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Chapitre 2.Th´eorie des distributions1. D´efinition, propri´et´es ´el´ementaires et exemples

Sif: Ω→Rest une fonction d´efinie sur un ouvert deRn, l"´evaluation de cette fonction en un point a un sens th´eorique mais n"a quepeu de sens en pratique. Si par exemple Ω est la pi`ece dans laquelle vousvous trouvez etfest la fonction qui `a un point de cette pi`ece associe la temp´erature en ce point, la valeur pr´ecise de cette valeur n"est physiquement pas mesurable. Si vous placez un thermom`etre en ce point, vous obtiendrez la temp´erature du thermom`etre en question (qui occupe mat´eriellement plus de place qu"un simple point...), qui correspond `a la valeur moyenne des points qui constituent ce thermom`etre. En pratique, vous n"obtiendrez donc pasf(x) mais plutˆot? R nf(u)?(u)duo`u?(u) sera une fonction dont le support sera tr`es proche du pointx(le support de?correspond `a l"espace physiquement occup´e par le thermom`etre dans notre exemple) qui correspond `a la valeur moyenne defprise dans le support de?avec la densit´e?. En particulier, plus le thermom`etre sera pr´ecis, plus le support de?sera proche du pointxet plus l"int´egrale de?sera proche de 1. L"id´eal est bien sˆur d"avoir supp?={x} et? R n?(u)du= 1 ce qui n"est pas possible puisque l"int´egrale d"une fonction nulle presque partout vaut 0. L"id´ee donc est de ne pas consid´erer les valeurs de la fonctionf(x) mais plutˆot de consid´erer les valeurs de l"application qui `a une fonction?continue `a support compact associe? R nf(u)?(u)du. Si on la noteT, on remarque qu"on a alors ?Kcompact deRn,?C >0,?? C∞dansRn`a support inclus dansK

42Chapitre 2.

K|?|. Cette remarque est le point de d´epart de la d´efinition des distributions.

1.1. Notation.Si Ω est un sous-ensemble ouvert deRnetKun sous-

ensemble de Ω, on noteraK??Ω siKest relativement compact dans Ω i.e.

Kest un compact inclus dans Ω.

Si Ω est un sous-ensemble ouvert de Ω, on noteD(Ω) l"ensemble des fonctionsC∞surRntelles que supp???Ω. SiK??Ω, on noteDK(Ω) l"ensemble des fonctions?? D(Ω) telles que supp??K.

1.2. D´efinition.Soit Ω un sous-ensemble ouvert deRn. On dit queTest

unedistribution surΩ si et seulement siTest une forme lin´eaire surD(Ω) telle que

α?Nn

K|∂α?|.

T(?) sera souvent not´e?T,??. On noteraD?(Ω) l"ensemble des distributions sur Ω. Cette souplesse au niveau de la d´efinition des distributions qui en fait finale- ment des objets plus naturels d"un point de vue physique que les fonctions apportera plus de propri´et´es aux distributions qu"aux fonctions. En particu- lier, on verra que toute distribution est ind´efiniment d´erivable dans un sens que l"on pr´ecisera, et que si une suite de distributions converge vers une dis- tribution, alors la suite des d´eriv´ees converge vers les d´eriv´ees de la limite. Ces propri´et´es qui sont bien entendues fausses pour les fonctions conf`erent aux distributions une grande souplesse d"utilisation dansles applications pra- tiques. Nous allons introduire une notion de convergence pour une suite d"´el´ements deD(Ω) qui nous sera utile par la suite.

1.3. D´efinition.Soit (?j)j?Nune suite d"´el´ements deD(Ω). On dit que

(?j)j?Ntend vers 0 dansD(Ω) quandj→+∞si et seulement si il existe K??Ω tel que, pour toutj?N, supp?j?Ket tel que?jainsi que toutes ses d´eriv´ees tendent vers 0 uniform´ement dansK. Enfin, on dira que (?j)j?N tend vers?dansD(Ω) si (?j-?)jtend vers 0 dansD(Ω).

Nous avons le r´esultat suivant :

Th´eorie des distributions. 43

1.4. Proposition.Une forme lin´eaireTsurD(Ω)est une distribution si

et seulement si, pour toute suite(?j)j?Nqui tend vers 0 dansD(Ω), on a ?T,?j? -→j→+∞0.

Preuve.Exercice 2.1.

Donnons quelques exemples de distributions.

1.5. Distribution de Dirac.Sia?Ω, on d´efinit la distributionδade

Dirac enapar

??? D(Ω),?δa,??=?(a). On v´erifie (Exercice 2.2) que c"est bien une distribution sur Ω.

1.6. Distribution associ´ee `a une fonction.Soitf: Ω→Cune fonction

localement int´egrable (i.e.int´egrable sur tout compact de Ω). On d´efinit la distributionTfpar ??? D(Ω),?Tf,??=? f?. On v´erifie (Exercice 2.3) que c"est une distribution et que l"applicationf? L 1 loc(Ω)?→Tf? D?(Ω) est injective. Par abus de notation, on identifieraTf etf.

1.7. Distribution valeur principale de1/x.La fonction 1/xn"est pas

localement int´egrable surR. On d´efinit la distribution "valeur principale de

1/x" et on notevp(1

x) par ??? D(R),?vp(1 x),??= limε→0? |x|>ε?(x)xdx. On v´erifie (Exercice 2.4) que cette limite existe et d´efinitbien une distribu- tion. Exercice 2.5.SoitΩun ouvert deRneta?Ω. Montrez qu"il n"existe pas de fonctionf?L1loc(Ω)telle queδa=Tf.

44Chapitre 2.

2. Ordre d"une distribution.

2.1. D´efinition.Soit Ω un ouvert deRnetTune distribution sur Ω. On

dit queTest d"ordre inf´erieur ou ´egal `aN?Nsi et seulement si

α?Nn

K|∂α?|

(en d"autres termes leNdans la d´efinition des distributions est ind´ependant deK). On dira queTest d"ordreNsiTest d"ordre inf´erieur ou ´egal `aNmais n"est pas d"ordre inf´erieur ou ´egal `aN-1.

2.2. Exemples.- Les distributions d"ordre 0 sont les mesures de Radon

(Exercice 2.6.). - La valeur principale de 1/xest d"ordre ´egal `a 1. (Exercice 2.7. On pourra consid´erer des fonctions?j? D(R) qui valent 1 sur [1 j,1], telles que

2j,2]).

3. Convergence dansD?(Ω).

3.1. D´efinition.Soit Ω un ouvert deRn,Tune distributions sur Ω et

(Tj)j?Nune suite de distributions sur Ω. On dit queTjconverge versT quandj→+∞au sens des distributions si et seulement si ??? D(Ω),?Tj,?? -→j→+∞?T,??. Exercice 2.8.Montrez que la suitecosjxde distributions surRtend vers 0. Enfin, nous avons le th´eor`eme suivant que nous admettrons car sa d´emons- tration est lourde mais l"argument essentiel est le th´eor`eme de Banach-

Steinhaus :

3.2. Th´eor`eme.SiTjest une suite de distributions surΩtelle que

??? D(Ω),limj→+∞?Tj,??existe, alors la forme lin´eaireTsurD(Ω)d´efinie par ??? D(Ω),?T,??= limj→+∞?Tj,??

Th´eorie des distributions. 45

est une distribution surΩ.

4. Multiplication des distributions par des fonctions

C Soitfune fonction localement int´egrable sur un ouvert Ω deRnetgune fonctionC∞sur Ω. On sait d´efinir la fonctiongfpar (gf)(x) =g(x)f(x). Cette fonction v´erifie la propri´et´e suivante : ??? D(Ω),? (gf)?=? f(g?). Cette propri´et´e est `a la base de la d´efinition suivante.

4.1. Th´eor`eme et d´efinition.SoitΩun ouvert deRnetg: Ω→C

une fonction de classeC∞. SoitTune distribution surΩ. On d´efinit la distribution not´eegTpar ??? D(Ω),?gT,??=?T,g??. On v´erifie (Exercice 2.9) qu"on a bien d´efini ainsi une distribution.

Exercice 2.10.Montrez quexvp(1

x) = 1. Exercice 2.11.Montrez que l"espace des solutions de l"´equationxT= 0 dansD?(R)est le sous-espace{cδ0, c?C}deD?(R). On pourra si?,θ? D(R)avecθ(0) = 1montrer que?(x)-?(0)θ(x)est de la formexψ(x)o`u

ψ? D(R).

5. D´erivation des distributions.

Soitfune fonctionC∞sur un intervalleIouvert deR. On sait d´efinir la d´eriv´ee def. Cette fonction v´erifie la propri´et´e suivante : ??? D(I),? f f? Cette propri´et´e s"obtient par int´egration par parties.

46Chapitre 2.

Si maintenantfest une fonctionC∞sur un ouvert Ω ouvert deRn, on sait, pourα?Nnd´efinir la d´eriv´ee d"ordreαdef. Cette fonction v´erifie la propri´et´e suivante : ??? D(Ω),? (∂αf)?= (-1)|α|? f(∂α?). (Exercice 2.12. V´erifier cette affirmation.) Cette propri´et´e est `a la base de la d´efinition suivante.

5.1. Th´eor`eme et d´efinition.SoitΩun ouvert deRnetTune distribution

surΩ. Siα?Nn, on d´efinit la distribution d´eriv´ee d"ordreαdeTnot´ee∂αT

par ??? D(Ω),?∂αT,??= (-1)|α|?T,∂α??. On v´erifie (Exercice 2.13) qu"on a bien d´efini ainsi une distribution. Exercice 2.14.Montrez queln|x|d´efinit une distribution surRet calculez la d´eriv´ee de cette distribution.

5.2. Proposition.L"application∂α:D?(Ω)→ D?(Ω)est lin´eaire continue.

Preuve.Exercice 2.15.

5.3. Th´eor`eme.SoitΩun ouvert deRnet soitfune fonction diff´eren-

tiable dansΩtelle que les d´eriv´ees partielles∂f ∂x1,···,∂f∂xnsont dansL1loc(Ω).

Alors∂Tf

∂xj=T∂f∂xj. Exercice 2.16.On se propose de montrer le th´eor`eme pr´ec´edent.

1.Montrez qu"il suffit de prouver que, pour toute?? D(Ω),

f(x)∂?(x) ∂x1dx=?

Ω∂f(x)∂x1?(x)dx.

2.Soit?? D(Ω).

a.Montrez que si le support de?est inclus dans un parall´el´epip`ede ]a1,b1[×···×]an,bn[?Ω, l"´egalit´e pr´ec´edente est vraie. b.Montrez qu"il existe un nombre fini de parall´el´epip`edes dont la r´eu- nion contienne le support de?. c.Conclure.

Th´eorie des distributions. 47

Nous introduisons maintenant la notion de solution fondamentale d"un op´e- rateur aux d´eriv´ees partielles lin´eaire.

5.4. D´efinition.Soit Ω un ouvert deRnetD:D?(Ω)→ D?(Ω) un op´erateur

lin´eaire aux d´eriv´ees partielles de la forme D=?

α?Ia

α(x)∂α

o`uIest une partie finie deNnet lesaαsont des applications de classeC∞ sur Ω. On dit que la distributionTest une (il n"y a pas unicit´e en g´en´eral) solution fondamentaledeDsi et seulement siDT=δ0. Exercice 2.17.On identifie le plan complexeCetR2. Pourz=x+iy, on pose ∂¯z=12(∂∂x+i∂∂y). Montrez que la fonction1πzd´efinit une distribu- tion solution fondamentale de l"op´erateur ∂¯z. On pourra utiliser la suite de distributionsTn=1

π¯z|z|2+1n2.

6. Restriction et Support d"une distribution.

Soient Ω

1et Ω2deux ouverts deRnavec Ω1?Ω2. Toute fonction?? D(Ω1)

se prolonge par 0 en dehors de Ω

1pour d´efinir un ´el´ement deD(Ω2). Cette

injection deD(Ω1) dansD(Ω2) est continue. Elle permet donc de d´efinir un op´erateur de restriction deD?(Ω2) dansD?(Ω1) qui `a toute distribution T? D?(Ω2) associe l"´el´ement deD?(Ω2) donn´e par ?T|Ω1,??=?T,??,pour toute?? D(Ω1).

6.1. Th´eor`eme de recollement.Soit(Ωj)j?June famille d"ouverts deRn

et pour toutj?J, soitTj? D?(Ωj). On suppose que la famille(Tj)jsatisfait la condition de compatibilt´e suivante : T j|Ωj∩Ωk=Tk|Ωj∩Ωk,pour tousj,k?J. Alors il existe une unique distributionTsurΩ =? j?JΩjtelle que la restric- tion deT`a chaqueΩjsoitTj. Preuve.SoitKun compact de Ω. Il existe une partie finieI?Jtelle que K?j?IΩi. Il existe donc une suite finie (?j)j?Itelle?j? D(Ωj) et telle j?I?j= 1 au voisinage deK. Si?? DK(Ω), on pose ?T,??:=? j?I?Tj,??j?.

48Chapitre 2.

Observons d"abord queTne d´epend pas du choix de la suite (?j). En effet, siI?est une partie finie deJtelle queK?? j?I?Ωket siψk? D(Ωk) pour k?I?ψk= 1 au voisinage deK, alors j?I?Tj,??j?=? j?I?Tj,? k?I??? jψk? j?I? k?I??Tj,??jψk? k?I?? j?I?Tk,??jψk? k?I??Tk,? j?I?? jψk?=? k?I??Tk,?ψk?. D"autre part, d"apr`es le th´eor`eme 1.4.1, on voit queT:DK(Ω)→ DK(Ω) est continue. DoncT? D?(Ω). Il est clair que la restriction deT`a chaque Ωj est pr´ecis´ementTj. Finalement, l"unicit´e deTd´ecoule de sa d´efinition.

6.2. D´efinition.Soit Ω un ouvert deRnet soitT? D?(Ω). On appelle

ouvert d"annulation deTtout ouvertUde Ω tel que la restriction deT`aU est nulle.

6.3. Proposition.SoitΩun ouvert deRnet soitT? D?(Ω). Alors il existe

un plus grand ouvert d"annulation deT. Preuve.SoitOTla r´eunion de tous les ouverts d"annulation deT. Montrons queOTest aussi un ouvert d"annulation. SoitKun compact deOT. Alors ce qui montre queTs"annule surOT.

6.4. D´efinition.Soit Ω un ouvert deRnet soitT? D?(Ω). On appelle

support deTet on note suppTle compl´ementaire dans Ω du plus grand ouvert d"annulation deT.

Exercice 2.18.

1.SoitΩun ouvert deRnet soita?Ω. Montrez que suppδa={a}.

2.Montrez que supp vp[1

x] =R.

Th´eorie des distributions. 49

6.5. D´efinition.On noteE?(Ω) l"ensemble des distributions `a support

compact.

Nous avons le th´eor`eme suivant :

6.6. Th´eor`eme.Toute distributionT? E?(Ω)est d"ordre fini. Plus pr´ecis´e-

ment, siNest l"ordre deT, pour tout voisinage compactKde suppT, il existe une constanteCtelle que

Preuve.Exercice 2.19.

6.7. Extension de la dualit´e.SiT? E?(Ω) et siθest une fonction dans

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