une fraction rationnelle irréductible Les racines du polynôme P sont appelées les racines ou les zéros de F Les racines du polynôme Q sont appelées les pôles de la fraction rationnelle F Si F n'est pas nulle, on appelle degré de F et on note deg(F) le nombre entier relatif deg(P) − deg(Q)
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Polyn^omes et fractions rationnelles
L'ensembleK(X) des fractions rationnelles()Polyn^omes et fractions rationnelles1 / 25L'ensembleK(X) des fractions rationnellesDenition
On appelle fraction rationnelle (ou fonction rationnelle) a coecients dans Ktoute fonction F de la forme F:x7!P(x)Q(x)denie sur K rfx2KQ(x) = 0g, ou P et Q sont deux polyn^omes deK[X], Q n'etant pas le polyn^ome nul. Pour une telle fraction rationnelle, on ecrira plus simplement F=PQ ou encore F(X) =P(X)Q(X). L'ensemble desfractions rationnelles a coecients dansKest noteK(X).Exemple:F(X) =X2+ 3X+ 12X6est une fraction rationnelle, c'est un
element deR(X).()Polyn^omes et fractions rationnelles2 / 25Denition
Soit F=PQ
une fraction rationnelle. On dit que F est irreductible si P et Q n'ont pas d'autres diviseurs communs que les polyn^omes constants non nuls.Exemple:La fractionF(X) =X2+XX2n'est pas irreductible. Par contre,
la fractionG(X) =X+ 1X est irreductible.Desormais,
on ne considere plus que des fractions rationnelles irreductibles. ()Polyn^omes et fractions rationnelles3 / 25Denition
Soit F=PQ
une fraction rationnelle irreductible.Les racines du polyn^ome P sont appelees les racines ou les zeros de F.
Les racines du polyn^ome Q sont appelees les p^oles de la fraction rationnelle F. Si a est un p^ole de F, on appelle ordre de multiplicite de a en tant que p^ole de F l'ordre de multiplicite de a en tant que racine de Q.Si F n'est pas nulle, on appelle degre de F et on notedeg(F)le nombre entier relatifdeg(P)deg(Q).Exemple:On considere la fraction rationnelleF(X) =X2+X2(X+ 1)2(X3) deR(X).()Polyn^omes et fractions rationnelles4 / 25 Plan1Decomposition d'une fraction rationnelle en elements simples
()Polyn^omes et fractions rationnelles5 / 25Etape 1 : Partie entiere et partie polaire.
Proposition
Soit F=PQ
une fraction rationnelle appartenant aK(X). Il existe un unique couple(E;R)de polyn^omes appartenant aK[X]tel queF(X) =E(X) +R(X)Q(X)etdeg(R) Le polyn^ome E est le quotient de la division euclidienne de P par Q et R le reste de cette m^eme division euclidienne. Le polyn^ome E est appele la partie entiere de F etRQ sa partie polaire (ou fractionnaire).()Polyn^omes et fractions rationnelles6 / 25 Demonstration.Eectuons la division euclidienne dePparQ: il existe deux polyn^omesEetRappartenant aK[X] tels que P(X) =E(X)Q(X) +R(X)
deg(R)F(X) =4X43X2+ 2X1X
P(X) =E(X)Q(X) +R(X)
deg(R)21.()Polyn^omes et fractions rationnelles7 / 25
Etape 2 : Decomposition du denominateur en facteurs irreductibles SoitF(X) =E(X) +R(X)Q(X)une fraction rationnelle irreductible deK(X) (apres division euclidienne).SiK=C, on sait queQest scinde surCet qu'il s'ecrit Q(X) =C(Xa)m(Xb)n:::oua;b;:::sont les racines deQde multiplicites respectivesm;n:::;etCest le coecient dominant deQ. On a ainsi
F(X) =E(X) +R(X)C(Xa)m(Xb)n::::()Polyn^omes et fractions rationnelles8 / 25SiK=R, on sait queQse decompose surRsous la forme
Q(X) =C(Xa)m:::(Xb)n:::(X2+b1X+c1)p(X2+bpX+cp)q::: oua;b;:::sont les racines reelles deQde multiplicites respectives m;n:::;,Cest le coecient dominant deQet ou le discriminant des trin^omes (X2+biX+ci) est strictement negatif,p;q;:::etant des entiers strictement positifs. On a ainsiF(X) =E(X)+R(X)C(Xa)m:::(Xb)n:::(X2+b1X+c1)p(X2+bpX+cp)q::::()Polyn^omes et fractions rationnelles9 / 25
Etape 3 : Decomposition de la partie polaire en elements simples dansC(X)Denition On appelle element simple deC(X)toute fraction rationnelle de la forme (Xa)ou2C,2Net a2C. On peut aussi les ecrire sous la forme (aX+b)ou2C,2Net a2C?;b2C.Exemples: ()Polyn^omes et fractions rationnelles10 / 25