Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud 16 novembre 2011 PDF Corrige_Amerique_Sud_S_nov

f ?(x)=4 (x+1)2>0 car quotient de deux nombres supérieurs à zéro. La fonctionfest donc croissante sur ]-1 ;+∞[. Montrons par récurrence la décroissance de la suite :

Initialisation : u

1=2,2
Hérédité :Supposons qu"il existe un naturelk?0 tel queuk (tous les termes étant supérieurs à 1), on af(uk)c.On a démontré que la suite(un)est décroissante et minorée par 1 : elle est donc convergentevers
un nombre?supérieur ou égal à 1. La fonctionfest continue car dérivable sur ]-1 ;+∞[; la relation de récurrence u n+1=f(un)donne à la limite?=f(?)???=3-4 ?+1???(?+1)=3(?+1)-4
La suite
(un)converge vers 1.
Exercice 24 points

Commun à tous lescandidats

1. a.Recopier et compléter l"arbre de probabilités ci-dessous.
V 2 3S 1 1 6 S15 6 R 1 3S 1 4 6 S12 6
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
b.D"après la loi des probabilités totales on a :P(S1)=P(V∩S1)+P(R∩S1)=2
3×16+13×46=218+418=618=13.

2. a.Le tirage d"un dé vert a une probabilité de2

3et celui du dé rouge de13.
Dans chaque cas le lancernfois de suite est un schéma de Bernouilli de paramètresnet1 6pour le dé vert et denet4
6pour le dé rouge. La probabilité de tirern6 est donc :
P (Sn)=dé vert 2
3×?16?
n +dé rouge 1
3×?46?
n =23×?16? n +13×?23? n
b.D"après la question précédente la probabilité d"avoir tiréle dé vert puis obtenunfois 6 est égale
2
3×?16?
n et la probabilité d"avoir tirénfois de suite le 6 est égale àP(Sn). On a doncpn=ptirern6(tirer le dé rouge)=tirern6et tirer le dé rouge tirern6= 1
3×?23?
n 2
3×?16?
n +13×?23? n=en multipliant par 3×3n,pn=2n
2×12n+2n=
2 n n+1. c.On apn?0,999??1
2×?14?
n+1?0,999??1?0,999?
2×?1
4? n+1?
1?1,998?1
4? n?ln1998 ln4≈5,4
Conclusion :n0=6.

Exercice 34 points

Commun à tous lescandidats

1.Ob a limx→+∞x2=+∞et limx→+∞1-lnx=-∞, donc par produit de limites : limx→+∞g(x)=-∞.

2.On ag(x)=x2-x2lnx.

On a lim
x→0x2=0 et on sait que limx→0x2lnx=0, donc par somme de limites : limx→0x2=0.
3.gest dérivable sur ]0 ;+∞[ car produit de sommes de fonctions dérivables sur ]0 ;+∞[ et sur cet
intervalle : g ?(x)=2x(1-lnx)+x2×? -1 x? =2x-2xlnx-x=x-2xlnx=x(1-2lnx) qui est du signe de 1-2lnx puisquexest positif.
Or 1-2lnx>0??1>2lnx??1

2>lnx??e1

2>xet de même 1-2lnx<0??x>e12(ou
x>? e).
Lafonctionestdonccroissantesur?

0 ; e1
2? etdécroissantesur? e12;+∞? ,avecunmaximumf? e12? e1 2?2?
1-lne12?
=e×?1-12?=e×12=e2.
Amérique du Sud216 novembre2011

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

4.Sur?

0 ; e12?
,gcroît de 0 àe2, puis de décroît dee2à-∞. La fonctiongétant continue car dérivable s"annule donc en point unique de? e1
2;+∞?
tel que : Conclusion : la fonctiongest positive sur ]0 ; e[ et négative sur ]e ;+∞[. PartieB Représentationgraphiqueet aire sous la courbe
1.Voir l"annexe 2.

2.On ag(1)=12(1-ln1)=1.

Le coefficient directeur de la tangente à la courbeCau point d"abscisse 1 est le nombre dérivé
f ?(1)=1(1-2ln1)=1. Une équation de la tangenteTà la courbeCau point d"abscisse 1 est donc :
3.On a vu que la fonctiongest positive sur ]0 ; e[, donc sur ]1 ; e[.
tions respectivesx=1 etx=e est donc égale à l"intégrale : A=? e 1 x2(1-lnx)dx.
En posant :
u ?=x2v=1-lnx u=x3
3v?=-1x
Toutes ces fonctions étant continues, on peut intégrer par parties : A=?x3
3(1-lnx)?
e 1-? e 1x
33×?
-1x? dx=?x33(1-lnx)? e 1+? e 1x 23dx=
?x3
3(1-lnx)+x39?
e
1=e33(1-1)-13+e39-19=e39-49=e3-49(u. a.).

Exercice 43 points

Commun à tous lescandidats
(z-1+2i)(z-1-2i)=0 L"équation a donc deux solutions complexes conjuguées : 1+2i et 1-2i.
2. a.Voir la figure ci-dessous.
b. zB-zC zA-zC=1-2i-1-? 3-i
1+2i-1-?3-i-3i-?
3 i-?3= ?-3i-?
3??i+?3??i-?3??i+?3?=3-3i?

3-3-i?3
i2-3=-4i? 3 -4=i?3. c. zB-zCquotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

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Durée : 4 heures

16 novembre 2011

Exercice 14 points

Commun à tous lescandidats

1. a.Voir à la fin.

2. a.Initialisation : u0=4>1. L"inégalité est vraie au rang 0;

Alorsuk+1>2?1

Or 3-4

On a donc démontré que siuk>1, alorsuk+1>1.

Initialisation : u

La suite

Exercice 24 points

Commun à tous lescandidats

1. a.Recopier et compléter l"arbre de probabilités ci-dessous.

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

3×16+13×46=218+418=618=13.

2. a.Le tirage d"un dé vert a une probabilité de2

3et celui du dé rouge de13.

6pour le dé rouge. La probabilité de tirern6 est donc :

3×?16?

3×?46?

3×?16?

3×?23?

3×?16?

2×12n+2n=

2×?14?

2×?1

1?1,998?1

Conclusion :n0=6.

Exercice 34 points

Commun à tous lescandidats

1.Ob a limx→+∞x2=+∞et limx→+∞1-lnx=-∞, donc par produit de limites : limx→+∞g(x)=-∞.

2.On ag(x)=x2-x2lnx.

On a lim

3.gest dérivable sur ]0 ;+∞[ car produit de sommes de fonctions dérivables sur ]0 ;+∞[ et sur cet

Or 1-2lnx>0??1>2lnx??1

2>lnx??e1

2>xet de même 1-2lnx<0??x>e12(ou

Lafonctionestdonccroissantesur?

0 ; e1

1-lne12?

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Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

4.Sur?

0 ; e12?

2;+∞?

1.Voir l"annexe 2.

2.On ag(1)=12(1-ln1)=1.

3.On a vu que la fonctiongest positive sur ]0 ; e[, donc sur ]1 ; e[.

En posant :

3v?=-1x

3(1-lnx)?

33×?

3(1-lnx)+x39?

1=e33(1-1)-13+e39-19=e39-49=e3-49(u. a.).

Exercice 43 points

Commun à tous lescandidats

2. a.Voir la figure ci-dessous.

1+2i-1-?3-i-3i-?

3??i+?3??i-?3??i+?3?=3-3i?

3-3-i?3