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20 nov 2015 · [1] J M Bony, Cours d'analyse, Théorie des distributions et analyse de Fourier, Les éditions de l'Ecole Polytechnique, Ellipses [2] G Carlier,

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´ee Ann´ee scolaire 2015-2016

Formation Ing

´enieurs MACS / M1 Math´ematiquesTh´eorie des distributions

H. Boumaza

Le 20 novembre 2015

page ii

Bibliographie

[1] J.M. Bony ,Cours d"analyse, Th´eorie des distributions et analyse de Fourier, Les´editions de l"Ecole Polytechnique, Ellipses. [2] G. Carlier ,Notes de cours : Analyse fonctionnelle, https ://www.ceremade.dauphine.fr/ carlier/poly2010.pdf [3] L. H ¨ormander,The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (256), Springer. [4] J.P .Mar coet autr es,Math´ematiques L3, Analyse, Pearson Education France. [5] B. Simon et M. Reed, Methods of modern mathematical physics. II. Fourier analysis, self- adjointness, Academic Press, New York-London, 1975. [6]

C. Zuily ,

´El´ements de distributions et d"´equations aux d´eriv´ees partielles, Sciences Sup,

Dunod.

iii page iv

Table des mati`eres

I Notions de bases 1

1 Rappels de th´eorie de l"int´egration 3

1.1 Mesure de Lebesgue surRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.1.1 Ensembles mesurables et mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Espaces mesur

´es et applications mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.2 Int

´egrale de Lebesgue surRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.2.1 Construction de l"int

´egrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.2.2 Th

´eor`eme de convergence domin´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.2.3 Int

´egrales`a param`etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

1.2.4 Les espacesLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.2.5 Th

´eor`eme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.2.6 Th

´eor`eme du changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

2 Introduction `a la th´eorie des distributions 13

2.1 Autour du Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1 De la "d

´efinition" du Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

2.1.2 Mesure de Dirac en 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.3 Notion d"int

´egrale d"action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

2.2 Notion de d

´eriv´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

2.3 Le peigne de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Le Dirac en

´electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

3 Fonctions test19

3.1 Notations multi-indicielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Formule de Taylor avec reste int

´egral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

3.3 Fonctions de classeC¥`a support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

3.3.1 Support d"une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.2 Espace des fonctions test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.3 Topologie deC¥0(W). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

3.3.4 Fonctions "pic" et "plateau" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Densit

´e par troncature et r´egularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

3.4.1 Troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.2 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.3 R

´egularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

3.5 Application : Lemme de Dubois-Reymond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Distributions sur un ouvert deRd29

4.1 D ´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

4.1.1 D

´efinition fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

4.1.2 D

´efinition par l"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 v

4.1.3 Ordre d"une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

4.2 Premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.1 Distribution associ

´ee`a une fonctionL1loc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

4.2.2 Distribution de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.3 Distribution de Dirac d

´eriv´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

4.2.4 Mesures de Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.5 Distributions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.6 La valeur principale de

1x 33

4.2.7 Partie finie dexa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

4.2.8 Un exemple de distribution d"ordre infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Convergence des suites de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Op´erations sur les distributions 39

5.1 Multiplication par une fonctionC¥. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

5.2 Les

´equationsxT=0,xT=1 etxT=S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 5.3 D ´erivation d"une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

5.4 Les

5.5 Formule des sauts en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Convolution des distributions I 49

6.1 Produit de convolution de deux distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Propri

´et´es de la convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

6.3 Interpr

´etation physique de la convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

6.4 Comment calculer un produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.1 Convolution de deux fonctions dansL1loc(Rd). . . . . . . . . . . . . . . .51

6.4.2 Convolution d"une distribution et d"une fonction dansC¥0(Rd). . . . . .51

6.4.3 Utilisation des propri

´et´es de la convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

7 Solutions ´el´ementaires d"EDPs I 53

7.1 Th

´eor`emes d"existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

7.1.1 D

´efinitions et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

7.1.2 Existence de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2 Th

´eor`eme de r´egularit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

7.3 Exemples de solutions

´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

7.3.1 Probl

`eme du laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

7.3.2 L"

´equation des ondes en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

II Notions avanc´ees 59

8 Support d"une distribution 61

8.1 Partitions de l"unit

´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

8.2 Restriction

`a un ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

8.3 Support d"une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.4 Distributions

`a support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

8.5 Distributions

`a support ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65 page vi

9 Convolution des distributions II 67

9.1 D ´erivation et int´egration sous le crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

9.2 Produit tensoriel de deux distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.3 Produit de convolution de deux distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.3.1 D

´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

9.3.2 Propri

´et´es de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

9.3.3 Convolution et support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.3.4 Convolution et translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.3.5 Comment calculer un produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . .

9.3.6 G

´en´eralisation aux paires convolutives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

9.4 Applications du produit tensoriel et de la convolution . . . . . . . . . . . . . . . .

9.4.1 Th

´eor`eme de densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

9.4.2 Structure locale des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.4.3 Le th

´eor`eme du noyau de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

10 Solutions ´el´ementaires d"EDPs II 81

10.1 Th

´eor`emes d"existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

10.1.1 D

´efinition et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

10.1.2 Existence de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2 Th

´eor`eme de r´egularit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

10.3 Exemples de solutions

´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

10.3.1

´Equation de la chaleur et mod`ele de Black-Scholes-Merton . . . . . . . . .83

10.3.2 Op

10.4 Support singulier d"une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 Formule des sauts 89

11.1 Formule des sauts en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.2 Formule des sauts pour un demi-espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.3 Ouverts r

´eguliers dansRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91

11.3.1 D

´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91

11.3.2 Vecteur normal unitaire sortant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.3.3 Mesure de surface, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.4 Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.4.1 Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.4.2 Int

´egration par parties multidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . .97

11.4.3 Formule de Green pour le laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.4.4 Formule des sauts multidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.5.1 Les relations de Rankine-Hugoniot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.5.2

´Equation des ondes en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99 page vii page viii

Premi`ere partie

Notions de bases

Chapitre 1

Rappels de th´eorie de l"int´egration

1.1 Mesure de Lebesgue surRd

Quelles sont les propri

´et´es fondamentales que partagent la longueur d"une partie deR, l"aire d"une partie deR2, le volume d"une partie deR3et plus g´en´eralement le volume d"une de longueur, d"aire et de volume d"avoir en commun la positivit

´e et la propri´et´e d"additivit´e

qui est que, si deux partiesAetBdeRdsont disjointes, le volume de leur r´eunion est´egal a la somme de leurs volumes : vol(A[B) =vol(A) +vol(B)lorsqueA\B=AE. Une autre propri ´et´e attendue du volume est l"invariance par translation. Six2RdetAest une partie

deRd, vol(x+A) =vol(A). Au d´ebut du XXesi`ecle,´Emile Borel introduit une id´ee cl´e, celle

qu"une notion de volume doit v ´erifier une propri´et´e plus forte, l"additivit´e d´enombrable, pour pouvoir s"int ´egrer utilement dans les th´eories modernes d"analyse. Unebonnenotion de volume devra donc v ´erifier que, pour toute famille d´enombrable(Ap)p2Nde parties deRd deux `a deux disjointes, vol0 p2NA p1 A p2Nvol(Ap).

Mais, une telle notion de volume qui associerait

`atoutepartie deRdun r´eel positif v´erifiant l"additivit ´e d´enombrable et l"invariance par translation n"existe pas. C"est Henri Lebesgue qui en 1902 sera le premier `a construire un exemple demesuresurRqui soit d´enombrablement additive et invariante par translation. Cette mesure correspond `a la notion de volume re- cherch ´ee. Pour cela, Lebesgue introduit la notion de mesure ext´erieure qui approchepar au- dessus la mesure de toute partie deR. Puis il d´efinit les parties deRqui seront suffisament peu irr ´eguli`eres pour que l"on puisse leur associer une mesure. Ce sont les parties Lebesgue- mesurables deR.

1.1.1 Ensembles mesurables et mesure de Lebesgue

Nous commencons par d

´efinir les pav´es deRdet leur volume. Un pav´ePdansRdest un produit cart ´esien dedintervalles deRborn´es (ouverts, ferm´es, semi-ouverts ou semi-ferm´es)

P= (a1,b1) (ad,bd),

o `uajbjsont des nombres r´eels,j=1,...,d. Pour un tel sous-ensemble deRd, la notion naturelle de volume associ ´ee est le produit des longueurs des cˆot´es. On appellevolumed"un pav ´ePle r´eel positif not´ejPjd´efini par jPj= (b1a1)(bdad). 3

Chapitre 1. Rappels de th

´eorie de l"int´egrationUne union de pav

´es est ditequasi disjointesi les int´erieurs des pav´es de l"union sont disjoints. Enfin, uncubeest un pav´e pour lequelb1a1==bdad. L"int´erˆet de ces cubes et pav´es provient du fait qu"ils approchent bien les ouverts deRd. Proposition 1.1.1.Tout ouvertOdeRdpeut s"´ecrire comme union d´enombrable de cubes quasi dis- joints. Pourd une fonction qui `a toute partie deRdassocie un volume qui g´en´eralise le volume des pav´es. L"id ´ee est d"approcherpar au-dessustout sous-ensemble deRdpar des cubes. SoitEune partie deRd. On appelle mesure ext´erieure deEle r´eel positif d´efini par l d(E) =infn j=1jCjj8j1,Cjest un cube ferm´e etE¥[ j=1C jo Pour les parties simples comme l"ensemble vide, un point ou un cube, la mesure ext

´erieure

correspond bien `a notre id´ee intuitive de volume. La mesure ext´erieure deRdest infinie.

Toutefois, la mesure ext

´erieure ne v´erifie pas l"additivit´e d´enombrable voulue pour d´efinir une bonne notion de volume. Nous avons seulement l"in

´egalit´e suivante : siE=S¥j=1Ej, alors

l d(E)¥å j=1ld(Ej).

On a tout de m

ˆeme que siE=E1[E2avecd(E1,E2)>0, alorsld(E) =ld(E1) +ld(E2). Malgr

´e ces deux propri´et´es, on ne peut pas conclure en g´en´eral que, siE1[E2est une union

disjointe de sous-ensembles deRd,ld(E1[E2) =ld(E1) +ld(E2). Cette´egalit´e n"aura lieu que pour des ensembles qui ne sont pas trop pathologiques, les ensembles mesurables. D´efinition 1.1.2.Un sous-ensemble ERdest dit Lebesgue-mesurable, ou plus simplement mesu- rable, si pour tout#>0il existe un ouvertOcontenant E tel que l d(O nE)#. On a alors que tout ouvert deRdest mesurable, qu"une union d´enombrable d"ensembles me- surables est mesurable et que le compl ´ementaire d"un ensemble mesurable est mesurable.

Nous pouvons maintenant d

´efinir la notion de mesure pour un ensemble mesurable. SiE R dest mesurable, on d´efinit sa mesure de Lebesgue parld(E) =ld(E). Alors, la mesure de

Lebesgue v

´erifie bien la propri´et´e d"additivit´e d´enombrable. Soit(Ej)j1une famille d´enombrable d"ensembles mesurables et disjoints dansRd. Alors leur r

´eunionE=S¥j=1Ejest mesurable et

l d(E) =¥å j=1l d(Ej).quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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