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Arithmétique - COURSES
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Chapitre 07 : Réduction d"endomorphismes - Cours complet. - 1 - Réduction d"endomorphismes. Chap. 07 : cours complet.
1. Eléments propres d"un endomorphisme.
Définition 1.1 : valeur et vecteur propre d"un endomorphismeDéfinition 1.2 : spectre d"un endomorphisme
Définition 1.3 : sous-espace propre d"un endomorphisme Théorème 1.1 : liberté d"une famille de vecteurs propres Théorème 1.2 : somme directe de sous-espaces propres2. Polynôme caractéristique d"un endomorphisme en dimension finie.
Théorème 2.1 et définition 2.1 : polynôme caractéristique d"un endomorphisme en dimension finie
Théorème 2.2 : lien entre valeurs propres et racines du polynôme caractéristique Théorème 2.3 : expression du polynôme caractéristique Définition 2.2 : multiplicité d"une valeur propre Théorème 2.4 : majoration du nombre de valeurs propresThéorème 2.5 : somme et produit des racines du polynôme caractéristique d"un endomorphisme en
dimension finie3. Eléments propres et polynôme caractéristique d"une matrice carrée.
Définition 3.1 : valeur et vecteur propre d"une matrice carrée, spectre d"une matrice carrée
Théorème 3.1 : comparaison des spectres réels et complexes Définition 3.2 : polynôme caractéristique d"une matrice carrée Théorème 3.2 : lien entre valeurs propres d"un endomorphisme et d"une matrice4. Diagonalisation des endomorphismes en dimension finie et des matrices carrées.
Définition 4.1 : endomorphisme diagonalisable en dimension finie Définition 4.2 : matrice carrée diagonalisable Théorème 4.1 : caractérisation des endomorphismes diagonalisables en dimension finie Remarque : polynôme caractéristique scindé dans le cas d"un endomorphisme diagonalisable Théorème 4.2 : interprétation de la diagonalisabilité en termes de vecteurs propres Théorème 4.3 : cas d"un endomorphisme dont les valeurs propres sont simplesThéorème 4.4 : diagonalisabilité d"un endomorphisme en dimension finie en termes de dimensions
Théorème 4.5 : lien entre multiplicité d"une valeur propre et dimension du sous-espace propre associé,
endomorphismes diagonalisables en dimension finie en termes de multiplicités Théorème 4.6 : puissances d"une matrice carrée diagonalisableRemarque : utilisation du théorème 7.5 pour le calcul d"une puissance de matrice carrée à l"aide
d"une division euclidienneThéorème 4.7 : application à la résolution des suites récurrentes linéaires à coefficients constants
5. Trigonalisation des endomorphismes en dimension finie et des matrices carrées.
Définition 5.1 : endomorphisme trigonalisable en dimension finie Définition 5.2 : matrice carrée trigonalisableThéorème 5.1
(admis) : caractérisation des endomorphismes trigonalisables en dimension finie Théorème 5.2 : trigonalisabilité des matrices carrées complexesThéorème 5.3 : éléments diagonaux d"une matrice triangulaire ou diagonale semblable à une matrice
carrée6. Sous-espaces vectoriels stables par un endomorphisme.
Définition 6.1 : sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme Définition 6.2 : endomorphisme induit par un endomorphisme dans un sous-espace vectoriel stable Théorème 6.1 : stabilité des sous-espaces propres par un endomorphisme commutant Théorème 6.2 : caractérisation des vecteurs propres en termes de droite stable Théorème 6.3 : traduction matricielle de la stabilité d"un sous-espace vectoriel Chapitre 07 : Réduction d"endomorphismes - Cours complet. - 2 - Théorème 6.4 : généralisation du théorème 6.4Théorème 6.5 : caractérisation des matrices triangulaires supérieures en termes de sous-espaces
stables7. Polynômes d"endomorphisme, de matrice carrée.
Définition 7.1 et théorème 7.1 : polynôme d"un endomorphisme, polynôme d"une matrice carrée
Théorème 7.2 : stabilité des images et noyau de polynômes d"endomorphismesThéorème 7.3 : correspondance polynôme - polynôme d"endomorphisme, de matrice carrée
Définition 7.2 et théorème 7.4 : polynôme annulateur d"un endomorphisme ou d"une matrice carrée
Théorème 7.5 : valeurs propres et polynômes annulateursThéorème 7.6
(admis) : Cayley-HamiltonRemarque : calcul de la puissance k
ème d"une matrice carrée à l"aide d"un polynôme annulateurThéorème 7.7
(admis) : caractérisation de la diagonalisabilité à l"aide d"un polynôme annulateurThéorème 7.8 : diagonalisabilité d"un endomorphisme induit par un endomorphisme diagonalisable
Chapitre 07 : Réduction d"endomorphismes - Cours complet. - 3 - Réduction d"endomorphismes. Chap. 07 : cours complet.1. Eléments propres d"un endomorphisme.
Définition 1.1 : valeur et vecteur propre d"un endomorphisme Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel et soit : u Î L(E).On dit que : l Î K, est une valeur propre de u si et seulement si : $ x Î E, x ¹ 0, u(x) = l.x.
On dit que : x Î E, est vecteur propre de u si et seulement si : x ¹ 0, et : $ l Î K, u(x) = l.x.
Définition 1.2 : spectre d"un endomorphisme
Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel et soit : u Î L(E).L"ensemble des valeurs propres de u (éventuellement vide) est appelé spectre de u et est noté Sp(u).
Définition 1.3 : sous-espace propre d"un endomorphisme Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel, u Î L(E), et : l Î Sp(u). Alors : El = ker(u - l.IdE), est appelé sous-espace propre de E associé à l. C"est l"ensemble constitué du vecteur nul et des vecteurs propres de u associés à l. Théorème 1.1 : liberté d"une famille de vecteurs propres Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel et soit : u Î L(E).Soient l1, ..., ln des valeurs propres distinctes de u et x1, ..., xn, des vecteurs propres de u associés à
ces différentes valeurs propres.Alors la famille (x1, ..., xn) est libre dans E.
Démonstration :
On procède par récurrence sur n.
Le résultat est immédiat pour : n = 1, puisqu"un vecteur propre est non nul. Supposons-le vrai pour n donné, n ³ 1, et considérons (x1, ..., xn+1) des vecteurs propres de u associés à
des valeurs propres distinctes l1, ..., ln+1 de u.
Soit alors la combinaison linéaire : a
1.x1 + ... + an+1.xn+1 = 0 (L1).
L"image par u de cette combinaison donne : a
1.l1.x1 + ... an+1.ln+1.xn+1 = 0 (L2).
En calculant [L
2 - ln+1.L1], on obtient : a1.(l1 - ln+1).x1 + ... + an.(ln - ln+1).xn = 0.
Puisque les vecteurs (x
1, ..., xn) sont des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes de
u, tous les coefficients de la dernière combinaison linéaire sont nuls, et les valeurs propres étant
distinctes, on en déduit que : " 1 £ i £ b, a i = 0.Enfin, en reprenant (L
1), puisque xn+1 est non nul, on termine avec : an+1 = 0, et la famille (x1, ..., xn+1) est
libre. Théorème 1.2 : somme directe de sous-espaces propres Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel et soit : u Î L(E). Soient l1, ..., ln des valeurs propres distinctes de u.Alors la somme )(...)(1uEuEnll++ est directe.
Démonstration :
Montrons que tout élément de la somme se décompose de façon unique suivant cette somme.Pour cela, soit : x = x
1 + ... + xn Î )(...)(1uEuEnll++, mais se décomposant aussi en :
x = x"1 + ... + x"n.
Alors : (x
1 - x"1) + ... + (xn - x"n) = 0.
Or si dans les n différences qui apparaissent (et qui sont chacune dans un sous-espace propre de u
différent), il y en avait une non nulle, cela fournirait, en ne gardant dans l"égalité précédente que les
différences non nulles, une combinaison linéaire nulle de vecteurs propres de u associés à des valeurs
propres distinctes, ce qui est impossible. Toutes les différences sont donc nulles et : " 1 £ i £ n, x i = x"i, et la décomposition de x est unique.2. Polynôme caractéristique d"un endomorphisme en dimension finie.
Chapitre 07 : Réduction d"endomorphismes - Cours complet. - 4 -Théorème 2.1 et définition 2.1 : polynôme caractéristique d"un endomorphisme en dimension finie
Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension n, et : u Î L(E).Alors : cu(l) = det(l.idE - u) = (-1)n.det(u - l.idE), est une fonction polynomiale en l à coefficients dans
K, et cu est appelé polynôme caractéristique de u.Si B est une base de E et A la matrice représentative de u dans B, on a : cu(l) = (-1)n.det(A - l.In).
Démonstration :
Soit B une base de E, et A la matrice représentative de u dans B.L"endomorphisme (u - l.id
E) de E a pour matrice représentative (A - l.In) dans la base B, donc : det(u - l.idE) = det(A - l.In).
Appelons c
1, ...cn les vecteurs de Kn qui ont pour coordonnées dans la base canonique C de Kn les
valeurs apparaissant en colonnes dans A, et e1, ..., en les vecteurs de C.
Alors : det(A - l.I
n) = detC(c1 - l.e1, ..., cn - l.en). On peut alors développer ce déterminant par n-linéarité et obtenir 2 n termes en tout. Cette expression est alors polynomiale en l à coefficients dans K.De plus, et puisque le déterminant d"un endomorphisme en dimension finie ne dépend pas de la base
dans laquelle on exprime sa matrice représentative, c u a donc une expression identique, quelque soit la base B de E que l"on choisisse pour représenter u. Théorème 2.2 : lien entre valeurs propres et racines du polynôme caractéristique Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension n, et : u Î L(E).Pour tout : l Î K, on a les équivalences : (l Î Sp(u)) Û ((u - l.idE) non inversible) Û (cu(l) = 0).
En particulier, les valeurs propres d"un endomorphisme d"un espace vectoriel réel de dimension finie
sont les racines réelles de son polynôme caractéristique.Démonstration :
On peut écrire, pour : l Î K :
(l Î Sp(u)) Û ($ x Î E, x ¹ 0, u(x) = l.x) Û (ker(u - l.idE) ¹ {0}) Û ((u - l.idE) non injective).
Or E étant de dimension finie, on a ensuite : ((u - l.id E) non injective) Û ((u - l.idE) non bijective), pour terminer avec : ((u - l.id E) non bijective) Û (det(u - l.idE) = 0) Û (cu(l) = 0). Théorème 2.3 : expression du polynôme caractéristique Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension n, et : u Î L(E). Alors cu est de degré n et : cu(l) = ln - tr(u).ln-1 + ... + (-1)n.det(u).Démonstration :
On reprend une base B de E et l"expression obtenue dans la démonstration du théorème 2.1.Après développement, on avait obtenu 2
n termes pour det(A - l.In).· Le terme constant correspond au choix de c
i à chaque étape du développement soit à detC(c1, ..., cn).Dans l"expression de c
u(l), il vaut donc : (-1)n.det(A) = (-1)n.det(u). · Le terme de plus haut degré correspond au choix de l.e i à chaque étape du développement, donc à un seul terme de degré n et à un coefficient égal à : (-1) n.detC(e1, ..., en).Dans l"expression de c
u(l), il vaut donc : (-1)n.(-1)n.det(In) = 1. · Le terme de degré (n - 1) enfin correspond à choisir (n - 1) fois l.e i à chaque étape du développement et une fois c i, soit n combinaisons donnant finalement : ∑ n k nkkkCn eecee11111),...,,,,...,(det.)1(.
Chacun de ces déterminants vaut :
kk kn kk kkkkk nkkkCa a a aaa eecee, ,1 ,,1,1 11110000100100001
),...,,,,...,(det==LLOMMMMMOMMMMMMOMMMMMOLL
Donc le coefficient de l
n-1 dans cu(l) vaut : (-1)n.(-1)n-1.[a1,1 + ... + an,n] = - tr(A) = - tr(u). Chapitre 07 : Réduction d"endomorphismes - Cours complet. - 5 - Définition 2.2 : multiplicité d"une valeur propre Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension n, u Î L(E), et : l Î Sp(u). On appelle multiplicité de l sa multiplicité comme racine de Pu. Théorème 2.4 : majoration du nombre de valeurs propres Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension n, et : u Î L(E). L"endomorphisme u admet au plus n valeurs propres (chacune comptée avec sa multiplicité).Démonstration :
Les valeurs propres de u sont les racines de son polynôme caractéristique, qui est de degré n.
Donc u admet au plus n valeurs propres (chacune comptée avec sa multiplicité), puisque c u admet au plus n racines. On aurait pu aussi utiliser le premier théorème démontré dans ce chapitre.Théorème 2.5 : somme et produit des racines du polynôme caractéristique d"un endomorphisme en
dimension finieSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension n, u Î L(E), et A la matrice représentative de u dans
une base B de E.Si on note l1, ..., ln les racines dans de Pu, chacune répétée avec sa multiplicité, on a :
n i iAtrutr
1)()(l, et : Õ
n i i Au1)det()det(l.
En particulier, si cu est scindé dans K (toutes ses racines sont dans K), alors les égalités précédentes
sont valables pour les valeurs propres de u à la place des racines de cu.Démonstration :
En utilisant les relations entre coefficients et racines d"une équation polynomiale, on a immédiatement :
l1 + ... + ln = 1
)(utr-- = tr(u) = tr(A), et : l1...ln = 1
)det(.)1(.)1(un n-- = det(u) = det(A).Et si c
u est scindé, alors les racines de cu sont les valeurs propres de u.3. Eléments propres et polynôme caractéristique d"une matrice carrée.
Définition 3.1 : valeur et vecteur propre d"une matrice carrée, spectre d"une matrice carrée
Soit : A Î Mn(K).
On dit que : l Î K, est valeur propre de A si et seulement si : $ X Î Mn,1(K), X ¹ 0, A.X = l.X.
On dit que : X Î Mn,1(K), est vecteur propre de A si et seulement si : X ¹ 0, et : $ l Î K, A.X = l.X.
Le spectre de A est l"ensemble de ses valeurs propres comme élément de Mn(K), et est noté SpK(A) ou
Sp(A) lorsqu"il n"y a pas d"ambiguïté.
Une matrice réelle admet donc un spectre réel et un spectre complexe. Théorème 3.1 : comparaison des spectres réels et complexesSoit : A Î Mn().
Le spectre réel de A est inclus dans son spectre complexe.Démonstration :
Soit l une valeur propre réelle de A. Alors : $ X Î M n,1(), X ¹ 0, A.X = l.X. Or une telle matrice colonne réelle X est aussi une matrice de M n,1(), et donc X étant non nulle, il existe une matrice colonne non nulle X, à coefficients complexes telle que : A.X = l.X.A ce titre, on a bien : l Î Sp
(A). Définition 3.2 : polynôme caractéristique d"une matrice carréeLe polynôme caractéristique de A est le polynôme défini par : cA(l) = det(l.In - A) = (-1)n.det(A - l.In), et
c"est le polynôme caractéristique de l"endomorphisme canoniquement associé à A. Chapitre 07 : Réduction d"endomorphismes - Cours complet. - 6 -Théorème 3.2 : lien entre valeurs propres d"un endomorphisme et de sa matrice représentative
Soit : A Î Mn(K), et u l"endomorphisme de Kn, canoniquement associé à A. Les valeurs propres de A comme élément de Mn(K) sont les valeurs propres de u.On a donc : SpK(A) = Sp(u).
Démonstration :
Soit A une valeur propre de A dans K.
Alors : $ X Î M
n,1(K), X ¹ 0, A.X = l.X.Or si u est l"endomorphisme de K
n canoniquement associé à A, et si x est le vecteur de Kn dont les coordonnées dans la base canonique de K n sont données par X, A.X correspond aux coordonnées dans la base canonique de K n de u(x), et on a bien alors : x ¹ 0, u(x) = l.x. Le vecteur x est alors vecteur propre de u et : l Î Sp(u). Réciproquement, si l est valeur propre de u, x un vecteur propre dans K n associé à l, la relationvectorielle : u(x) = l.x, conduit à l"égalité matricielle : A.X = l.X, et X étant une matrice de M
n,1(K) non nulle, l est bien un élément de Sp K(A). Théorème 3.3 : spectre de deux matrices semblablesSoient A et B deux matrices semblables de Mn(K).
Alors : Sp(A) = Sp(B).
Démonstration :
On peut le montrer matriciellement ou en utilisant l"endomorphisme canoniquement associé à A. En effet, en notant u l"endomorphisme canoniquement associé à A (dans K n), alors : SpK(A) = Sp(u).Mais : $ P Î Gl
n(K), B = P-1.A.P, et si B représente la base canonique de Kn, alors P correspond à la matrice de passage de B à une base B" de K n, et B est alors la matrice représentative de u dans B".Or on a vu que : Sp(u) = Sp
K(B), puisque les valeurs propres de u sont les racines de son polynôme caractéristique, soit celui de A ou de B indifféremment.Finalement : Sp
K(A) = SpK(B).
rappel :Deux matrices A et B de M
n(K) sont semblables dans Mn(K) si et seulement si elles représentent le même endomorphisme dans deux bases de K n.4. Diagonalisation des endomorphismes en dimension finie et des matrices carrées.
Définition 4.1 : endomorphisme diagonalisable en dimension finie Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension n, et : u Î L(E). L"endomorphisme u est dit diagonalisable si et seulement si il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale. Définition 4.2 : matrice carrée diagonalisableSoit : A Î Mn(K).
On dit que A est diagonalisable si et seulement si A est semblable à une matrice diagonale, autrement
dit : $ P Î Gln(K), $ D Î Mn(K), D diagonale, D = P-1.A.P. Théorème 4.1 : caractérisation des endomorphismes diagonalisables en dimension finie Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension n, et : u Î L(E). Il y a équivalence entre les propositions suivantes :· u est diagonalisable,
· il existe une base de E formée de vecteurs propres de u. · E est la somme directe des sous-espaces propres de u, · la matrice représentative de u dans une base B" quelconque de E est diagonalisable.Démonstration :
Démontrons ces équivalences par quatre implications.· i) ⇒ ii).
Supposons donc u diagonalisable.
La base dans laquelle la matrice de u est diagonale est alors clairement une base de E formée de Chapitre 07 : Réduction d"endomorphismes - Cours complet. - 7 - vecteurs propres de u.· ii) ⇒ iii).
Si on considère une base B de E formée de vecteurs propres de u (qu"on suppose regroupés par
valeurs propres), la matrice de u dans B s"écrit : A = mat(u,B) = ppaaaa0000 00 11LLLLOOMMOOMMOOOMMOOMMOOLLLL
Les valeurs propres de u sont alors bien les a
i. De plus (par exemple) l"espace propre de u associé à a1 s"obtient en résolvant : u(x) = a1.x, soit en
résolvant le système matriciel : A.X = a 1.X. Si a1 est répété k fois dans A, ce système est équivalent à : xk+1 = ... = xn = 0.
Donc : (x Î ker(a
1.idE - u)) Û (x Î Vect(e1, ..., ek)), et : ker(a1.u - idE) = Vect(e1, ..., ek).
On obtient un résultat identique pour chaque valeur propre de u, et comme la base B est la réunion de
bases des différents sous-espaces propres de u, la somme directe de ces sous-espaces propres de u est bien égale à E.· iii) ⇒ iv).
Reprenons la base B adaptée à la somme directe précédente : chaque vecteur de cette base est alors
vecteur propre de u et la matrice D représentative de u dans B est diagonale.Si on considère une autre base B" de E et la matrice A représentative de u dans B", alors : A = P
-1.D.P, en notant P la matrice de passage de B dans B". Les matrices A et D sont donc semblables, et A est diagonalisable.· iv) ⇒ i).
Si enfin la matrice A de u dans une base B de E est diagonalisable, il existe P, inversible, telle que :
D = P -1.A.P, soit diagonale.La matrice P s"interprète alors comme la matrice de passage de la base B à une base B" de E (les
vecteurs de B" ont leurs coordonnées dans B écrites en colonne dans P).Enfin la matrice représentative de u dans B" est D qui est diagonale et tout vecteur de B" est vecteur
propre de u.Remarque :
Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension n, et : u Î L(E).Si u est diagonalisable, son polynôme caractéristique est scindé sur K (pas de réciproque).
Démonstration :
Soit B une base de E formée de vecteurs propres de u et D la matrice représentative de u dans B.
Alors : c
u(l) = (-1)n.det(D - l.In) = Õ n i ii d1,)(l, qui est scindé dans K.
Théorème 4.2 : interprétation de la diagonalisabilité d"une matrice en termes de vecteurs propres
Soit : A Î Mn(K), une matrice diagonalisable, et u l"endomorphisme canoniquement associé à A.
Si : D = P-1.A.P, où : P Î Gln(K), D Î Mn(K), diagonale, alors P peut s"interpréter comme la matrice de
passage de la base canonique de Kn à une base de vecteurs propres de u.Démonstration :
Si on noté B" la famille (dans
n) donnée par les vecteurs colonnes de P, alors P étant inversible, B" est une base de n, et P est la matrice de passage de la base canonique de n à B".De plus, la matrice de u dans B" est D, et il est alors immédiat que chaque vecteur de B" est vecteur
propre de u (avec pour valeur propre associé l"élément diagonal de D associé). Théorème 4.3 : cas d"un endomorphisme dont les valeurs propres sont simples Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension n, et : u Î L(E). Chapitre 07 : Réduction d"endomorphismes - Cours complet. - 8 -Si le polynôme caractéristique de u est scindé dans K et à racines simples, alors u est diagonalisable et
tous ses sous-espaces propres sont de dimension 1.Démonstration :
L"endomorphisme u admet donc n valeurs propres simples. Chacune a un sous-espace propre de dimension au moins 1 (puisqu"il y a au moins pour chacune un vecteur propre (non nul) associé) et ces sous-espaces sont en somme directe. Donc la somme de leurs dimensions valant n, chacun a une dimension au plus égale à 1. Finalement, chaque dimension est égale à 1, et la somme directe est égale à E. On en conclut que u est bien diagonalisable, avec n sous-espaces propres de dimension 1.Théorème 4.4 : diagonalisabilité d"un endomorphisme en dimension finie en termes de dimensions
Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension n, et : u Î L(E). L"endomorphisme u est diagonalisable si et seulement si : nuE uSp=∑Î)())(dim(
llDémonstration :
Notons : F =
)(uE uSpllÎÅ, la somme (directe) des sous-espaces propres de u.Alors :
)())(dim()dim( uSpuEF ll , puisque la somme est directe, et : F Ì E. Mais alors : (u diagonalisable) Û (F = E) Û (dim(F) = dim(E)) Û ( )())(dim()dim( uSpuEFn llThéorème 4.5 : lien entre multiplicité d"une valeur propre et dimension du sous-espace propre
associé, endomorphismes diagonalisables en dimension finie en termes de multiplicités Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension n, et : u Î L(E).· la dimension d"un sous-espace propre de u est inférieure ou égale à la multiplicité de la valeur propre
correspondante, soit : " a Î Sp(u), 1 £ dim(Ea(u)) £ mult(a), · une valeur propre simple conduit toujours à un sous-espace propre associé de dimension 1,· u est diagonalisable si et seulement si cu est scindé sur K et chaque sous-espace propre de u a pour
dimension la multiplicité de la valeur propre correspondante.Démonstration :
· Notons a une valeur propre de u et E
a(u) le sous-espace propre associé.Soit : B = (e
1, ..., en), une base de E adaptée à ce sous-espace propre, et : p = dim(Ea(u)) ³ 1.
La matrice de u dans cette base s"écrit :
matB(u) =
-CBIppnp ,0. a= A, avec : B Î Mp,n-p(K), et : C Î Mn-p,n-p(K).Puis : c
u(l) = (l - a)p.det(l.In-p - C) = (l - a)p.cC(l).Donc a est racine de c
u d"ordre au moins p, et p est inférieur à la multiplicité de a comme racine de cu. · Si maintenant on considère une valeur propre simple a, alors : 1 £ dim(E a(u)) £ 1, et : dim(Ea(u)) = 1.· Enfin, si u est diagonalisable, alors dans une base formée de vecteurs propres (donc formée de bases
issues des espaces propres de u), la matrice de u est diagonale et en recalculant c u à partir de cette matrice, on constate que : " a Î Sp(u), dim(E a(u)) = mult(a).Réciproquement, si c
u est scindé sur K et si : $ a Î Sp(u), telle que : dim(Ea(u)) £ mult(a) - 1, alors :1)(1)())(dim())(dim())(dim(
¹¹ÎnmultmultuEuEuE
uSpalalla llla, puisque la somme des multiplicités donne le degré de c u.La somme des dimensions ne pouvant être égale à n, u ne peut être diagonalisable autrement dit, on
vient de prouver par contraposée la réciproque de l"implication précédente donc cette même réciproque.
Théorème 4.6 : puissances d"une matrice carrée diagonalisableSoit : A Î Mn(K), diagonalisable, et : P Î Gln(K), D Î Mn(K), D diagonale, telles que : D = P-1.A.P.