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Arithmétique - COURSES

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Révisions danalyse Exercices Corrigés - cpgedupuydelomefr

bilité des fonctions de variable réelle à valeurs réelles ou complexes 8 Notons f et g ces deux 

07 - Réduction dendomorphismes Cours complet

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr]édité le 24 septembre 2016 Enoncés1Exercice 1[ 02650 ][Correction]

On noteVl"ensemble des matrices à coecients entiers du type

0BBBBBBBBBBBB@a b c d

d a b c c d a b b c d a1

CCCCCCCCCCCCA

etGl"ensemble desM2Vinversibles dansM4(R) et dont l"inverse est dansV. (a)

Quelle est la structure de G?

(b) Soit M2V. Montrer queM2Gsi, et seulement si, detM=1. (c) Donner un groupe standard isomorphe à Gmuni du produit.

Exercice 2[ 02649 ][Correction]

Soit (G;:) un groupe fini tel que

8g2G;g2=e

oùeest le neutre deG. On supposeGnon réduit àfeg. Montrer qu"il existen2Ntel queGest isomorphe à ((Z=2Z)n;+).

Exercice 3[ 02648 ][Correction]

SoitGun groupe,Hun sous-groupe deG,Aune partie non vide deG. On pose AH=fahja2A;h2Hg. Montrer queAH=Hsi, et seulement si,AH.

Exercice 4[ 02677 ][Correction]

SoitKun corps,Eun espace vectoriel de dimension finiensurKetLun sous-corps deK tel queKest un espace vectoriel de dimension finiepsurL. Montrer queEest un espace vectoriel de dimension finieqsurL. Reliern;p;q.

Exercice 5[ 02662 ][Correction]

SoitK=Q+p2Q+p3Q+p6Q.

(a) Montrer que (1 ;p2;p3;p6) est uneQ-base duQ-espace vectorielK. (b)

Montrer que Kest un sous-corps deR.

Exercice 6[ 02658 ][Correction]

(a) Pour ( a;n)2ZNaveca^n=1, montrer quea'(n)=1[n].(b)Pour ppremier etk2f1;:::;p1g, montrer quepdivisep k. (c) Soit ( a;n)2(N)2. On suppose quean1=1[n]. On suppose que pour toutx divisantn1 et diérent den1, on aax,1[n]. Montrer quenest premier.

Exercice 7[ 02660 ][Correction]

Sipest un nombre premier, quel est le nombre de carrés dansZ=pZ?

Exercice 8[ 02661 ][Correction]

Soitpun nombre premier. On noteZpl"ensemble desa=boù (a;b)2ZNetpne divise pasb. On noteJpl"ensemble desa=boù (a;b)2ZN,pdiviseaetpne divise pasb. (a)

Montrer que Zpest un sous-anneau deQ.

(b) Montrer que Jpest un idéal deZpet que tout idéal deZpautre queZpest inclus dans J p. (c)

Déterminer les idéaux de Zp.

Exercice 9[ 03929 ][Correction]

(a) Déterminer l"ensemble des in versiblesde l"a nneauZ=8Z. De quelle structure peut-on munir cet ensemble? (b) Y a-t-il, à isomorphisme près, d"autres groupes de cardinal 4 ?

Exercice 10[ 02713 ][Correction]

Trouver lesAdeMn(C) telles que

A

34A2+4A=0 et trA=8

Exercice 11[ 02703 ][Correction]

Diagonaliser les matrices deMn(R)

0

BBBBBBBBBBBBBBB@00 1

00 1 11 11

CCCCCCCCCCCCCCCAet0

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB@1 1

:::00::: :::00::: 1 11

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCA

Diusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr]édité le 24 septembre 2016 Enoncés2Exercice 12[ 02702 ][Correction]

Soit (a1;:::;an)2Cn. La matrice (aiaj)1i;jnest-elle diagonalisable?

Exercice 13[ 02724 ][Correction]

SoitAune matrice carrée réelle d"ordren.

Montrer queAest nilpotente si, et seulement si,

8p2~1;n;trAp=0

Exercice 14[ 01948 ][Correction]

Trouver les matricesMdeMn(R) vérifiant

trM=0 etM34M2+4M=On

Exercice 15[ 02704 ][Correction]

Déterminer les valeurs propres de la matrice deMn(R) suivante M=0

BBBBBBBBBBBBBBB@1 11

1 1 (0)

1 (0) 11

CCCCCCCCCCCCCCCA

Exercice 16[ 02719 ][Correction]

Soientfetgdeux endomorphismes d"unC-espace vectorielEde dimension finien1 tels que fggf=f (a)

Montrer que fest nilpotent.

(b) On suppose fn1,0. Montrer qu"il existe une baseedeEet2Ctels que : Mat ef=0

BBBBBBBBBBBBBBBBBB@0 1 (0)

:::1 (0) 01

CCCCCCCCCCCCCCCCCCA

et Mat eg=diag(;+1;:::;+n1)Exercice 17[ 02707 ][Correction] Soienta;b2R,b,0 etA2 Mn(R) la matrice dont les éléments diagonaux valentaet les autres valentb.Aest-elle diagonalisable? Quelles sont les valeurs propres deA? Quel est le polynôme minimal deA? Sous quelles conditions suraetb,Aest-elle inversible?

Lorsque c"est le cas trouver l"inverse deA.

Exercice 18[ 02696 ][Correction]

SoientA;B2 Mn(R). Montrer queABetBAont même valeurs propres.

Exercice 19[ 02705 ][Correction]

Soienta,bdeux réels et les matrices

A=0

BBBBBBBBBBBBBBBBBB@a bb

b a :::::::::b bb a1

CCCCCCCCCCCCCCCCCCAetB=0

BBBBBBBBBBBBBBBBBB@bb a

::a b b: a bb1

CCCCCCCCCCCCCCCCCCA

Réduire ces deux matrices.

Exercice 20[ 02692 ][Correction]

Les matrices0BBBBBBBB@1 2 3

3 1 2

2 3 11

CCCCCCCCAet0

BBBBBBBB@1 3 2

2 1 3

3 2 11

CCCCCCCCA

sont-elles semblables?

Exercice 21[ 02667 ][Correction]

Montrer qu"il existe (a0;:::;an1)2Rntel que :

8P2Rn1[X];P(X+n)+n1X

k=0a kP(X+k)=0

Exercice 22[ 02706 ][Correction]

On pose

M(a;b)=0

BBBBBBBBBBBB@a

2ab ab b2

ab a 2b2ab ab b 2a2ab b

2ab ab a21

CCCCCCCCCCCCA

pour tousa;bréels. Diusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr]édité le 24 septembre 2016 Enoncés3(a)Ces matrices sont-elles simultanément diagonalisables ?

(b) Étudier et représenter graphiquement l"ensemble des ( a;b)2R2tel queM(a;b)n tend vers 0 quandntend vers1.

Exercice 23[ 02700 ][Correction]

SoitE=C([0;1];R). Sif2Eon pose

T(f):x2[0;1]7!Z

1 0 min(x;t)f(t)dt (a)

Vérifier que Test un endomorphisme deE.

(b) Déterminer les v aleurspropres et les v ecteurspropres de T.

Exercice 24[ 02729 ][Correction]

Soit la matriceA2 Mn(R) donnée parA=(min(i;j))1i;jn. (a) T rouverune matrice triangulaire inférieure unité Let une matrice triangulaire supérieureUtelle queA=LU. (b)

Exprimer A1à l"aide de

N=0

BBBBBBBBBBBBBBBBBB@0 1 (0)

:::1 (0) 01

CCCCCCCCCCCCCCCCCCA

(c)

Montrer que Sp A1[0;4].

Exercice 25[ 02718 ][Correction]

SoientA2R[X] etB2R[X] scindé à racines simples de degrén+1. Soit l"endomorphisme deRn[X] qui àP2R[X] associe le reste de la division euclidienne de APparB. Déterminer les éléments propres de. L"endomorphismeest-il diagonalisable?

Exercice 26[ 03063 ][Correction]

SoitEl"espace des fonctionsfde classeC1de [0;+1[ versRvérifiantf(0)=0. Pour un élémentfdeEon poseT(f) la fonction définie par

T(f)(x)=Z

x

0f(t)t

dt Montrer queTest un endomorphisme deEet trouver ses valeurs propres.Exercice 27[ 02697 ][Correction]

Soit (A;B)2 Mp;q(R) Mq;p(R). Montrer que

X qAB(X)=XpBA(X)

Indice : Commencer par le cas où

A= Ir0

0 0!

Exercice 28[ 02714 ][Correction]

SoitA2 Mn(R) vérifiant

A

3+A2+A=0

Montrer que la matriceAest de rang pair.

Exercice 29[ 03755 ][Correction]

SoitA2 Mn(K) une matrice inversible.

Montrer queAest triangulaire supérieure si, et seulement si,Akl"est pour toutk2. Donner un contre-exemple dans le cas où l"on ne suppose plus la matriceAinversible.

Exercice 30[ 02698 ][Correction]

(a) Si P2Z[X] est unitaire de degrén, existe-t-il une matriceA2 Mn(Z) de polynôme caractéristiqueP(X)? (b)

Soient ( 1;:::;n)2Cnet le polynôme

P=n Y i=1(Xi) On supposeP2Z[X]. Montrer que pour toutq2Nle polynôme P q=n Y i=1(Xq i) appartient encore àZ[X]. (c) Soit PdansZ[X] unitaire dont les racines complexes sont de modules1. Montrer que les racines non nulles dePsont des racines de l"unité. Diusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr]édité le 24 septembre 2016 Enoncés4Exercice 31[ 01956 ][Correction]

Soientn2 etA=(ai;j)1i;jn2 Mn(R) oùai;i+1=1 pouri2f1;:::;n1g, les autres coecients étant nuls. (a)

La matrice Aest-elle diagonalisable?

(b)

Existe-t-il B2 Mn(R) vérifiantB2=A?

Exercice 32[ 02722 ][Correction]

SoitEun espace vectoriel réel de dimension finie,f2 L(E) tel quef2=f. Étudier les éléments propres et la diagonalisabilité de l"endomorphismeu7!fuufdeL(E).

Exercice 33[ 02726 ][Correction]

SoitEunC-espace vectoriel de dimension finie etu2 L(E) tel que u 3=Id

Décrire les sous-espaces stables deu.

Même question avecEunR-espace vectoriel.

Exercice 34[ 02681 ][Correction]

SoitEun espace vectoriel surKetaun élément non nul deK. Soitf2 L(E) tel que f

33af2+a2f=0. Est-il vrai que kerfet Imfsont supplémentaires?

Exercice 35[ 02708 ][Correction]

Soit A=0

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB@a0 0b

0 ::0 ::::::a0b: :::0a+b0::: ::b0a:::::: 0: :::::0 b0 0a1

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCA2 M

2n+1(C)

Quels sont lesP2C[X] tels queP(A)=0?Exercice 36[ 02897 ][Correction] On noteE=C(R;R) et on pose, pour toutef2Eet toutx2R,

T f(x)=f(x)+Z

x 0 f(t)dt (a)

L "opérateurTest-il un automorphisme deE?

(b) Existe-t-il un sous-espace v ectorielde Ede dimension finie impaire et stable parT?

Exercice 37[ 02699 ][Correction]

SoientAetBdansMn(K)(K=RouC).

(a)

Comparer Sp Bet SptB.

(b) Soit C2 Mn(K). Montrer que s"il existepour lequelAC=C, alors

ImCker(AIn).

(c) Soit une valeur propre commune àAetB. Montrer qu"il existeC2 Mn(K),C,0, telle queAC=CB=C. (d) On suppose l"e xistencede C2 Mn(K) avec rgC=retAC=CB. Montrer que le PGCD des polynômes caractéristiques deAetBest de degrér. (e)

Étudier la réciproque de d).

Exercice 38[ 02691 ][Correction]

SoientAetBdansMn(R) semblables surC. Montrer queAetBsont semblables surR.

Exercice 39[ 02727 ][Correction]

SoientEunC-espace vectoriel de dimension finie etf2 L(E) de polynôme minimalf.

Montrer l"existence dex2Etel que

f

P2C[X]=P(f)(x)=0g

soit l"ensemble des multiples def.

Exercice 40[ 02723 ][Correction]

SoientEun espace vectoriel réel de dimension finie etf2 L(E). On définit

T2 L(E)! L(E) par

T(g)=fggf

Montrer que sifest diagonalisable, alorsTest diagonalisable; sifest nilpotente, alorsT est nilpotente. Diusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr]édité le 24 septembre 2016 Enoncés5Exercice 41[ 02690 ][Correction]

SoientAetBdes matrices complexes carrées d"ordren. On suppose les matricesA+2kB nilpotentes pour tout entierktel que 0kn. Montrer que les matricesAetBsont nilpotentes.

Exercice 42[ 02720 ][Correction]

Soitn2N,u2 L(R2n+1). On supposeu3=u, tru=0 et tru2=2n. On note

C(u)=nv2 L(R2n+1)juv=vuo

(a)

Calculer la dimension C(u).

(b)

Quels sont les ntels queC(u)=R[u]?

Exercice 43[ 02721 ][Correction]

SoitA2 Mn(R). On posefA(M)=AM, pour toute matriceM2 Mn(R). (a)

Montrer que si A2=AalorsfAest diagonalisable.

(b) Montrer que fAest diagonalisable si, et seulement si,Aest diagonalisable.

Exercice 44[ 03763 ][Correction]

Pourn2, on noteHun hyperplan deMn(K) ne contenant aucune matrice inversible. (a) Montrer que Hcontient toutes les matrices nilpotentes. (b) En déduire que tout h yperplande Mn(K) rencontre GLn(K).

Exercice 45[ 00708 ][Correction]

Soit (A;B;C)2 Mn(R)3tel que

C=A+B;C2=2A+3BetC3=5A+6B

Les matricesAetBsont-elles diagonalisables?

Exercice 46[ 03291 ][Correction]

(a) Montrer que, pour z1;:::;zn2Cavecz1,0, on a l"égalité n X k=1z k =n X k=1j zkj si, et seulement si, il existen1 réels positifs2;:::;ntels que

8k2;zk=kz1(b)Déterminer toutes les matrices de Mn(C) telles queMn=Inet trM=n

Exercice 47[ 00520 ][Correction]

Soientx1;x2;:::;xn+2des vecteurs d"un espace vectoriel euclidienEde dimensionn2N.

Montrer qu"il est impossible que

8i,j;x

ijxj<0

On pourra commencer par les casn=1 etn=2

Exercice 48[ 02735 ][Correction]

Calculer

inf( Z1 0 t2(lntatb)2dt;(a;b)2R2)

Exercice 49[ 01332 ][Correction]

Soientn2N,E=Rn[X] et

h ;i: (P;Q)2E27!hP;Qi=Z +1 0

P(t)Q(t)etdt

(a)

Justifier la définition de

h;iet montrer qu"il s"agit d"un produit scalaire. On poseF=fP2E;P(0)=0g. On cherche à déterminerd(1;F). On note (P0;:::;Pn) l"orthonormalisée de Schmidt de (1;X;:::;Xn). (b)

Calculer Pk(0)2.

(c) Déterminer une base de F?que l"on exprimera dans la base (P0;:::;Pn). En déduire d(1;F?) etd(1;F).

Exercice 50[ 01595 ][Correction]

Soitpune projection d"un espace vectoriel euclidienE. Montrer que la projectionpest orthogonale si, et seulement si,

8x2E;kp(x)kkxk

Exercice 51[ 02666 ][Correction]

Soitn2N.

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr]édité le 24 septembre 2016 Enoncés6(a)Montrer l"e xistenceet l"unicité de A2Rn[X] tel que

8P2Rn[X];P(0)=Z

1 0

A(t)P(t)dt

(b)

Établir que Aest de degrén.

Exercice 52[ 03979 ][Correction]

Soienta;bdeux vecteurs unitaires d"un espace euclidienE. Déterminer le maximum sur la boule unité fermée def:x7!(ajx)(bjx)

Exercice 53[ 03928 ][Correction]

SoitM2 Mn(R) qui commute avec sa transposée. Montrer queMest orthogonalement semblable à une matrice diagonale par blocs, dont les blocs diagonaux sont de taille 1 ou de taille 2 de la forme

Exercice 54[ 01330 ][Correction]

SoitA2 Mn(R) telle quetAA=AtA. On suppose qu"il existep2Ntel queAp=0. (a)

Montrer que

tAA=0. (b)

En déduire que A=0.

Exercice 55[ 02753 ][Correction]

SoientEun espace euclidien etu2 L(E) symétrique à valeurs propres strictement positives.

Montrer que, pour toutx2E,

k xk4hu(x);xiDu1(x);xE Donner une condition nécessaire et susante pour qu"il y ait égalité.

Exercice 56[ 02715 ][Correction]

Trouver lesMdeMn(R) telles quetM=M2et queMn"ait aucune valeur propre réelle.Exercice 57[ 03748 ][Correction]

SoitA2 Mn(R) telle quetA=A.

(a) Montrer que si nest impair alorsAn"est pas inversible. (b) Montrer que si nest pair, detA0. Sous quelle condition l"inégalité est-elle stricte?

Exercice 58[ 03749 ][Correction]

Montrer queAantisymétrique réelle d"ordrenest semblable à C0 0 0! oùCest une matrice inversible d"ordre pair.

Exercice 59[ 02744 ][Correction]

SoitA2 On(R). On suppose que 1 n"est pas valeur propre deA. (a)

Étudier la con vergencede

1p+1(In+A++Ap)

lorsquep!+1. (b)

La suite ( Ap)p2Nest-elle convergente?

Exercice 60[ 02730 ][Correction]

SoitEun espace euclidien. Quels sont les endomorphismes deEtels que pour tout sous-espace vectorielVdeE f(V?)(f(V))??

Exercice 61[ 02923 ][Correction]

SoitEun espace euclidien de dimension 3,rdans SO(E) etsune symétrie orthogonale.

Caractériser l"application

srs

Exercice 62[ 02731 ][Correction]

Soitn2N. On noteMl"espace vectoriel réelMn(R). On pose ': (A;B)2 M27!trtAB Diusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr]édité le 24 septembre 2016 Enoncés7(a)Montrer que 'est un produit scalaire.

(b) Donner une condition nécessaire et su sante sur

2 Mpour queM7!

Msoit '-orthogonale.

Exercice 63[ 03752 ][Correction]

SoientAune matrice symétrique réelle à valeurs propres positives etUune matrice orthogonale de même taille.

Comparer tr(AU) et tr(UA) à trA.

Exercice 64[ 02924 ][Correction]

SoientEun espace vectoriel euclidien,u2Enon nul,g2 O(E). On notela symétrie orthogonale par rapport à l"hyperplanu?. Décriregg1.

Exercice 65[ 02746 ][Correction]

SoitJla matrice deMn(R) dont tous les coecients sont égaux à 1. Quelles sont lesAdeOn(R) telles queJ+Asoit inversible?

Exercice 66[ 02740 ][Correction]

Dans un espace euclidienE, soitf2 L(E). Montrer que deux des trois propriétés suivantes entraînent la troisième : (i)fest une isométrie vectorielle; (ii)f2=Id; (iii)f(x) est orthogonal àxpour toutx.

Exercice 67[ 02750 ][Correction]

SiM2 Sn(R) vérifieMp=Inavecp2N, que vautM2?

Exercice 68[ 02759 ][Correction]

On munitMn(R) du produit scalaire canonique. On noteAn(R) l"ensemble des matrices antisymétriques deMn(R) etS+n(R) l"ensemble des matrices symétriques à valeurs propres positives. SoitA2 Mn(R) telle que pour toutU2 On(R), tr(AU)trA. (a) Déterminer le supplémentaire orthogonal de An(R). (b) Soit B2 An(R). Montrer que pour toutx2R, exp(xB)2 On(R).(c)Montrer que A2 S+n(R). (d)

Étudier la réciproque.

(e) Montrer que pour toute matrice M2 Mn(R) il existeS2 S+n(R) etU2 On(R) telles queM=SU.

Exercice 69[ 02925 ][Correction]

Soientfetgdans SO3(R) tels quef,getgf=fg.

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