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30 Bezout-4 6 2 31 Bezout-5 7 3 Anciens exos bac 7 3 32 Somme et produit 7 3 33 Quadratique 7 3 34 Divisibilité 7 3 35 Equation diophantienne
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Il est proposé aux stagiaires de classer ces exercices en trois catégories ; « exigibles, activités et 7) Résoudre dans Z l'équation suivante d'inconnue x : 3 x 2 + 4 x ∴ 0 ( modulo 21 ) 12) Etablir le critère de divisibilité des entiers par 11
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Correction Devoir Surveillé 1 :arithmétiqueTermS spécialitéCorrection Devoir
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Exercice. 1.4
Exercice. 2.3Exercice. 3.4
Exercice. 4.2;5=1+1;5Exercice. 5.2=0;5+1;5
Exercice. 6.2=0;5+1;5Exercice. 7.2;5Barème
Exercice 1.(4 points)
Déterminer quels sont les entiers relatifsntels quen+5divise7n+32. n+5?7n+32orn+5?n+5ainsin+5?7n+35donc, par combinaison linéaire,n+5? ((7n+32)-(7n+35)) ien+5? (-3) Par conséquent,n+5?D(-3)={-3;-1;1;3}. On a donc :n+5-3-113 n-8-6-4-27n+32-24-10418 Vérification-3?-24?⎷-1?-10?⎷1?4?⎷3?18?⎷Conclusion :S={-8;-6;-4;-2}.Exercice 2.(3 points)
Démontrer que, quel que soit l"entier relatifn, les nombres suivants sont premiers entre eux :11n+6et9n+5.
Soitn?N. On considèred?=pgcd(11n+6;9n+5)(d⩾0).On a :⎧
d?9n+5??d?99n+55⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭??d? ((99n+55)-(99n+54))(par combinaison linéaire) ie
d?1 Par conséquentd?D={-1;1}, ord⩾0, doncd=pgcd(11n+6;9n+5)=1. Conclusion : quel que soitn?N,11n+6et9n+5sont premiers entre eux.Exercice 3.(4 points)
Déterminer tous les couples d"entiersnaturels(a;b)tels quea2-b2=99. NotonsG+l"ensemble des couples(a;b)d"entiers naturels tels quea2-b2=99.Soientaetbdeux entiers naturels.
(a;b)?G+??a2-b2=99??(a-b)(a+b)=99Roussot 1/3 2016 - 2017Correction Devoir Surveillé 1 :arithmétiqueTermS spécialitéOra?Netb?Ndonca+b?N, ainsia-b?N?(a-b)(a+b)=99?eta-b⩽a+b.
De plusD+(99)={1;3;9;11;33;99}sachant que99=1×99=3×33=9×11(=11×9)Ainsi :
(a;b)?G+??a2-b2=99 a+b=99ou⎧ a+b=33ou⎧ a+b=112b=98ou⎧
2b=30ou⎧
2b=2 b=49ou⎧ b=15ou⎧ b=1 b=49ou⎧ b=15ou⎧ b=1Conclusion :G+={(50;49);(18;15);(10;1)}.
Exercice 4.(2,5 points)
1.Déterminer le (ou les) entier(s) relatif(s)xvérifiant⎧
100⩽x<107
100⩽x<107??⎧
103⩽x+3<110??x+3?7Z∩[103;110[
Or le seul multiple de7compris entre103(inclus) et110(non inclus) est105.De plusx+3=105??x=102.
Conclusion : Le seul entier relatifxvérifiant⎧100⩽x<107est102.
2.Déterminer le (ou les) entier(s) relatif(s)xvérifiant⎧
100⩽x<120
100⩽x<120??⎧
??x?{103;108;113;118} Conclusion : Les entiers relatifsxvérifiant⎧100⩽x<120sont103,108,113et118.
Exercice 5.(2 points)
1.Déterminer le reste de la division euclidienne de20092par16.
2009=16×125+9
Or81=16×5+1
Le reste de la division euclidienne de20092par16est1.Autre rédaction avec des congruences :
Or0⩽1<16
Donc le reste de la division euclidienne de20092par16est1.Roussot 2/3 2016 - 2017Correction Devoir Surveillé 1 :arithmétiqueTermS spécialité2.Montrer alors que20098001≡2009[16].
Tout d"abord, notons que8001=2×4000+1.
En partant du résultat de la question précédente : 2009Exercice 6.(2 points)
1.Justifier que52≡-1[13].
2.Montrer alors que, pour toutn?N,54n-1est divisible par13.
Soitn?N.
5 ??54n-1≡0[13]Donc, pour toutn?N,54n-1est divisible par13.Remarque :On peut aussi démontrer cette propriété par récurrence.
Exercice 7.(2,5 points)
On considère la suiteudéfinie surNparun=52n+3.Montrer que, pour toutn?N,un≡1[4].
Montrons par récurrence :?n?N, la propriété "un≡1[4]». ?Initialisation :u0=53=125=4×31+1doncu0≡1[4].La propriété est donc vraie pourn=0.
?Hérédité :Soitk?N. Supposons la propriété vraie au rangket montrons que la propriété est vraie au rangk+1. uLa propriété est donc héréditaire.
?Conclusion :par principe de récurrence, on en déduit que la propriété "un≡1[4]» est vraie pour
toutn?N. Autre rédaction sans récurrence :5≡1[4]??52n+3≡12n+3[4]ieun≡1[4].End En d