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f(t)dt est convergente (en b) Théor`eme 1 Une intégrale absolument convergente est convergente 3 Intégrales Impropres des fonctions `a signe constant

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Une fonction du type x ↦− → eλx est continue sur R Le seul cas qui pourrait donner une intégrale impropre est quand une des bornes est infinie Proposition 7 4

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Fonctions définies à l'aide d'intégrales impropres : dérivation ® Introduire avec soin une primitive 7 Fonctions définies par une intégrale impropre 1) 

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Intégrales généralisées (ou impropres) Vous avez défini en S3 l'intégrale de Riemann d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle [a, b], notée b a

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19 1 Intégrales impropres On appelle intégrale impropre toute intégrale du type Z b a f(t)dt converge On dit que l'intégrale est alors faussement impropre

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1 t dt ne converge pas, on dit qu'elle est divergente Page 3 19 Intégrales impropres 3/10 Proposition 3

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tend vers une limite quand x tend vers a par valeurs supérieures Théor`eme 2 2 Si l'intégrale converge absolument elle converge La réciproque est fausse Le 

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Si cette limite existe l'intégrale converge, sinon elle diverge Convergence Soit a et α deux nombres réels tels que a > 0, alors l'intégrale impropre : ∫ +∞ a dt

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UE : Math 4

Mémento sur les intégrales impropres

1.Soitfune fonction réelle et continue sur l"intervalle[a,+∞[. Par définition et sous réserve

d"existence,?+∞ a f(t)dt= limx→+∞? x a f(t)dt Si cette limite existe l"intégraleconverge, sinon ellediverge.Convergenceoudivergence représentent lanaturede l"intégrale. Dans la plupart des cas, on ne calcule pas explicitement l"intégrale. On dispose d"outils pour conclure sur la nature de cette intégrale.

Remarque: Sib > a, les intégrales?+∞

af(t)dtet?+∞ bf(t)dtsont de même nature, si bien que pour conclure sur?+∞ af(t)dton étudiera souvent?+∞ bf(t)dtpour unbbien choisi.

2. Intégrales de Riemann, intégrales "prototypes»

Soitaetαdeux nombres réels tels quea >0, alors l"intégrale impropre : adt tα

•converge siα >1;

3. Comparaison des intégrales

toutt≥a. Pour toutx≥a, on a : x a x a g(t)dt. De plus, commef(t)≥0pourt≥a, la fonctionx?→?x afest croissante sur[a,+∞[donc, quand

xtend vers+∞, ou bien elle converge, ou bien elle diverge vers+∞. De même pourg, d"où :

Lemme (1):

•Si?+∞

ag(t)dtconverge alors?+∞ af(t)dtconverge;

•Si?+∞

af(t)dtdiverge alors?+∞ ag(t)dtdiverge.

4. Convergence absolue

Soitfune fonction définie et continue sur[a,+∞[. On dit que l"intégrale?+∞ af(t)dtconverge absolumentsi l"intégrale?+∞ a|f(t)|dtconverge. Lemme (2):Une intégrale absolument convergente est convergente.

Attention, la réciproque est fausse!

5. Utilisation des équivalents

Sifest une fonction à valeurspositivessur[a,+∞[et sifetgsont équivalentes au voisinage de l"infini : f(t)≂t→+∞g(t), alors af(t)dtet?+∞ ag(t)dtsont de même nature. 1

6.Sifune fonction réelle et continue sur l"intervalle]-∞,a], par définition et sous réserve d"exis-

tence,?a f(t)dt= limx→-∞? a x f(t)dt

7.Intégrales?b

af(t)dtoùfest une fonction définie continue sur l"intervallesemi-ouvert]a,b].

1. Si la fonctionfadmet une limite enaalors, en prolongeantfpar continuité ena, l"intégrale?b

af(t)dtse ramène à l"intégrale d"une fonction définie continue sur l"intervalle fermé[a,b].

2. Si la fonctionfn"admet pas de limite enaalors, par définition et sous réserve d"existence,

b a f(t)dt= limx→a+? b x f(t)dt. On utilise alors des méthodes analogues à celles passées en revue ci-dessus.

3. Donnez une condition nécessaire et suffisante surαpour qu"il y ait convergence de l"inté-

grale :?a 0dt tα, oùaest un nombre réel positif. (faites un changement de variable!)

8. Intégrales impropres de fonctions à valeurs complexes

Sifest continue sur l"intervalle[a,+∞[et à valeurs dansC, on peut définir comme précédem-

ment, sous réserve d"existence : a f(t)dt= limx→∞? x a f(t)dt. Ceci équivaut à dire que les intégrales suivantes (à valeurs réelles) convergent : a

Re(f(t))dtet?

a

Im(f(t))dt.

De plus, en cas de convergence,

a f(t)dt=? a

Re(f(t))dt+i?

a

Im(f(t))dt.

On dispose également de la notion deconvergence absolue(en utilisant le module au lieu de la valeur absolue, ce qui s"écrit de la même manière), et le lemme (2) reste vrai : Lemme (2"): Si l"intégrale (à valeurs réelles positives)?∞ a|f(t)|dtconverge, alors l"intégrale (à valeurs complexes)?∞ af(t)dtconverge.

Enfin, tout ceci vaut également pour l"intégration sur les autres types d"intervalle (]- ∞,a],

]a,b],...) 2quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18