[PDF] [PDF] Inégalité de Markov Théorème - said el melhaoui

[PDF] Inégalité de Markov Théorème - said el melhaoui

Corollaire: Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (IBT) Si X est une Preuve: Il suffit d'appliquer l'inégalité de Markov à la v a X − µ2 et prendre α = (kσ)2

[PDF] Convergences et approximations 1 Inégalité de Markov a Enoncé b

Inégalité de Markov a Enoncé Si X est une variable aléatoire à valeurs positives et admettant une espérance, Va > 0,P X ≥ a ≤ E(X) a b Démonstration

[PDF] Probabilités et statistiques - Laboratoire de Probabilités, Statistique

16 oct 2018 · 33 Démonstration L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est une conséquence de l'inégalité de Markov La variable aléatoire X étant de carré 

[PDF] Probabilités et Statistiques - Laboratoire de Probabilités, Statistique

2 4 3 Inégalité de Markov et de Bienaymé-Tchebychev 48 3 4 2 3 Démonstration du théor`eme de la limite centrale 83 4 3 Quelques remarques sur 

[PDF] Chapitre 5 Espérance

Voici maintenant 3 preuves de l'inégalité de Markov, libre au lecteur de choisir celle qu'il préfère Preuve no 1 C'est la preuve « muette » donnée par la figure 5 7

[PDF] Linégalité de Tchebychev

terons d'en donner une démonstration dans le cas o`u Ω est fini Notons (yi)i=1, , N l'ensemble (fini) des valeurs prises par la variable Y On peut alors écrire

[PDF] Linégalité de Bienaymé-Tchebychev - UPHF

Démonstration : On applique l'inégalité de Markov à la variable aléatoire (X − µ) 2 shortname (shortinst) L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev 29 / 50 

[PDF] cours 6, le lundi 15 février 2010 Inégalité de Markov Elle est aussi

15 fév 2010 · Si ∫X f dµ < +∞, alors µ({f = +∞}) = 0 Preuve — Si l'intégrale de f est nulle, on obtient par Markov, pour tout a > 0, µ({f 

[PDF] Théorèmes Limites - LAMA

Inégalités de Markov et Bienaymé–Tchebychev Tout d'abord l'inégalité de Markov dont la démonstration est d'un simplicité enfantine Proposition 1 Soit X une 

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Théorèmes asymptotiques

Loi des grands nombres

Inégalité de MarkovThéorème: Inégalité de MarkovSoitXune variable aléatoire réelle supposée presque sûrement

positive (P(X≥0) =1). Alors ?α >0,P(X?α)?E[X] Preuve:On suppose queXadmet une densité de probabilitéf, alors on a l"inégalité

E(X) =?

0 xf(x)dx

αf(x)dx

=αP(X≥α).

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Théorèmes fondamentaux

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Théorèmes asymptotiques

Loi des grands nombres

Inégalité de Bienaymé-TchebychevCorollaire: Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (IBT)SiXest une variable aléatoire de moyenneμet de variance finie

σ2<∞alors

k2 Preuve:Il suffit d"appliquer l"inégalité de Markov à la v.a.|X-μ| 2et prendreα= (kσ) 2.

N. B.L"IBT permet de majorer d"une façon large

la probabilité de l"éloignement d"une v.a. quelconque de sa moyenne par un rayon donné

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Théorèmes asymptotiques

Loi des grands nombres

Implications

2=0.25 :

Moins de25%des valeurs d"une v.a. sont loins de sa moyenne plus de 2 écarts-type Moins de11.11%des valeurs d"une v.a. sont loins de sa moyenne plus de 3 écarts-type

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Loi des grands nombres

Loi des grands nombresThéorème : Loi des grands nombresSoientX

1,...,X

nune suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées (i.i.d.), d"espéranceμet de variance finie.

Désignons par

Xla moyenne empirique de l"échantillon :

X=1 n n?i=1 Xi Alors Xtend en probabilité versμlorsquen-→+∞: ?ε >0,lim n→+∞ P(|

X-μ|> ε) =0.

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Loi des grands nombres

Loi des grands nombresPreuve:Remarquons que

E( X) =? i E(X i)/n=nμ/n=μ et V(

X) =σ

2X=? i V(X i)/n

2=nσ

2n2 2n.

Soitε >0, posonsk=ε/σ

X, l"inégalité IBT donne

P(|

2(X)ε2

2nε

2n-→0.

N. B.Le fait que la moyenne empirique de l"échantillon

Xconverge en

probabilité versμ(la moyenne deXpratiquement inconnu) le favorise pour être un estimateur qui se rapproche assez bien du paramètreμ pour une taille de l"échantillon assezgrande

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Théorèmes d"approximation en loi

Approximation normale de la binomialeThéorème: Moivre-LaplaceSoitXune v.a qui suit la loiB(n,p)alors, lorsquen?→+∞

X-np ?np(1-p)≈ N(0,1)

N. B.≈: suit approximativement la loi

N. B.L"application en pratique (en dimension finie) est valable lorsque l"une des deux conditionssuivantes est vérifiée : 1 n≥20,np≥10 etnq≥10 2 npq≥10

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Théorèmes d"approximation en loi

Approximation de la binomiale par la loi de poissonThéorèmeSoitXune v.a qui suit la loiB(n,p)alors, lorsquen?→+∞

X-np np(1-p)≈ P(λ) oùλ=np N. B.La conditions d"application en pratique est :

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Théorèmes d"approximation en loi

Approximation normale de la poissonnienneThéorèmeSoitXune v.a qui suit la loiP(λ)alors, quandλ?→+∞

X-λ

?λ)≈ N(0,1) N. B.La condition d"application en pratique estλ≥15

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Théorèmes d"approximation en loi

Résumé des approximationsBC(n,p)etP

C(λ)désignent respectivement les lois binomiale et de

Poisson centrées réduites

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Théorèmes d"approximation en loi

Généralisation : Théorème Central LimiteThéorème Central Limite (TCL)SoientX

1,...,X

nune suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées (i.i.d.), d"espéranceμet de variance

2<∞. On a

X-μσ/⎷

n≈ N(0,1). N. B.La condition d"application du TCL en pratique estn≥30

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Théorèmes d"approximation en loi

Généralisation : Théorème Central Limite (suite)RemarqueLe TCL est généralement formulé pour une moyenne

X, mais on peut

l"utiliser sous une autre forme. SoitX T= n?i=1

Xila somme den

variables aléatoires, il suffit de factoriser par 1/npour verifier que X

T-nμσ⎷

n≈ N(0,1).

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