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Formes quadratiques reelles.

Exemples et applications

Caroline Robet

2 novembre 20141

Introduction

La notion de forme quadratique na^t avec l'etude des coniques par Fermat au dix-septieme siecle puis celle des quadriques par Euler au dix-huitieme. On va montrer dans ce memoire que l'etude algebrique des formes quadratiques permet de deduire des resultats aussi bien en geometrie qu'en analyse.

1 Forme quadratique et algebre bilineaire

1.1 Denitions et premieres proprietesDenition 1.Soient E et F deuxR-espaces vectoriels et une application

':EF!R (x;y)7!'(x;y). On dit que'est bilineaire si : {8x2E,y!'(x;y)est lineaire. {8y2F,x!'(x;y)est lineaire.

De plus,'est symetrique si8(x;y)2E2,'(x;y) ='(y;x)Denition 2.On appelle forme quadratique sur E toute application q de la

forme q:E!R x7!'(x;x)ou'est une forme bilineaire symetrique sur E.

Exemples

Dans R3,q(x;y;z) = 3x2+y2+ 2xy3xzest une forme quadratique.

En dimension in nie,q : R[X]!Rdenie parq(P) =R1

0P(x)P00(x)dx

est une forme quadratique surR[X]Proposition 3.Soit q une forme quadratique sur E. Il existe une unique

forme bilineaire symetrique'telle que8x2E,q(x) ='(x;x). La forme bilineaire's'appelle la forme polaire de q. 2 Proposition 4.Identite de polarisationSoit'la forme polaire associee a la forme quadratique q alors on a : {'(x;y) =12 q(x+y)q(x)q(y) {'(x;y) =12 q(x+y)q(xy) Les identites de polarisation permettent de prouver qu'il y a equivalence entre se donner une forme bilineaire symetrique ou se donner une forme qua- dratique.

Exemples

Le pro duitscalaire dans un espace euclidien a p ourforme quadratique associee :jj:jj2. Si q:Mn(R)!R

A7!tr(tAA)alors la forme polaire associee a cette

forme quadratique est'(A;B) =tr(tAB) P ourune v ariableal eatoireX admettan tun momen td'ordre 2, v ar(X) est une forme quadratique de forme polaire cov(X,Y) Ecriture en dimension nie :Soient E de dimension nie etB= (e1;:::;en) une base de E. Alors pour toutx=Pn i=1xieiet pour touty=Pn i=1yieion peut ecrire matriciellement'(x;y) comme : '(x;y) =nX i;j=1x iyj'(ei;ej) =tXMY avec M= '(ei;ej) i;j2f1:::ng, X=(x1;:::;xn)tet Y=(y1;:::;yn)t Changement de base: Soit E de dimension nie n. SoientBetB0deux bases de E. Si P est la matrice de passage deBaB0(P=MatB(B0)),M= Mat B(') etM0=MatB0(') alorsM0=tPMPDenition 5.Soit q une forme quadratique sur E de dimension nie et B= (e1;:::;en)une base de E. On appelle matrice de q dans la baseBla matrice de la forme polaire'de q dans la baseB: M='(ei;ej) i;j2f1:::ng.

Le rang de q est le rang de cette matrice.

3

Remarques:

Le rang de q est aussi le rang de sa forme p olaire. Gr^ ace ala form ulede c hangementde base, on prouv eque le rang de la forme quadratique ne depend pas de la base choisie. En eet, deux matrices congrues ont m^eme rang. Exemple: DansR3,q(x;y;z) = 3x2+y2+ 2xy3xza pour matrice dans la base canonique0 @3 13=2 1 1 0

3=2 0 01

A qui est de rang 3 donc q est de rang 3.Denition 6.On appelle noyau de q le sous-espace vectoriel de E note

Ker(q) deni par

Ker(q) =fx2Ej8y2E;'(x;y) = 0g

avec'la forme polaire de q. La forme q est dite non-degeneree siKer(q) =f0g, degeneree sinon. Remarque:det(M)6= 0,q est non-degeneree ou M est la matrice associee a la forme quadratique q.

Exemples:

Dans l'exemple pr ecedent,M= 0

@3 13=2 1 1 0

3=2 0 01

A on adet(M) =94

6= 0 donc q est non-degeneree.

{Soit f et g deux formes lineaires sur E de dimension n alors pour n>3, la forme quadratique q(x)=f(x)g(x) est degeneree.En eet, son rang est inferieur ou egal a 2 donc son noyau est non reduit a 0.

1.2 Formes quadratiques positives, denies positives

On va desormais s'interesser tout particulierement aux formes quadra- tiques positives et denies positives pour lesquelles on a des inegalites. 4 Denition 7.Soit q une forme quadratique. On dit que q est denie si q(x)=0,x= 0Denition 8.q est dite positive si8x2E,q(x)>0

Remarque: q est denie positive si8x6= 0,q(x)>0

Exemple:q(A) =tr(A)2est positive mais non denie carq(0 1 0 0 )=0Proposition 9.Si q est denie alors q est non-degeneree. Demonstration.Par contraposee, supposons q degeneree alors il existe x non nul tel que pour touty2E,'(x;y) = 0. En particulier pour x=y,'(x;x) = 0 donc q est non-denie.Remarque: La reciproque est fausse. En eet,q(x;y) =x2y2est

non-degeneree mais q n'est pas denie car q(x,x)=0,8x2ETheoreme 10.Inegalite de SchwarzSi q est positive alors8(x;y)2E2,

j'(x;y)j26q(x)q(y) Si de plus, q est denie il y a egalite si et seulement si x et y sont lies. Demonstration.On a8t2R,q(tx+y) =t2q(x) + 2t'(x;y) +q(y)>0 car q est positive. Si q(x)=0, alors on a8t2R, 2t'(x;y)+q(y)>0 ce qui entra^ne'(x;y) = 0 Siq(x)6= 0, alors on a un polyn^ome du second degre qui ne change pas de signe. Son discriminant 4'(x;y)2q(x)q(y) est donc negatif d'ou l'inegalite. Pour le cas ou q est de plus denie, on a egalite lorsque le discriminant est nul. C'est a dire si il existet0tel queq(t0x+y) = 0 ce qui equivaut at0x+y= 0 car q est denie. Donc x et y sont lies.5 Corollaire 11.Inegalite de MinkowskySi q est positive alors

8(x;y)2E2;pq(x+y)6pq(x) +pq(y)

Demonstration.Par Schwarz, on a

q(x+y) =q(x) + 2'(x;y) +q(y)6q(x) + 2pq(x)q(y) +q(y)

doncq(x+y)6(pq(x) +pq(y))2d'ou l'inegalite.L'inegalite de Minkowsky est donc une consequence immediate de l'inegalite

de Schwarz. Elle exprime que si q est positive alorsS(x) =pq(x) denit une semi-norme. Si de plus, q est denie alors S est une norme.

2 Orthogonalite et isotropie

2.1 OrthogonaliteDenition 12.{Deux ve cteursx et y de E sont dit ortho gonauxselon

q si'(x;y) = 0 Soit AE, on appelle orthogonal de A selon q l'ensemble A ?=fy2Ej8x2A;'(x;y) = 0g Deux sous-ensembles A et B de E sont ortho gonauxselon q si 8x2 A;8y2B,'(x;y) = 0. On noteA?BProposition 13.1.Si AE,A?est un sous-espace vectoriel de E.

2.Ker(q) =E?

3.

Si FE, alorsFF??

4.

Si ABE, on aB?A?

Demonstration.1.Soit x1,x22A?et2Ralors poury2A

'(x1+x2;y) ='(x1;y) +'(x2;y) = 0 6

2.P ard enition,Ker(q) =fx2Ej8y2E;'(x;y) = 0g=E?

3.F??=fy2Ej8x2F?;'(x;y) = 0gEn particulier siy2Falors

8x2F?'(x;y) = 0 doncFF??.

4. Soit y2B?, alors8x2B '(x;y) = 0 en particulier commeAB,

8x2A '(x;y) = 0 doncy2A?.Proposition 14.Si E est de dimension nie, tout sous-espace vectoriel F

de E verie dim(F) +dim(F?) =dim(E) +dim(F\Ker(q))

Demonstration.On considere l'application :F!E

x7!'(x;:). Cette ap- plication est lineaire doncdim(Ker( )) +dim(Im( )) =dim(F) or

Ker( ) =F\Ker(q) et (Im( ))=F?. (B=fx2Ej 82B

E ;(x) = 0g) Ordim(Im( ))=dim(E)dim(Im( ) On en deduit le theoreme.Remarque: Si q est non-degeneree, on adim(F)+dim(F?) =dim(E). Mais cela ne vaut pas dire queFF?=Ecar avecq(x;y) =x2y2et

F=Vect(1

1 ). On aF?=Falors qu'on a l'egalite des dimensions.

2.2 Groupe orthogonal associe a une forme quadra-

tique On souhaite etudier les endomorphismes f de E qui conservent une forme

quadratique q, c'est a dire tels que q(f(x))=q(x),8x2EDenition 15.Soit E de dimension nie, q une forme quadratique non-

degeneree sur E,f2End(E). Il existe alors un et un seul endomorphisme f de E tel que'(f(x);y) ='(x;f(y)),8x;y2Eou'est la forme polaire de q.fest dit adjoint de f relativement a'. 7 Demonstration.En eet, soient (ei) une base de E,M='(ei;ej) i;j2f1:::ng, A=Mat(ei)(f),X=Mat(ei)(x) etY=Mat(ei)(y). Supposons quefexiste et posonsA=Mat(ei)(f). L'identite de l'enonce s'ecrit t (AX)MY=tXMAY8X; Y2Mn;1(R) d'ou tX(tAM)Y=tX(MA)Y8X; Y2Mn;1(R) ce qui est equivalent a tAM=MA Comme q est non-degeneree, M est inversible. On a donc A =M1tA M

Ceci montre queAet doncfest unique.

Reciproquement, si on denitf:E!EparMat(ei)(f) =M1tA M alors en remontant les calculs, on voit quefverie l'identite de l'enonce. Ecriture matricielle: Par la demonstration precedente, on a siM='(ei;ej) i;j2f1:::ngetA=Mat(ei)(f) alorsA=M1tA M

Exemple: SiE=R2muni deq(x) =x21x22et A=Mat(f)=a b

c d alors A =M1tA M=1 0 01 a b c d 1 0 01 =ab c dProposition 16.E espace vectoriel de dimension nie et q non-degeneree.

On a equivalence entre :

1. q(f(x))=q(x) 8x2E

2.'(f(x);f(y)) ='(x;y)8x;y2E

3.ff=id

Un tel endomorphisme est dit orthogonal relativement a q. Demonstration.1),2) : par les identites de polarisation.

2),3) : On a'(f(x);f(y)) ='(x;y)8x;y2E,'(ff(x);y) ='(x;y)

8x;y2E,ff(x) =xcar q est non-degeneree,ff=idProposition 17.Soit O(q)=ff2End(E)jff=idg. On a :

8 {id2O(q) si f,g 2O(q)alorsfg2O(q) si f2O(q)alorsf12O(q) En particulier, O(q) est un groupe pourdit groupe orthogonal de q. Demonstration.On a clairementid=idcar'(id(x);y) ='(x;id(y)) donc id2O(q)

On a8f;g2End(E), (fg)=gfcar8x;y2E '(fg(x);y) =

'(g(x);f(y)) ='(x;gf(y)). Si f,g2O(q) alors (fg)(fg) =gffg=gidg=gg=id doncfg2O(q).

Sif2O(q) alorsff1=id2O(q) d'ou (ff1)(ff1) =iddonc

(f1)fff1=id d'ou (f1)f1=id.Proposition 18.SoitB= (e1;:::;en)une base de E. M=Mat(ei)(f)alors f2O(q),tAMA=M

Demonstration.Ceci decoule directement de l'ecriture matricielle def.Exemple: Soitq(x) = 2x1x2dansR2alors

O(q) =fa0

0 1=a 0b 1=b0 ja;b2Rg

2.3 IsotropieDenition 19.Soit q une forme quadratique sur E. On appelle c^one isotrope

l'ensemble

I(q) =fx2Ejq(x) = 0g

Exemples

9 {Si E= R2etq1(x) =x21x22. On aI(q1) =f(x1;x2)2R2jx1=x2g Si E= R3etq2(x) =x21+x22x23d'ouI(q2) =f(x1;x2;x3)2R3jx3= px

21+x22gProposition 20.On aKer(q)I(q)Denition 21.Un sous-espace vectoriel F de E est dit isotrope si

F\F?6=f0g

Remarque: Il existe des sous-espaces isotropes si et seulement siI(q)6=f0gDenition 22.Un sous-espace F de E est dit totalement isotrope si'jF= 0

avec'la forme polaire de q.

Remarques:

F est totalemen tisotrop e,FI(q),FF?

Si F= f0galors F est totalement isotrope donc de tels espaces existent toujours. Exemple:q(x) =x21x22et F=f(x1;x2)jx1=x2gest totalement isotrope et non inclus dans le noyau.

3 Reduction des formes quadratiques

Dans toute cette section, nous realiserons une pseudo-reduction dans le sens ou c'est tPMPqui sera diagonale.

3.1 Reduction simultanee et ApplicationsTheoreme 23.Si q est une forme quadratique denie positive et q' est une

forme quadratique quelconque alors il existe une base orthonormee pour q qui est orthogonale pour q'. 10 Demonstration.La forme q est denie positive. Elle denit donc un pro- duit scalaire. On peut donc noterq=k:k2et'(x;y) =x:y. On fait une demonstration par recurrence sur la dimension n de l'espace vectoriel E. Le resultat est vrai en dimension 1. Par recurrence, on le suppose vrai pour la dimension n-1. On se place alors en dimension n. Pour cela, on denit une fonctionf:En f0g !Rtelle que f(x)=q0(x)kxk2. Comme la sphere unite de E est compacte car E est de dimension nie et que l'applicationfjSest continue, elle atteint son maximum en un pointe1 de S.(e1de norme 1 dans E) De plus,82Ret8x2E,f(x) =f(x). Donc e

1realise le maximum de f surEn f0g.

Maintenant f est une application dierentiable denie sur l'ouvertEnf0g. Comme elle atteint un extremum ene1, sa dierentielle doit s'annuler en ce point. On a donc df e1(x) =2'0(e1;x)ke1k22q0(e1)(e1:x)ke1k4= 0 d'ou 2'0(e1;x)2q0(e1)(e1:x) = 0. On a donc si x est orthogonal ae1pour q (i.ee1:x= 0) alors il est orthogonal pour q' ('0(e1;x) = 0). Enn, on decompose E en somme directe orthogonale pour q :E= V ect(e1)V ect(e1)?. On peut appliquer l'hypothese de recurrence au sous- espaceV ect(e1)?de dimension n-1 car q est non-degeneree. Il existe une base (u1;:::;un1) orthonormale pour q et orthogonale pour q'. Comme (u1;:::;un1) sont orthogonaux ae1pour q, par la propriete precedente veriee pare1ils le sont pour q'. Donc (u1;:::;un1;e1) est une base ortho-

gonale pour q' et orthonormale pour q car on a prise1de norme 1 pour q.Application 24.Soit A une matrice symetrique reelle. Alors A est diago-

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