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Arithmétique - COURSES
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Révisions danalyse Exercices Corrigés - cpgedupuydelomefr
bilité des fonctions de variable réelle à valeurs réelles ou complexes 8 Notons f et g ces deux
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr]édité le 24 septembre 2016 Enoncés1Exercice 1[ 04151 ][Correction]
Dans tout ce sujetndésigne un naturel non nul.
On note'(n) l"indicatrice d"Euler den,Unl"ensemble des racinesn-ième de l"unité etUnl"ensemble des racines de l"unité d"ordre exactementn. Enfin, pourd2N, on pose
d=Y z2Ud(Xz) (a) Écrire en Python la fonction liste(n)qui renvoie k2~1;nk^n=1 Écrire la fonctionphi(n)qui renvoie'(n) puissumphi(n)qui renvoie X djn'(d) (b)Montrer
X n1=Y djn d (c)Justifier
X djn'(d)=n (d) Montrer que nest un polynôme à coecients entiers. On poseQn=Xn1 et on choisitp;q;rdes nombres premiers vérifiant pMontrer
n=QnRQ pqQqrQrp (f)Montrer qu"il e xisteun polynôme Stel que
nR=XpqS (g) En déduire que le coe cient deXrdansnest égal à2.Exercice 2[ 02365 ][Correction] [Groupe quasi-cyclique de Prüfer] Soitpun nombre premier. On pose G p=nz2Cj 9k2N;zpk=1o (a)Montrer que Gpest un sous-groupe de (C;).
(b) Montrer que les sous-groupes propres de Gpsont cycliques et qu"aucun d"eux n"est maximal pour l"inclusion. (c) Montrer que Gpn"est pas engendré par un système fini d"éléments.Exercice 3[ 02364 ][Correction]
Soit un entiern2. Combien le groupe(Z=nZ;+)admet-il de sous-groupes?Exercice 4[ 02363 ][Correction]
Quel est le plus petit entierntel qu"il existe un groupe non commutatif de cardinaln?Exercice 5[ 02366 ][Correction]
Montrer quenx+yp3jx2N;y2Z;x23y2=1o
est un sous-groupe de (R+;).Exercice 6[ 02368 ][Correction]
Soitnun entier naturel non nul, (e1;:::;en) la base canonique deE=Rn. SoitSnl"ensemble des permutations def1;2;:::;ng. Soitti=(1;i).Pours2 Sn, on définitus(ei)=es(i).
(a)Montrer que ( t2;t3;:::;tn) engendreSn.
(b) Interpréter géométriquement uslorsquesest une transposition. (c) Soit s=(1 2:::n1n). On suppose quesest la composée deptranspositions.Montrer quepn1.
(d) Quel est le cardinal minimal d"une f amillede transpositions génératrice de Sn?Exercice 7[ 02390 ][Correction]
Soitnun entier2 etAun hyperplan deMn(C) stable pour le produit matriciel. Diusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD[http://mp.cpgedupuydelome.fr]édité le 24 septembre 2016 Enoncés2(a)On suppose que In [http://mp.cpgedupuydelome.fr]édité le 24 septembre 2016 Enoncés3(b)On suppose que B= (H) commute avecA. Montrer : [http://mp.cpgedupuydelome.fr]édité le 24 septembre 2016 Enoncés4(b)On suppose, dans cette question seulement, que fest une endomorphisme deE endomorphismes deE; on pose [u;v]=uvvu.(a)On suppose [ u;v]=0. Montrer queuetvsont cotrigonalisables.Exercice 8[ 02367 ][Correction]
SoitAun sous-anneau deQ.
(a) Soit pun entier etqun entier strictement positif premier avecp. Montrer que si p=q2Aalors 1=q2A. (b) Soit Iun idéal deAautre quef0g. Montrer qu"il existen2Ntel queI\Z=nZet qu"alorsI=nA. (c) Soit pun nombre premier. On pose
Z p=fa=bja2Z;b2N;p^b=1g Montrer que six2Qalorsxou 1=xappartient àZp.
(d) On suppose ici que xou 1=xappartient àApour toutx2Q. On noteIl"ensemble des éléments non inversibles deA. Montrer queIinclut tous les idéaux stricts deA. En déduire queA=QouA=Zp pour un certain nombre premierp. Exercice 9[ 04107 ][Correction]
SoientEunC-espace vectoriel de dimension finie non nulle,uetvdeux endomorphismes deE. (a) On suppose dans cette question et dans la sui vanteque uvvu=u. Montrer que ker(u) est stable parv.
(b) Montrer que k er(u),f0g.
Indice : On pourra raisonner par l"absurde et utiliser la trace. En déduire queuetvont un vecteur propre commun. (c) On suppose maintenant que uvvu2Vect(u;v)
Montrer qu"il existe une base deEdans laquelle les matrices deuetvsont triangulaires supérieures. Exercice 10[ 04152 ][Correction]
On dit qu"une matriceA2 Mn(C) vérifie la propriété (P) si 92C;A+tComA=:In(a)T raiterle cas n=2.
Désormais, on supposen3.
(b) Rappeler le lien entre la comatrice et l"in versed"une matrice in versible. (c) Soit A;B2GLn(C). Montrer Com(AB)=ComAComB
(d) Montrer que si A2GLn(C) vérifie (P) alors toutes les matrices semblables àA vérifient aussi (P). (e) On suppose la matrice Ainversible, non scalaire et ne possédant qu"une seule valeur propre. Montrer queAvérifie (P) si, et seulement si, il existe une matriceNtelleN2=Onet un complexetelle quen2=1 pour lesquelsA=:In+N. (f) On suppose que Avérifie la propriété (P) et possède au moins deux valeurs propres distinctes. Montrer queAest diagonalisable et conclure quelles sont les matrices de cette forme vérifiant (P). Exercice 11[ 04185 ][Correction]
SoitEunR-espace vectoriel de dimensionnetuun endomorphisme deE. On notele polynôme caractéristique deu.
(a) Soit VetWdeux sous-espaces vectoriels deEstables paruet tels queE=VW. On note0et00les polynômes caractéristiques des endomorphismes induits paru surVetW. Montrer=000.
(b) On considère la décomposition en f acteursirréductibles =Y i Pii Montrer que pour touti, dimkerPii(u)=idegPi.
(c) Montrer le polynôme minimal de uest égal àsi, et seulement si, pour toutki, dimkerPki(u)=kdegPi. Exercice 12[ 04105 ][Correction]
On fixeA2 Mp(R) et on considère:M2 Mp(R)7!AMMA. (a) Prouv erque est un endomorphisme deMp(R) et que :
8n2N;8(M;N)2 Mp(R)2;n(MN)=n
X k=0 n k! k(M)nk(N) Diusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD 2(H)=0 etn+1(Hn)=0
Vérifiern(Hn)=n!Bn.
(c) Soit k:kune norme surMp(R). Montrer quekBnk1=n!n!+10. (d) En déduire que la matrice Best nilpotente.
Exercice 13[ 02391 ][Correction]
SoientKun sous-corps deCet
J=0 BBBBBBBBBB@11
111
CCCCCCCCCCA2 Mn(K)
Montrer queJest diagonalisable.
Exercice 14[ 02441 ][Correction]
SoientEunC-espace vectoriel de dimension finie non nulle,u;vdansL(E) eta;bdans C. On suppose
uvvu=au+bv (a) On étudie le cas a=b=0.
Montrer queuetvont un vecteur propre en commun.
(b) On étudie le cas a,0,b=0.
Montrer queuest non inversible.
Calculerunvvunet montrer queuest nilpotent.
Conclure queuetvont un vecteur propre en commun.
(c) On étudie le cas a;b,0.
Montrer queuetvont un vecteur propre en commun.
Exercice 15[ 03113 ][Correction]
(a) Soit D2 Mn(C). Déterminer l"inverse de
InD O nIn!(b)Soient A;B2 Mn(C) diagonalisables telles que SpA\SpB=;. Montrer que pour tout matriceC2 Mn(C), les matrices suivantes sont semblables A C O nB! et A On O nB! Exercice 16[ 00760 ][Correction]
SoitE=E1E2unK-espace vectoriel. On considère
fu2 L(E)jkeru=E1et Imu=E2g (a) Montrer ,pour tout udeque ˜u=uE2est un automorphisme deE2. Soit:!GL(E2) définie par(u)=˜u.
(b) Montrer que est une loi interne dans.
(c) Montrer que est un morphisme injectif de (;) dans (GL(E2);). (d) Montrer que est surjectif.
(e) En déduire que ( ;) est un groupe. Quel est son élément neutre? Exercice 17[ 01324 ][Correction]
SoientE=S2(R),
A= a b
c d! 2 M 2(R) et:S2(R)! S2(R) définie par (S)=AS+StA (a) Déterminer la matrice de dans une base deE.
(b) Quelle relation e xiste-t-ilentre les polynômes caractéristiques etA? (c) Si est diagonalisable, la matriceAl"est-elle?
(d) Si Aest diagonalisable, l"endomorphismel"est-il?
Exercice 18[ 02539 ][Correction]
SoitEun espace vectoriel de dimension finien2.
(a) Donner un e xempled"endomorphisme fdeEdont l"image et le noyau ne sont pas supplémentaires. Diusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD Im(fk)ker(fk)=E
L"endomorphismefkest-il nécessairement diagonalisable? (d) Le résultat démontré en c) reste-t-il v alablesi l"espace est de dimension infinie ? Exercice 19[ 02393 ][Correction]
Existe-t-il dansMn(R) une matrice de polynôme minimalX2+1? Exercice 20[ 03185 ][Correction]
(a) Soit uun endomorphisme inversible d"unK-espace vectorielEde dimension finie. Montrer qu"il existe un polynômeQ2K[X] vérifiant u 1=Q(u)
(b) Soit ul"endomorphisme deK[X] qui envoie le polynômeP(X) surP(2X). Montrer queuest un automorphisme et déterminer ses éléments propres. Existe-t-ilQ2K[X] tel que
u 1=Q(u)?
Exercice 21[ 02389 ][Correction]
(a) Soient AetBdansM2(K) telles queAB=BA. Montrer queB2K[A]ouA2K[B]. (b) Le résultat subsiste-t-il dans M3(K)?
Exercice 22[ 02382 ][Correction]
Quelles sont les matrices carrées réelles d"ordrenqui commutent avec diag(1;2;:::;n) et lui sont semblables? Exercice 23[ 02395 ][Correction]
SoitEun espace vectoriel complexe de dimension finie non nulle. Soientuetvdes Exercice 24[ 03645 ][Correction]
SoitM2 Mn(C) telle que
M 2+tM=In
(a) Montrer
Minversible si, et seulement si, 1