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f(t)dt est convergente (en b) Théor`eme 1 Une intégrale absolument convergente est convergente 3 Intégrales Impropres des fonctions `a signe constant

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Une fonction du type x ↦− → eλx est continue sur R Le seul cas qui pourrait donner une intégrale impropre est quand une des bornes est infinie Proposition 7 4

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Fonctions définies à l'aide d'intégrales impropres : dérivation ® Introduire avec soin une primitive 7 Fonctions définies par une intégrale impropre 1) 

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Intégrales généralisées (ou impropres) Vous avez défini en S3 l'intégrale de Riemann d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle [a, b], notée b a

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19 1 Intégrales impropres On appelle intégrale impropre toute intégrale du type Z b a f(t)dt converge On dit que l'intégrale est alors faussement impropre

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1 t dt ne converge pas, on dit qu'elle est divergente Page 3 19 Intégrales impropres 3/10 Proposition 3

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tend vers une limite quand x tend vers a par valeurs supérieures Théor`eme 2 2 Si l'intégrale converge absolument elle converge La réciproque est fausse Le 

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Si cette limite existe l'intégrale converge, sinon elle diverge Convergence Soit a et α deux nombres réels tels que a > 0, alors l'intégrale impropre : ∫ +∞ a dt

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1

L1-MATH II-(2005-2006).

R´esum´e sur les Int´egrales Impropres

&exercices suppl´ementaires Une fonction d´efinie sur un intervalleIest ditelocalement int´egrablesurIsifest Riemann- int´egrable sur tout intervalle [a;b]µI.

1. D´efinitions.

(1)Soitfune fonction d´efinie sur l"intervalleI= [a;b[ (on peut avoirb= +1) et localement int´egrable surI. On dit que l"int´egraleZ b a f(t)dtestconvergenteenbsi la fonction

F(x) =Z

x a f(t)dt;d´efinie sur [a;b[;

admet une limite finie quandxtend versb(Cette limite finie est appel´ee l"int´egrale defsur [a;b[

et est not´eeZ b a f(t)dt). Dans le cas contraire, on dit que l"int´egraleZ b a f(t)dtestdivergente. (2)Soitfune fonction d´efinie sur l"intervalleI=]a;b] (on peut avoira=¡1) et localement int´egrable surI. On dit que l"int´egraleZ b a f(t)dtestconvergenteenasi la fonction

F(x) =Z

b x f(t)dt;d´efinie sur ]a;b];

admet une limite finie quandxtend versa(Cette limite finie est appel´ee l"int´egrale defsur ]a;b]

et est not´eeZ b a f(t)dt). Dans le cas contraire, on dit que l"int´egraleZ b a f(t)dtestdivergente.

Exemples.

(a). On aZ x 0 e¡tdt= 1¡e¡x. Comme limx!+1e¡x= 0, l"int´egraleZ +1 0 e¡tdtest convergente et vaut 1. (b). On aZ x 0 cos(t)dt= sin(x). Comme limx!+1sin(x) n"existe pas, l"int´egraleZ +1 0 cos(t)dtest divergente. (c). On aZ 2 x1 t¡1dt=¡ln(x¡1), pourx >1. Comme limx!1ln(x¡1) =¡1, l"int´egraleZ 2 11 t¡1dt est divergente. (d). On aZ 1 x1 p t dt= 2¡2p x. Comme limx!0p x= 0, l"int´egraleZ 1 01 p t dtest convergente. (3)Soitfune fonction d´efinie sur l"intervalleI=]a;b[ (on peut avoira=¡1,b= +1) et localement int´egrable surI. On dit que l"int´egraleZ b a f(t)dtestconvergente(enaetb) s"il existe c2]a;b[ (ou d"une facon ´equivalente si pour toutc2]a;b[) l"int´egraleZ c a f(t)dtest convergente en aet l"int´egraleZ b c f(t)dtest convergente enb. Par d´efinition on pose Z b a f(t)dt=Z c a f(t)dt+Z b c f(t)dt: 2 (4)Soitfune fonction d´efinie sur une r´eunion[

1·i·n]ai;bi[, avecbi·ai+1(on peut avoir

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