple,surR,lediscriminantestjustelesignedudéterminant cartoutcom plexe estuncarré. Lanotio ndepositivitésurleco rpsR,dueaufaitquec'estuncorpsordonné,est intéressanteàexploiterdans lecadre delaclassificationdesformesquadratiques surR:à uneforme quadratiqueq,onassociesasignature(s,t)oùs,resp.t,désignelemaximumde ladimension d'unsous-espaceFdeEtelqueq|Festdéfinie positive, resp.définienégative.

90CHAPITRE2.FORMESQUAD RATIQU ES

Rang,discr iminantetsignaturesontlestroisinvarian ts decongruenceàdispositionde l'étudiantenmastère.Maiscommen tsecal culent-ils?Enfait,commei lssontinv ariants,quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21