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4 Signe du trinôme et inéquation du second degré 9 6 Équation paramètrique 12 7 Équation ou inéquation se ramenant au second degré 13 7 1 Équation 

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4 oct 2016 · 4 Signe du trinôme et inéquation du second degré 8 6 Équation paramétrique 10 7 Équation, inéquation se ramenant au second degré 12

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c) Dans l'équation (3m-4)x2-x(2m+1)-(3m+1) =0, déterminez si possible les valeurs de m pour lesquelles cette équation admette 2 racines de signes opposés, 

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2- Former l'équation du second degré dont les racines sont : x1 = 4 et x2 = – 3 x1 = 4 et x2 = – 3 2°) Exemples d'équations paramétriques : a) Exemple 1 :

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4 Polynômes se ramenant à un trinôme du second degré a Equations et inéquations paramétriques Une équation ou inéquation paramétrique dépend d' un 

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Fonctions et équations paramétriques du Second Degré [Calculatrice 4°) Tracer la droite (IJ) et écrire son équation sous la forme y = ax + b 5°) Résoudre  

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La courbe d'une fonction polynôme du second degré P (x) = a (x – )2 On sait résoudre certaines équations du second degré : Équations paramétriques

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Discuter suivant les valeurs de m l'existence et le nombre des solutions de cette équation Solution : E m ( ) étant une équation du second degré, déterminons d'  

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est une équation paramétrique du 2e degré à une inconnue x de paramètre b Au cours de la Seconde Guerre mondiale, l'armée de l'air des États-Unis 

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Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax2 + bx + c Exemple : L'équation 3x2 − 6x − 2 = 0 est une équation du second degré

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DERNIÈRE IMPRESSION LE4 octobre 2016 à 8:57

Le second degré

Table des matières

1 La forme canonique du trinôme2

1.1 Le trinôme du second degré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Quelques exemples de formes canoniques. . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Forme canonique du trinôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Racines du trinôme4

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Le discriminant est positif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Le discriminant est nul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Le discriminant est négatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.5 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Factorisation, somme et produit des racines6

3.1 Factorisation du trinôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Somme et produit des racines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Signe du trinôme et inéquation du second degré8

4.1 Le discriminant est positif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2 Le discriminant est nul ou négatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.3 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 Représentation de la fonction trinôme9

6 Équation paramétrique10

7 Équation, inéquation se ramenant au second degré12

7.1 Équation rationnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

7.2 Inéquation rationnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7.3 Équation bicarrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7.4 Somme et produit de deux inconnues. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

8 Quelques problèmes du second degré14

8.1 Problème de résistance équivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

8.2 Un problème de robinet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

8.3 Une histoire de ficelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

PAUL MILAN1PREMIÈRE S

TABLE DES MATIÈRES

1 La forme canonique du trinôme

1.1 Le trinôme du second degré

Définition 1 :On appelle trinôme du second degré ou simplement trinôme, le polynômeP(x), à coefficients réels, de la forme :

P(x) =ax2+bx+caveca?=0

Exemple :Les trois polynômes suivants sont des trinômes P

1(x) =x2+2x-8

P

2(x) =2x2+3x-14

P

3(x) =-x2+4x-5

1.2 Quelques exemples de formes canoniques

si le trinôme peut se factoriser ou non. Cette forme est obtenue à partir d"une

"astuce" qui consiste à rajouter un terme puis à l"ôter de façon à obtenir le début

d"un carré parfait.

Exemple :SoitP1(x) =x2+2x-8

Les deux premiers termes sontx2+2xqui est le début de(x+1)2=x2+2x+1.

On ajoute 1 puis on le soustrait, ce qui donne :

P

1(x) =x2+2x

+1-1-8 = (x+1)2-9 forme canonique deP1(x) on peut, à partir de cette forme, factoriser. Cela donne : = (x+1)2-32 = (x+1-3)(x+1+3) = (x-2)(x+4)

Exemple :SoitP2(x) =2x2+3x-14

On factorise par le coefficient devantx2, c"est à dire ici 2. P

2(x) =2?

x 2+3 2x-7? x 2+3 2x? est le début de? x+34? 2 =x2+32x+916. Cela donne : =2? x 2+3

2x+916-916-7?

=2? x+3 4? 2 -916-7? =2? x+3 4? 2 -12116? forme canonique deP2(x)

PAUL MILAN2PREMIÈRE S

1. LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME

on peut, à partir de cette forme, factoriser. Cela donne : =2? x+3 4? 2 -?114? 2? =2? x+3

4-114??

x+34+114? =2(x-2)? x+7 2?

Exemple :SoitP3(x) =-x2+4x-5

On factorise par le coefficient devantx2, c"est à dire ici-1. P

1(x) =-?

x2-4x+5? x2-4x? est le début de (x-2)2=x2-4x+4. Cela donne : x2-4x +4-4+5? x-2)2-4+5? x-2)2+1? forme canonique deP2(x) On ne peut factoriser cette forme car somme de deux carrés

1.3 Forme canonique du trinôme

Soit un trinôme du second degré :P(x) =ax2+bx+c

On factorise para?=0, cela donne :

P(x) =a?

x 2+b ax+ca? x 2+b axest le début de? x+b2a? 2 =x2+bax+b24a2. Cela donne : =a?? x 2+b ax+b24a2 -b24a2+ca? =a? x+b 2a? 2 -b24a2+ca? =a? x+b 2a? 2 -b2-4ac4a2? Théorème 1 :La forme canonique d"un trinôme du second degré est de la forme :

P(x) =a?

x+b 2a? 2 -b2-4ac4a2? ?Dans un cas concret, on n"utilise pas cette formule un peu difficile à mémori- ser, mais on retient l"astuce qui consiste à ajouter puis soustraire un terme comme nous l"avons vu dans les exemples précédents.

PAUL MILAN3PREMIÈRE S

TABLE DES MATIÈRES

2 Racines du trinôme

2.1 Définition

Définition 2 :Les racines d"un trinômes ou "zéros" sont les solutions de l"équa- tion : ax2+bx+c=0 Définition 3 :On poseΔ=b2-4acappelédiscriminant L"équationax2+bx+c=0 devient en utilisant la forme canonique : a? x+b 2a? 2 -Δ4a2? =0 Le nombre de racines du trinôme dépend du signe deΔ, d"oùdiscriminant.

2.2 Le discriminant est positif

Comme le discriminantΔest positif, la forme canonique se factorise en : a x+b

2a-⎷

2a?? x+b2a+⎷ 2a? =0

On obtient alors deux solutions :

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