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INTRODUCTION À LA THÉORIE DES DISTRIBUTIONS

1 Fonctions tests

DÉFINITION1.1 : Espace des fonctions tests

SoitΩun espace topologique. L"espace des fonctions tests?(Ω)est l"ensemble des fonctions?+∞sur

Ωà support compact inclus dansΩ.

2 Distributions

Remarque :on utilisera la notation T pour les distributions et?T,??qui signifie que l"on applique T à?

(équivalent à T(?)).

DÉFINITION2.2 : Distributions

Une distribution est uneforme linéaire continuesur?(Ω). L"ensemble des distributions est donc le

dual topologique de?(Ω)on le note donc??(Ω).

Le terme deforme linéairen"est pas particulier. Par contre, la notion decontinuitéest particulière :

?Kcompact?Ω,?Ck>0,?mk>0,??? ?(Ω),|?T,??|?Cksup

α|?mksup

x?Ω|∂α?(x)| Remarque :On utiliseα=(α1, ...,αn)?Nn,|α|=n? k=1α

3 Exemple de distributions

3.1 Les fonctionL1loc

DÉFINITION3.3 : Fonctions localements intégrables Une fonctionf L1loc(Ω)est une fonction intégrable sur un compact inclu dansΩ.

PROPRIÉTÉ3.1 : Les fonctionsL1loc

Soitfune fonctionL1loc(Ω), alors l"application : T f:?(Ω)-→C f(x)?(x)dx est unedistribution.

Preuve 1 :La démonstration de la linéairité est immédiate. Reste à montrer la continuité.

Soit Kun compact inclu dansΩ, et?une fonction?∞à support dansK. On a

Tf,?=?

f(x)?(x)dx=? K f(x)?(x)dx 1

On a alors :Tf,???

K |f(x)?(x)|dx?sup x?Ω|?(x)|? K |f(x)|dx

Ainsi, avecCk=?

K |f(x)|dxetmk=0, on vérifie la continuité de?Tf,??.

Remarque :Pour(f,g)?L1loc(Ω)2telles que

f=g presque partout alors T f=Tg

Remarque :Tf=Tg?f=g presque partout

3.2 La masse de DIRAC

DÉFINITION3.4 : La masse de DIRAC

Soita?R, alors la masse de DIRACest définie par : a:a-→C ??-→?(a) Preuve 2 :La preuve de la continuité est assez aisée :|δa|=|?(a)|?supx?R|?(x)|

4 Dérivation au sens des distributions

PROPRIÉTÉ4.2 : Dérivation

SoitT? ??(Ω). L"application :

∂T ∂xi:?(Ω)-→C ??-→ -?T,∂ ?∂xi? est une distribution.

Preuve 3 :La preuve de la linéarité ne pose pas de problème. Démontronsque c"est une application

continue. Soit Kun compact et?une fonction?∞telle que supp(?)?K. On a :

Tdistribution? ?Ck,?mk,|?T,??|?Cksup

α|?mksup

x?Ω|∂α?(x)|

Puisque?est?∞alors on a :

??T,∂ ? ∂xi?????? ?Cksup

α|?mksup

x?Ω|∂α?(x)| 2 PROPRIÉTÉ4.3 : Liens dérivation usuelle et dérivation au sens des distributions

Soitf? ?1(Ω), on a :

∂Tf ∂xi=T∂f∂xi Preuve 4 :On se restreint ici à la dimension 1. Soitf? ?1(R)et?? ?(R). On a, par définition : (Tf)?,?=-Tf,?? i.e. :(Tf)?,?=-Tf,??=-?

Rf(x)??(x)dx

Par IPP, on a :(Tf)?,?=-[f(x)?(x)]+∞

Rf?(x)?(x)dx

Or puisque?est à support compact, on a :

(Tf)?,?=?

Rf?(x)?(x)dx=Tf?,?

3

5 Quelques propriétés, définitions

PROPRIÉTÉ5.4 :

Soitfune fonction?∞telle que :

?x?Rn,f(x)?=0.

Alors pourT? ??(R):

f T=0?T=0. PROPRIÉTÉ5.5 : Division dans l"ensemble des distributions ÊLes distributionsT? ??(R)solutions de l"équation : (x-a)T=0 sont de la formeT=kδaoùkest une constante réelle. ËLes distributionsT? ??(R)solutions de l"équation : (x-a)2T=0 sont de la formeT=k1δa+k2δ? aoùk1etk2sont deux constantes réelles.

DÉFINITION5.5 : Valeur principale

On définit lavaleur principale de xcomme étant la dérivée au sens des distribution dex?-→log|x|. On

la note vp"1 x" . On a, par définition : vp"1 x" =limε→0? |x|?ε?(x)xdx PROPRIÉTÉ5.6 : Distributions à dérivée nulle Les distributionsT? ??(R)telles queT?=0 sont les distributions associées auxfonctions constantes.

6 Dérivation d"une fonction discontinue

THÉORÈME6.1 : Dérivation d"une fonction discontinue On considère une fonctionf?1(]-∞,a[)et?1([a,+∞[). On af?L1loc(R), et on l"indentifie à la distributionTf. Alors : (Tf)?=(f(a+)-f(a-))δa+T{f?} 4

Preuve 5 :La preuve se fait par simples calculs :

?(Tf)?,??=-?Tf,??? f(x)??(x)dx a f(x)??(x)dx-? a f(x)?(x)?dx =-f(x)?(x)a-∞+? a f?(x)?(x)dx-f(x)?(x)+∞ a+? a f?(x)?(x)dx =(f(a+)-f(a-))?(a)+? {f?}(x)dx

THÉORÈME6.2 : Formule des sauts

Soitfune fonction?1par morceaux surR. Alors :

?(a1,...,an)?Rn,?i??1,n-1?,f|]ai,ai+1[? ?1(ai,ai+1)

On pose{f?}(x)=f?(x)sur]ai,ai+1[. On a :

(Tf)?=n? i=1(f(a+ i)-f(a- i))δai+T{f?}

7 Convergence d"une suite de distributions

DÉFINITION7.6 : Convergence de distributions

Soit(T)nune suite de distributions de??(Ω). On dit que(Tn)converge vers la distributionTlorsque : ??? ?(Ω),?Tn,??-→+∞?T,?? Exemple :Soitθ? ?(R), non nul sur[-1, 1], avecθ(0)=1,?x?R,θ(x)?0 et?

θ(x)dx=1.

On poseθε(x)=1

εθxε, avecε>0.

On considère la suiteTθε. Soit?? ?(R), on a :

Tθε,?=?

θε(x)?(x)dx

d"où

Tθε,?=1

θ(xε)?(x)dx

Avecy=x

εon a :

Tθε,?=1?

θ(y)?(εy)dx

On vérifie alors les hypothèses du théorème de la convergencedominée : 5

θ(y)?(εy)|?sup

y?R|?(y)||θ(y)|

D"où, par convergence dominée :

Tθε,?--→ε→0#

θ(y)dy#

?(0) i.e.

Tθε,?--→ε→0?δ0,??

THÉORÈME7.3 : Convergence de la dérivée

Soit(Tn)une suite de distributions qui converge vers une distributionT. Alors la suite ∂Tn∂xi

(ifixé) converge vers ∂T ∂xi.

8 Support d"une distribution

Rappel :

SoitΩun ouvert deRn. On considèrefune fonction continue surΩ. Le support defest :

Supp(f) =

{x?Ω;f(x)?=0} 6

DÉFINITION8.7 : Vocabulaire

SoitT? ??(Ω)une distribution. On considèreωunouvertinclu dansΩtel que : T |ω=0???? ?(Ω),Supp(?)?ω,?T,??=0

On définit :

T=ωouvert?Ω,T|ω=0

et : T=?

ω??Tω

PROPRIÉTÉ8.7 :

ÊTs"annule sur l"ouvertθT

ËθTest le plus grand ouvert sur lequelTs"annule

DÉFINITION8.8 : Support d"une distribution

En gardant les notations précedemment définies, on a :

Supp(T) =

Ω\θT

Remarque :C"est un fermé dansΩ.

Exemple :

ÊSupp(δa) ={a}

ËSupp"

vp1 x" =R.

ÌSupp(Y) =R+

Remarque :Pour une fonction continue f : Supp(Tf) =Supp(f).

9 Produit de convolution des distributions

9.1 Supports convolutifs

DÉFINITION9.9 : Supports convolutifs

SoitF1etF2deux fermés deR.F1etF2sont convolutifs si pour toutr>0, l"ensemble r={(x,y)?F1×F2;|x+y|?r} estbornédansR2, i.e., qu"il existeρ(r)tel que|x|+|y|?ρ.

Résultats :

7

Ê[a,b]etRsont convolutifs.

Ë[a,+∞[et[b,+∞[sont convolutifs

Ì]-∞, 0]et[0,+∞[sont convolutifs

9.2 Produit de convolution des fonctionsL1loc(R)

PROPRIÉTÉ9.8 : Produit de convolution des fonctionsL1loc(R) Soitfetgdeux fonctionsL1loc(R)à supports convolutifs.

Êf?x?R,y?-→f(y)g(x-y)?L1loc(R).

ËOn définit :

f?g(x)=? f(y)g(x-y)dy avecf?g?L1loc(R). Résultats :Alors la distribution associé àf?g Tf?g, on a :

Tf?g,?=Tf(y),?Tg(z)??(y+z)

Alors, on définit :

Tf?g,?=Tf?Tg,?

9.3 Convolution des distributions

DÉFINITION9.10 : Convolution des distributions

SoitSetTdeux distributions à supports convolutifs. On définit la distributionS?Tpar :

S?T,??=?S(x),?T(y),?(x+y)??

xetyne sont là que formellement...

PROPRIÉTÉ9.9 :

ÊS?T=T?S

ËL"élément neutreδ?S=S

Ì(S?T)?=S??T=T??S

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