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Universit´e de Nice Sophia-Antipolis

Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Analyse Num´erique

Corrig´e du TD 5EXERCICE 1

M´ethode des approximations successives, ordre de convergence SoientIun intervalle ferm´e deR,g:I→Iune fonction assez r´eguli`ere admettant un point fixel?Ii.e.g(l) =l. On consid`ere une suite des it´er´es suivante ?x

0?Idonn´e,

x n+1=g(xn),?n≥0.(1.1) a. Faire un dessin illustrant la construction de la suite(xn)n≥0. b. Calculer l"erreuren=xn-let donner une condition pour que la m´ethode du point fixe(1.1)soit d"ordrep≥1. On a e n+1=xn+1-l =g(xn)-g(l) = (xn-l)g?(l) +...+(xn-l)p-1(p-1)!g(p-1)(l) +(xn-l)pp!g(p)(cn),(1.2) o`ucnest un r´eel compris entrexnetl. On trouve que la m´ethode des approximations successives converge `a l"ordrepsous la condition : g(k)(l) = 0,?k= 1,...,p-1,pourp >1, et g (p)(l)?= 0,pourp≥1,(1.3) car sous les hypoth`eses (1.3) on a : lim n→+∞x n+1-l(xn-l)p= limn→+∞1p!g(p)(cn) =1p!g(p)(l)?= 0. Cas o`up= 2. En posantM= supx?I???g??(x)???, on peut ´ecrire ??xn+1-l???≤M2 ??xn-l???2, 1

Universit´e de Nice Sophia-Antipolis

Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009ce qui peut s"´ecrire encore ???xn+1-l???≤2M M2 ??xn-l???? 2

Par r´ecurrence surn, on trouve

???xn-l???≤2M M2 ??x0-l???? 2n On voit que en choisissantx0tel que???x0-l???≤15M, on obtient ???xn-l???≤2M

10-2n.

Ce qui montre qu"`a chaque it´eration le nombre de d´ecimales exactes double en th´eorie.EXERCICE 2Formules et illustrations graphiques des m´ethodes it´eratives de

recherche des z´eros d"une fonctionOn recherche un z´ero d"une fonction r´eguli`eref:I→Io`uIun intervalle

ferm´e deR.

2.1 M´ethode de dichotomie

Rappeler la m´ethode de dichotomie qui permet d"approcher ce z´ero def.

Faites une illustration graphique.

La m´ethode de dichotomie est bas´ee sur le th´eor`eme suivant : Th´eor`eme 2.1.Soit[a,b]un intervalle ferm´e deRetf: [a,b]→Rune fonction continue.

Sif(a)f(b)<0alors?α?]a,b[tel quef(α) = 0.

On se donne un intervalleI0= [a,b] contenant le z´eroαque l"on veut approcher. La m´ethode de dichotomie produit une suite de sous-intervallesIn= [an,bn],n≥0, avec I n+1?Inet tel quef(an)f(bn)<0. En particulier, on prenda0=a,b0=betx0= a 0+b02 et pourn≥0 :on posean+1=an, bn+1=xnsif(an)f(xn)<0, ouan+1=xn, bn+1=bnsif(xn)f(bn)<0, etxn+1=an+1+bn+12 .(2.1) 2

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Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/20092.2 M´ethode de Newton On consid`ere maintenant la m´ethode de Newton pour rechercher ce z´ero. a. ´etablir sa formule en utilisant un d´eveloppement de Taylor; b. faire un dessin pour illuster la m´ethode. a.Par la formule en utilisant un d´eveloppement de Taylor On se donnex0. Pourn≥0, on ´ecrit la formule de Taylor def(xn+1enxn, soit f(xn+1) =f(xn) +f?(xn)(xn+1-xn) + (xn+1-xn)ε(xn+1),(2.2) avec lim xn+1→xnε(xn+1) = 0. On n´eglige le terme (xn+1-xn)ε(xn+1), on suppose quef?(xn) inversible et on cherche x n+1tel quef(xn+1) = 0, d"o`u la m´ethode de Newton ?x

0donn´e,

x n+1=xn-f(xn)f ?(xn),?n≥0. b.G´eom´etriquementxn+1est l"abscisse du point d"intersection de la tangente enxn`a la courbe defet l"axe des abscisses.EXERCICE 3

Un exemple

3.1

Soit l"´equation

x=e-x,x?[0,+∞[.(3.1) a. On consid`ere la m´ethode it´erative suivante ?x

0?[0,+∞[ donn´e,

x n+1=e-xn,?n≥0.(3.2) Montrer que la m´ethode(3.2)est convergente six0est bien choisi. Donner dans ce cas l"ordre de convergence.

Posonsg(x) =e-x.

Clairement 0 n"est pas solution de l"´equation (3.1). Pourx?]0,+∞[,g?(x) =-e-x, donc |g?(x)|<1 ce qui implique quegest contractante sur ]0,+∞[. Comme ]0,+∞[ est un

ouvert, le th´eor`eme du point fixe ne s"applique pas. Il faut trouver un ferm´e [a,b]?]0,+∞[,

tel queg([a,b])?[a,b]. 3

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Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Prenonsa= 1/10 etb= 1. On ag(1/10) =e-1/10≤1 etg(1) =e-1≥1/10. On a bien

g([1/10,1])?[1/10,1] par continuit´e degsur [1/10,1]. Comme|g?(x)|<1 sur le ferm´e [1/10,1] de ]0,+∞[, on peut appliquer le th´eor`eme du point fixe. Il existel?[1/10,1] tel quel=g(l).

Ordre de convergence

Commeg?(c) =-e-c?= 0, la m´ethode est convergente `a l"ordre 1. b. Appliquer la m´ethode de Newton `a l"´equation(3.1)et montrer que la convergence est quadratique. Pour appliquer la m´ethode de Newton `a l"´equation (3.1), on poseh(x) =x-e-x. Comme h ?(x) = 1 +e-x?= 0 sur ]0,+∞[, la m´ethode de Newton pour l"´equationh(x) = 0 s"´ecrit ??x

0?[110

,1] donn´e, x n+1=xn-h(xn)h ?(xn),?n≥0, ou encore ?x

0?[110

,1] donn´e, x n+1=xn-xn-e-xn1 +e-xn,?n≥0.

Ordre de convergence

La fonctionh(x) =x-e-xestC2. Soitαla racine dehque l"on souhaite approcher par la m´ethode de Newton. Cette m´ethode peut se mettre sous la forme : ?x

0donn´e,

x n+1=φ(xn),?n≥0, o`uφest donn´ee par

φ(x) =x-h(x)h

?(x). On a ?(x) = 1-(h?(x))2-h(x)h??(x)(h?(x))2=h(x)h??(x)(h?(x))2. et donc ?(α) =h(α)h??(α)(h?(α))2= 0, carh(α) = 0. 4

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Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009De l"expression de la d´eriv´ee seconde ??(x) =(h?(x))3h??(x) +h(x)h(3)(x)(h?(x))2-2h(x)h?(x)(h??(x))2(h?(x))4, il vient ??(α) =h??(α)h ?(α)=-e-α1 +e-α?= 0. Par suite, d"apr`es l"exercice 1, la convergence de la m´ethode de Newton est quadratique pour l"´equationx=e-x,x?[0,+∞[. 3.2 Montrer que l"´equationx=-ln(x),x?]0,+∞[admet une solution unique.

Montrer que la m´ethode it´erative

?x

0?]0,+∞[ donn´e,

x n+1=-lnxn,?n≥0,(3.3) diverge. Proposer une m´ethode d"approximation de la solution.

Posonsf(x) =-ln(x).

La fonctionfest d´erivable sur ]0,+∞[ et sa fonction d´eriv´ee estx?→f?(x) =-1/x. La

fonctionfest donc d´ecroissante sur ]0,+∞[. Comme limx→0f(x) = +∞etf(1) = 0, le point

fixe defsur l"intervalle ]0,+∞[ est localis´e dans le segment ouvert ]0,1[. Sur le segment ouvert ]0,1[, on a|f?(x)|>1, mˆeme en prenant un intervalle ferm´e [a,b]?

]0,1[, la suite (xn)n≥0construite `a partir de la formule (3.3) diverge. En effet, pourn≥0,

il existe un r´eelξentrexnetltel que x n+1-l=f(xn)-f(l) =f?(ξ)(xn-l), et donc ???xn+1-l???=???f?(ξ)(xn-l)???>???xn-l???.

Par r´ecurrence on obtient

???xn-l???>???xn-1-l???> ... >???x1-l???>???x0-l???.

D"o`u la m´ethode it´erative (3.3) diverge.

Une autre m´ethode d"approximation de la solution On cherche `a r´esoudrex=-ln(x) sur ]0,+∞[. En prenant l"exponentielle de cette derni`ere

´egalit´e on obtient

x=e-x,x?[0,+∞[. C"est l"´equation (3.1) du d´ebut de cet exercice. La m´ethode (3.1) permet d"approcher la solution de l"´equationx=-ln(x) sur ]0,+∞[.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2