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Amérique du sud novembre 2011 3ème ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 POINTS) Exercice 1



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Amérique du sud novembre 2011 3ème ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 POINTS) Exercice 1



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ACTIVITÉS NUMÉRIQUES(12POINTS)Exercice 1

Cet exercice est un exercice à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse

correcte rapportera 1 point. L"absence de réponse ou une réponse fausse ne retirera aucun point.

Indiquer, sur la copie, le numéro de la question et la réponse. Aucune justification n"est demandéeQuestionsRéponse ARéponse BRéponse C

2Un carré de côté 3

p2 a pour aire :612 p218

3L"expression factorisée dex2¡16n"existe pasest (x¡4)(xÅ4)est (x¡4)24Les solutions de l"inéquation¡2x¡1Ç3

sont les nombresxtels que :xǡ2xȡ2xȡ1D. LE FUR 1/ 11

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Exercice 2

On propose deux programmes de calcul :

Programme AProgramme B

Choisir u nnombr e.

Aj outer3 .

C alculerle c arrédu résul tatobt enu.-Choisir u nnombr e.

S oustraire5.

C alculerle c arrédu résul tatobt enu.1)On choisit 1 comme nombre de départ.

1Å3AE4

4 2AE16

On obtient 16.

1¡5AE¡4

(¡4)2AE16

On obtient 16.

mêmenombrededépart?Justifier. Le cas précédent est un cas particulier car on retrouve le même résultat.

Pour d"autres valeurs, ce n"est pas le cas.

Par exemple, quand on choisit 0, on obtient 9 avec le programme A et 25 avec le programme B.

Soitxle nombre de départ.

Le résultat du programme A est (xÅ3)2.

Résolvons l"équation (xÅ3)2AE0.

xÅ3AE0 xAE¡3

Il faut choisir le nombre¡3.D. LE FUR 2/ 11

Brevet Amérique du sud novembre 2011 3ème

3)Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d"initiative, même non fructueuse sera prise en

compte dans l"évaluation.Quel(s)nombre(s)dedépartfaut-ilchoisirpourquelerésultatduprogrammeBsoit9?

Soitxle nombre de départ.

Le résultat du programme B est (x¡5)2.

Résolvons l"équation (x¡5)2AE9.

x¡5AE3 oux¡5AE¡3 xAE8 ouxAE2 Il faut choisir le nombre 2 ou le nombre 8.D. LE FUR 3/ 11

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Exercice 3

Un sac contient 6 jetons rouges et 2 jetons jaunes. On tire au hasard, chacun des jetons ayant la même probabilité d"être

tiré.

Il y a 6 jetons rouges parmi 8.

La probabilité de tirer un jeton rouge est

68
AE34

Il y a 2 jetons jaunes parmi 8.

La probabilité de tirer un jeton jaune est

28
AE14

3)On ajoute dans ce sac des jetons verts. Le sac contient alors 6 jetons rouges, 2 jetons jaunes et les jetons verts. On

tire un jeton au hasard.Sachantquelaprobabilitédetirerunjetonvertestégaleà1 2 ,calculerlenombredejetonsverts.

Il faut que la moitié des jetons soient verts.

Il faut donc 8 jetons verts.

Vérifions.

Il y a 8 jetons verts parmi 16.

La probabilité de tirer un jeton vert est

816
AE12 .D. LE FUR 4/ 11

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ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES(12POINTS)Exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n"est demandée.

Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte. Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.

Pour chacune des3questions, indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse correcte.

Pour répondre aux questions, observer la figure ci-dessous :-O e stle cent rede la sp hère, l eplan Pcoupe la sphère suivant un cercle de centre H,

M est u npoint de ce cer cle,

R est l emili eude [ OH].1)Le point R appartient ...à la sphère de centre

O et de rayon OM.à la boule de centre

O et de rayon OM.au planP.2)La distance du point O au planPest ...OMOROH

3)Si OMAE11,7cmet HMAE10,8cm,

alors OHAE¢¢¢4,5cm1,2cmest 20,25cmD. LE FUR 5/ 11

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Exercice 2

ABC est un triangle rectangle en A tel que CBAE7cmet ABAE3cm.

On appelle I le milieu du segment [CB].

1)Réaliserunefigureenvraiegrandeur.

A CB

Dans le triangle ABC rectangle en

A d"après le théorème de Pythagore, B A

2ÅAC2AEBC2

3

2ÅAC2AE72

9ÅAC2AE40

AC 2AE40

ACAEp40 avec

p40AEp4£10AE2p10

ACAE2p10 (valeur exacte)

ACAE6,3cm(valeur arrondie au millimètre près)

ACBarrondieà0,1°près.

Dans le triangle ABC rectangle en A,

sin sin

D"après la calculatrice,

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Le triangle ABC est rectangle en A. Son cercle circonscrit a pour centre le milieu I de son hypoténuse [CB] et pour

rayon la moitié de l"hypoténuse, donc 3,5cm.

5)Calculerlamesuredel"angled

AIBaudegréprès.

L"angle inscrit

Alors d AIBAE51° (valeur arrondie au degré près)D. LE FUR 7/ 11

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Exercice 3

On considère la figure ci-contre sur laquelle les dimen- sions ne sont pas respectées. On ne demande pas de reproduire la figure. L"unité de lon- gueur est le centimètre. Les points A, B et D sont alignés ainsi que les points C, B et E.

ABAE12; ACAE9; BCAE15; DBAE8,4; BEAE10,5.A B

C D E 12 15

D est sur (

B A).

E est sur (

B C).

L"ordre des points est respecté.

D"après la réciproque du théorème de Thalès, si B DBA

AEBEBC

, alors les droites (DE) et (AC) sont parallèles.

Vérifions :

BDBA

AE8,412

AE84120

AE710 BEBC

AE10,515

AE2130

AE710 Comme BDBA

AEBEBC

, alors les droites (DE) et (AC) sont parallèles.

2)Calculerlalongueurdusegment[ED].

D est sur (

B A).

E est sur (

B C). (DE) // (AC).

D"après le théorème de Thalès,

B DBA

AEBEBC

AEDEAC

8,412

AE10,515

AEDE9 710
AEDE9

DEAE7£910

DEAE6,3cmD. LE FUR 8/ 11

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PROBLÈME(12POINTS)De façon à récupérer l"eau de pluie de son toit, Lucas décide d"installer un récupérateur d"eau dans le sol de son jardin.

La profondeur dont il dispose est de 2,5m.

Un fabricant lui propose alors les deux modèles de réservoirs schématisés ci-dessous.

Les dimensions sont en mètres.

Le premier modèle a la forme d"un pavé droit, le deuxième est de forme cylindrique : dans chaque cas,xpeut varier

entre 0,5met 1,5m.x 3

2;52;5xRéservoir R

1Réservoir R2

Pour R

1avecxAE0,5, on a VAE2,5£3£0,5AE3,75

Pour R

1avecxAE1,2, on a VAE2,5£3£1,2AE9

Pour R

2avecxAE0,5, on a VAE¼£0,52£2,5AE0,625¼

Pour R

2avecxAE1,2, on a VAE¼£1,22£2,5AE3,6¼

2) a )Montrerquel"expression,enfonctiondex,duvolumeduréservoirR

1est:7,5x.

V pavé droitAEL£l£h V

R1AE2,5£3£xAE7,5x

2est:2,5¼x2.

V cylindreAE¼R2£h V

R2AE¼x2£2,5AE2,5¼x2

3)Onconsidèrelafonctionf

f

1est de la formea x. c"est une fonction linéaire.

4)Pour les valeurs dexcomprises entre 0,5 et 1,5, la fonctionf2:x7¡!2,5¼x2estdéjàreprésentée sur le graphique

fourni en annexe.Surcemêmegraphique,représenterlafonctionf 1.

Voir graphique.D. LE FUR 9/ 11

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5)Répondre aux questions suivantes à l"aide du graphique.

On répondra par des valeurs approchées et on fera apparaître les traits de construction permettant la lecture sur le

graphique. a)QuelestlavaleurduréservoirR

2pourxAE0,8m?

PourxAE0,8, le volume de R2est d"environ 5m3.

b)QuelestlerayonduréservoirR

2pourqu"ilaitunecontenancede10m3?

Pour un volume de 10m3, le rayon de R2est d"environ 1,13m.

1?Interpréterconcrètementcenombre.

L"antécédent de 9 par la fonctionf1est 1,2. On a trouvé cette valeur dans le tableau en annexe.

Pour un volume de R

1de 9m3, il faut choisir comme largeur du réservoirxAE1,2m.

Les deux courbes se coupent au point A d"abscisse 0,95. PourxAE0,95, les deux réservoirs ont le même volume. e)PourquellesvaleursdexlevolumedeR

1est-ilsupérieuràceluideR

2? La courbe def1est au dessus de celle def2pourxÇ0,95. PourxÇ0,95, le volume de R1est supérieur à celui de R2D. LE FUR 10/ 11

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ATTENTION : CETTE FEUILLE EST À RENDRE AVEC LA COPIE

Problème-Question1

Longueurx(enm)0,51,2

Volume du réservoir R

1(enm3)3,759

Volume du réservoir R

2(enm3)Valeur exacte0,625¼3,6¼Valeur arrondie à 0,1m32,011,3

O0,810

9 A0,95

0110123456789101112131415161718

D. LE FUR 11/ 11

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