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Durée : 2 heures

?Brevet des collèges Amérique du Nord 7 juin 2011?

Correction

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES12points

Exercice1

Le professeur choisit trois nombres entiers relatifs consécutifs rangés dans l"ordre croissant. Leslie calcule le produit du troisième nombre par le double du premier. Jonathan calcule le carré du deuxième nombre puis il ajoute 2au résultat obtenu.

1.Leslie a écrit le calcul suivant : 11(29)

Jonathan a écrit le calcul suivant : 10

22
a.11(29)1118198 et 1022102 b.Les trois entiers sont 9, 10 et 11.

2.Le professeur choisit maintenant trois nouveaux entiers. Leslie et Jonathan

obtiennent alors tous les deux le même résultat. a.7(25)70 alors que 62238. Le professeur n"a pas choisi 6 comme deuxième nombre. b.6(2(8))96 et (7)2251. Le professeur n"a pas choisi7 comme deuxième nombre. c.En prenant pour inconnue le deuxième nombre entier (qu"il appellen), alors les trois nombres sontn1,netn1. D"où l"équation (n1)2(n1)n22

2(n21)n22

2n2n222

n 24
L"équationn24 permet de retrouver le ou les nombres choisis par le professeur.

Cette équation a deux solutions 2 et2

Les entiers consécutifs sont 1, 2, 3, et3,2,1.

On a bien 321222 et (3)2(1)(2)22

Exercice2

La vitesse de la lumière est 300000 km/s.

1.La lumière met1

75de seconde pour aller d"un satellite à la Terre.

75s4000 km

2.Lalumièremetenviron 8minutes et30 secondespour nousparvenir dusoleil.

8 min 30 s860 s+30 s510 s, donc la distance nous séparant du Soleil est

300000 km/s510s153000000 km1,53108km

Brevet des collègesA. P.M. E. P.

Exercice3

Cetexerciceestunquestionnaireàchoix multiples (QCM).Pour chaquequestion,une seule réponse est exacte. Aucune justification n"est demandée. Une réponse correcte rapporte1point. L"absence de réponse ou une réponse fausse ne retire aucun point. Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse.

Réponse ARéponse BRéponse C

1.Quelle est la forme factori-sée de (x1)29?(x2)(x4)x22x8(x8)(x10)

2.Que vaut 5n5m?5nm5nm25nm

3.

À quelle autre expression

le nombre7

34352est-il

égal?

3 352
7 33425
27
15

4.Quels sont les nombrespremiers entre eux?774 et 33863 et 441035 et 774

5.Quel nombre est en écri-ture scientifique?17,31030,971071,52103

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES12points

Exercice1

On a empilé et collé 6 cubes de 4 cm d"arête et un prisme droit defaçon à obtenir

le solide représenté ci-dessous. La hauteur du prisme est égale à la moitié de l"arête

des cubes. arrière gauchedroite face avant

Amérique du Nord27 juin 2011.

Corrigé par Victor-Emmanuel Dubau

Brevet des collègesA. P.M. E. P.

3.Étude du prisme droit.

a.On nomme ce prisme ABCDEF, comme sur la figure ci-dessous. ABCD EF La base de ce prisme droit est un triangle rectangle car [AB] et [BC] sont les arêtes consecutives d"un cube. b.ABCest un triangle rectangle enB. D"après le théorème de Pythagore, AC

2AB2BC2161632.

DoncAC

32 cm162 cm42 cm.

Autre solution : la diagonale d"un carré de côtécest donnée par la for- mulec 2. c.La face ACFD est un rectangle de longueur 4

2 cm et de largeur 2 cm,

donc l"aire vaut 8

2 cm211,31 cm2arrondie au mm2.

Exercice2

Dans cet exercice, on n"attend aucune justification, mais toutes les étapes du calcul devront apparaître. On considère la figure suivante où les points B, C et D sont alignés. La figure n"est pas à l"échelle. A B

CD25 cm

30 cm

49 °

Amérique du Nord37 juin 2011.

Corrigé par Victor-Emmanuel Dubau

Brevet des collègesA. P.M. E. P.

1.ABCest un triangle rectangle enC, d"après le théorème de Pythagore,BC2

AB

2AC2900625275. DoncBC

275cm2511cm511cm

2.ACDest un triangle rectangle enC. tan?BACCDCA. DoncCD25tan49°.

1125tan49°45,3cm

arrondi au millimètre près.

Exercice3

O R KA S Dans la configuration ci-contre, les droites (SA) et (OK) sont parallèles. On sait que SA = 5 cm, OA =

3,8 cm, OR = 6,84 cm, et KR = 7,2 cm

Les questions de cet exercice ont été effacées, mais il resteci-dessous des calculs effectués par un élève, en réponse aux questions manquantes.

1.CalculerRA.

Réponse: Les pointsR,AetOétant alignés,RA6,84cm3,8cm3,04cm

2.CalculerOK.

sont parallèles.

D"après le théorème de Thalès,RA

RORSRKASOK

DoncOK56,843,04cm11,25cm

3.Calculer le périmètre du triangleORK.

Réponse: 7,26,8411,2525,29, le périmètre vaut 25,29 cm.

PROBLÈME12points

Ledirecteurd"unthéâtresaitqu"ilreçoitenviron500 spectateurs quandleprixd"une place est de 20?. Il a constaté que chaque réduction de 1 euro du prix d"une place attire 50 spectateurs de plus.

Toutes les parties sont indépendantes.

Partie1

1.Complétons le tableau 1 de l"Annexe 1.

2.On appellexle montant de la réduction (en?). Complétons le tableau 2 de

l"annexe 1.

3.Développons :(20x)(50050x)100001000x500x50x250x2500x10000.

Partie2

recette. Il utilise·la fonctionRdonnant la recette (en?) en fonction du montantx de la réduction (en?). Sa courbe représentative est donnée en annexe 2. Par lecture graphique, répondre aux questions ci-dessous (on attend des valeurs approchées avec la précision permise par le graphique et on fera apparaître sur le graphique les tracés nécessaires à la lecture) :

Amérique du Nord47 juin 2011.

Corrigé par Victor-Emmanuel Dubau

Brevet des collègesA. P.M. E. P.

1.La recette pour une réduction de 2?est 10800?.

2.Le montant de la réduction pour une recette de 4050?est de 16,8?. Le prix

d"une place est de 3,2?.

3.L"image de8parlafonctionRestR(8)10800. Silaplaceestde12?,larecette

sera de 10800?.

4.La recette maximale semble être de 11300?. Le prix de la place est de 15?.

Partie3

Dans cette question, toute trace de

recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l"évaluation.

La salle de spectacle a la forme ci-

contre :

Lessiègessontdisposésdansquatre

zones : deux quarts de disques et deux trapèzes, séparées par des al- lées ayant une largeur de 2 m.

On peut placer en moyenne 1,8

sièges par m

2dans la zone des

sièges.

Calculons le nombre de places dis-

ponibles dans ce théâtre. scène

Sièges Sièges

Allées

10 m 16 m

13 m13 m/ // /// //

L"aire des deux trapèzes :A127m13m

210 m200 m2

L"aire des deux quarts de disques (un demi-disque) :A21

2π(13m)21692πm2

Le nombre de places :

(A1A2)1,8837,8 soit 837 places

Amérique du Nord57 juin 2011.

Corrigé par Victor-Emmanuel Dubau

Brevet des collègesA. P.M. E. P.

ANNEXE 1

Tableau1

Réduction en?Prix de la place

en?Nombre de spectateursRecette du spectacle

0205002050010000

1195501955010450

2186001860010800

4167001670011200

Tableau2

Réduction en?Prix de la place

en?Nombre de spectateursRecette du spectacle x20x50050x(20x)(50050x)

ANNEXE 2

5001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 221Montant de la réduction (en?)RecetteR(x) en?

Amérique du Nord67 juin 2011.

Corrigé par Victor-Emmanuel Dubau

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