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[PDF] Chapitre 2 Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques

2 1 2 Matrice d'une forme bilinéaire symétrique On suppose E de la matrice M de la forme quadratique q dans la base E est la matrice de sa forme polaire La

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On appelle matrice associée à q dans B la matrice de sa forme polaire PROPOSITION 15 : Soit q forme quadratique représentée par A dans B Soit B' une autre 

[PDF] Chapitre 2 Formes quadratiques

C'est aussi le rang de la matrice Aq dans n'importe quelle base Pour terminer, à une forme quadratique, on peut associer le cône isotrope Cq = {x 2 E, q(x)=0} 

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2 nov 2014 · Définition 5 Soit q une forme quadratique sur E de dimension finie et B = (e1, , en) une base de E On appelle matrice de q dans la base B la

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Soit A la matrice associée à q dans une base B Alors, si x ∈ E a pour vecteur matrices Exemple 4 ([dSP] p 51) La forme quadratique q : R3 −→ R (x, y, z) 

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Matrices orthogonales 9 3 Matrices symétriques 11 4 Application aux formes quadratiques réelles 13 Chapitre 3 Fonctions de plusieurs variables 17 1

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7 mar 2013 · Matrices symétriques et formes quadratiques 67 Chapitre 5 Formes On dit que la forme quadratique Q est définie positive si ∀X = 0 ∈ E

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Soit B une autre base de E, et soit P la matrice de passage de B `a B , c'est-`a- dire la matrice telle que pour tout vecteur x de E, ayant les matrices colonnes X et X 

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carrés de formes linéaires On rappelle si besoin est qu'une forme quadratique sur Rn est associée `a une matrice symétrique S telle que q(x1,x2, ··· ,xn) = XtSX,

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Formes quadratiques reelles.

Exemples et applications

Caroline Robet

2 novembre 20141

Introduction

La notion de forme quadratique na^t avec l'etude des coniques par Fermat au dix-septieme siecle puis celle des quadriques par Euler au dix-huitieme. On va montrer dans ce memoire que l'etude algebrique des formes quadratiques permet de deduire des resultats aussi bien en geometrie qu'en analyse.

1 Forme quadratique et algebre bilineaire

1.1 Denitions et premieres proprietesDenition 1.Soient E et F deuxR-espaces vectoriels et une application

':EF!R (x;y)7!'(x;y). On dit que'est bilineaire si : {8x2E,y!'(x;y)est lineaire. {8y2F,x!'(x;y)est lineaire.

De plus,'est symetrique si8(x;y)2E2,'(x;y) ='(y;x)Denition 2.On appelle forme quadratique sur E toute application q de la

forme q:E!R x7!'(x;x)ou'est une forme bilineaire symetrique sur E.

Exemples

Dans R3,q(x;y;z) = 3x2+y2+ 2xy3xzest une forme quadratique.

En dimension in nie,q : R[X]!Rdenie parq(P) =R1

0P(x)P00(x)dx

est une forme quadratique surR[X]Proposition 3.Soit q une forme quadratique sur E. Il existe une unique

forme bilineaire symetrique'telle que8x2E,q(x) ='(x;x). La forme bilineaire's'appelle la forme polaire de q. 2 Proposition 4.Identite de polarisationSoit'la forme polaire associee a la forme quadratique q alors on a : {'(x;y) =12 q(x+y)q(x)q(y) {'(x;y) =12 q(x+y)q(xy) Les identites de polarisation permettent de prouver qu'il y a equivalence entre se donner une forme bilineaire symetrique ou se donner une forme qua- dratique.

Exemples

Le pro duitscalaire dans un espace euclidien a p ourforme quadratique associee :jj:jj2. Si q:Mn(R)!R

A7!tr(tAA)alors la forme polaire associee a cette

forme quadratique est'(A;B) =tr(tAB) P ourune v ariableal eatoireX admettan tun momen td'ordre 2, v ar(X) est une forme quadratique de forme polaire cov(X,Y) Ecriture en dimension nie :Soient E de dimension nie etB= (e1;:::;en) une base de E. Alors pour toutx=Pn i=1xieiet pour touty=Pn i=1yieion peut ecrire matriciellement'(x;y) comme : '(x;y) =nX i;j=1x iyj'(ei;ej) =tXMY avec M= '(ei;ej) i;j2f1:::ng, X=(x1;:::;xn)tet Y=(y1;:::;yn)t Changement de base: Soit E de dimension nie n. SoientBetB0deux bases de E. Si P est la matrice de passage deBaB0(P=MatB(B0)),M= Mat B(') etM0=MatB0(') alorsM0=tPMPDenition 5.Soit q une forme quadratique sur E de dimension nie et B= (e1;:::;en)une base de E. On appelle matrice de q dans la baseBla matrice de la forme polaire'de q dans la baseB: M='(ei;ej) i;j2f1:::ng.

Le rang de q est le rang de cette matrice.

3

Remarques:

Le rang de q est aussi le rang de sa forme p olaire. Gr^ ace ala form ulede c hangementde base, on prouv eque le rang de la forme quadratique ne depend pas de la base choisie. En eet, deux matrices congrues ont m^eme rang. Exemple: DansR3,q(x;y;z) = 3x2+y2+ 2xy3xza pour matrice dans la base canonique0 @3 13=2 1 1 0

3=2 0 01

A qui est de rang 3 donc q est de rang 3.Denition 6.On appelle noyau de q le sous-espace vectoriel de E note

Ker(q) deni par

Ker(q) =fx2Ej8y2E;'(x;y) = 0g

avec'la forme polaire de q. La forme q est dite non-degeneree siKer(q) =f0g, degeneree sinon. Remarque:det(M)6= 0,q est non-degeneree ou M est la matrice associee a la forme quadratique q.

Exemples:

Dans l'exemple pr ecedent,M= 0

@3 13=2 1 1 0

3=2 0 01

A on adet(M) =94

6= 0 donc q est non-degeneree.

{Soit f et g deux formes lineaires sur E de dimension n alors pour n>3, la forme quadratique q(x)=f(x)g(x) est degeneree.En eet, son rang est inferieur ou egal a 2 donc son noyau est non reduit a 0.

1.2 Formes quadratiques positives, denies positives

On va desormais s'interesser tout particulierement aux formes quadra- tiques positives et denies positives pour lesquelles on a des inegalites. 4 Denition 7.Soit q une forme quadratique. On dit que q est denie si q(x)=0,x= 0Denition 8.q est dite positive si8x2E,q(x)>0

Remarque: q est denie positive si8x6= 0,q(x)>0

Exemple:q(A) =tr(A)2est positive mais non denie carq(0 1 0 0 )=0Proposition 9.Si q est denie alors q est non-degeneree. Demonstration.Par contraposee, supposons q degeneree alors il existe x non nul tel que pour touty2E,'(x;y) = 0. En particulier pour x=y,'(x;x) = 0 donc q est non-denie.Remarque: La reciproque est fausse. En eet,q(x;y) =x2y2est

non-degeneree mais q n'est pas denie car q(x,x)=0,8x2ETheoreme 10.Inegalite de SchwarzSi q est positive alors8(x;y)2E2,

j'(x;y)j26q(x)q(y) Si de plus, q est denie il y a egalite si et seulement si x et y sont lies. Demonstration.On a8t2R,q(tx+y) =t2q(x) + 2t'(x;y) +q(y)>0 car q est positive. Si q(x)=0, alors on a8t2R, 2t'(x;y)+q(y)>0 ce qui entra^ne'(x;y) = 0 Siq(x)6= 0, alors on a un polyn^ome du second degre qui ne change pas de signe. Son discriminant 4'(x;y)2q(x)q(y) est donc negatif d'ou l'inegalite. Pour le cas ou q est de plus denie, on a egalite lorsque le discriminant est nul. C'est a dire si il existet0tel queq(t0x+y) = 0 ce qui equivaut at0x+y= 0 car q est denie. Donc x et y sont lies.5 Corollaire 11.Inegalite de MinkowskySi q est positive alors

8(x;y)2E2;pq(x+y)6pq(x) +pq(y)

Demonstration.Par Schwarz, on a

q(x+y) =q(x) + 2'(x;y) +q(y)6q(x) + 2pq(x)q(y) +q(y)

doncq(x+y)6(pq(x) +pq(y))2d'ou l'inegalite.L'inegalite de Minkowsky est donc une consequence immediate de l'inegalite

de Schwarz. Elle exprime que si q est positive alorsS(x) =pq(x) denit une semi-norme. Si de plus, q est denie alors S est une norme.

2 Orthogonalite et isotropie

2.1 OrthogonaliteDenition 12.{Deux ve cteursx et y de E sont dit ortho gonauxselon

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