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14 sept 2016 · Corrigé en page 164 1 Soit f ∈ C Montrer que la suite des itérés de point fixe converge pour tout x ∈ [0, 1] et donner la limite de Exercice 80 (Méthode de monotonie) Analyse numérique I, télé-enseignement, L3 161

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2.2. LES MÉTHODES DE POINT FIXE CHAPITRE 2. SYSTÈMES NON LINÉAIRES

2.2.5 Exercices (méthodes de point fixe)

Exercice 76(Calcul différentiel).Suggestions en page 163, corrigé détaillé en page 163

Soitf?C2(IRn,IR).

1. Montrer que pour toutx?IRn, il existe un unique vecteura(x)?IRntel queDf(x)(h) =a(x)·hpour tout

h?IRn.

Montrer que(a(x))i=∂if(x).

2. On pose?f(x) = (∂1f(x),...,∂1f(x))t.Soit?l"application définie deIRndansIRnpar?(x) =?f(x).

Montrer que??C1(IRn,IRn)et queD?(x)(y) =A(x)y, où(A(x))i,j=∂2i,jf(x). Exercice 77(Calcul différentiel, suite).Corrigé en page 164

1. Soitf?C2(IR2,IR)la fonction définie parf(x1,x2) =ax1+bx2+cx1x2,oùa,b, etcsont trois réels fixés.

Donner la définition et l"expression deDf(x),?f(x),Df,D2f(x),Hf(x).

2. Même question pour la fonctionf?C2(IR3,IR)définie parf(x1,x2,x3) =x21+x21x2+x2sin(x3).

Exercice 78(Point fixe dansIR).Corrigé en page 164

1. Etudier la convergence de la suite(x(k))k?IN, définie parx(0)?[0,1]etx(k+1)= cos?1

1 +x(k)?

2. SoitI= [0,1], etf:x?→x4. Montrer que la suite des itérés de point fixe converge pour toutx?[0,1]et

donner la limite de la suite en fonction du choix initialx(0). Exercice 79(Point fixe et Newton).Corrigé détaillé en page 165.

1. On veut résoudre l"équation2xex= 1.

(a) Vérifier que cette équation peut s"écrire sous forme de point fixe :x=1 2e-x.

(b) Ecrire l"algorithme de point fixe, et calculer les itérésx0,x1,x2etx3en partant depuisx0= 1.

(c) Justifier la convergencede l"algorithme donné en (b).

2. On veut résoudre l"équationx2-2 = 0,x >0.

(a) Vérifier que cette équation peut s"écrire sous forme de point fixe :x=2 x.

(b) Ecrire l"algorithme de point fixe, et tracer sur un graphique les itérésx0,x1,x2etx3en partant de

x

0= 1etx0= 2.

(c) Essayer ensuite le point fixe surx=x2+2

2x. Pas très facile à deviner, n"est ce pas?

(d) Poursuivreles traces deNewton(ouplutôtSimpson,semble-t-il): àxnconnu,écrirele développement

limité deg(x) =x2-2entrex(n)etx(n+1), remplacer l"équationg( x) = 0parg(x(n+1)) = 0, et g(x(n+1))par le développement limité enxn+1, et en déduire l"approximationx(n+1)=x(n)- g(x(n)) g?(x(n)). Retrouver ainsi l"itération de la question précédente (pourg(x) =x2-2). Exercice 80(Méthode de monotonie).Suggestions en page 163, corrigé détaillé en page 166.

On suppose quef?C1(IR,IR),f(0) = 0et quefest croissante. On s"intéresse, pourλ >0, au système non

linéaire suivant denéquations àninconnues (notéesu1,...,un) : (Au)i=αif(ui) +λbi?i? {1,...,n}, u= (u1,...,un)t?IRn,(2.11)

oùαi>0pour touti? {1,...,n},bi≥0pour touti? {1,...,n}etA?Mn(IR)est une matrice vérifiant

u?IRn, Au≥0?u≥0.(2.12)

On suppose qu"il existeμ >0t.q. (2.11) ait une solution, notéeu(μ), pourλ=μ. On suppose aussi queu(μ)≥0.

Analyse numérique I, télé-enseignement, L3161Université d"Aix-Marseille, R. Herbin, 14 septembre 2016

2.2. LES MÉTHODES DE POINT FIXE CHAPITRE 2. SYSTÈMES NON LINÉAIRES

Soit0< λ < μ. On définit la suite(v(k))n?IN?IRnparv(0)= 0et, pourn≥0, (Av(k+1))i=αif(v(k) i) +λbi?i? {1,...,n}.(2.13)

Montrer que la suite(v(k))n?INest bien définie, convergente (dansIRn) et que sa limite, notéeu(λ), est solution

de (2.11) (et vérifie0≤u(λ)≤u(μ)). Exercice 81(Point fixe amélioré).Suggestions en page 163, Corrigé en page 166

Soitg?C3(IR,IR)et

x?IRtels queg(x) = 0etg?(x)?= 0.

On se donne??C1(IR,IR)telle que?(

x) =x.

On considère l"algorithme suivant :???x

0?IR, x n+1=h(xn),n≥0.(2.14) avech(x) =x-g(x) g?(?(x))

1) Montrer qu"il existeα >0tel que six0?[

x-α,x+α] =Iα, alors la suite donnée par l"algorithme (2.14) est bien définie; montrer quexn→ xlorsquen→+∞. On prend maintenantx0?Iαoùαest donné par la question 1.

2) Montrer que la convergencede la suite(xn)n?INdéfinie par l"algorithme (2.14) est au moins quadratique.

3) On suppose que??est lipschitzienne et que??(

x) =12. Montrer que la convergencede la suite(xk)k?INdéfinie par (2.14) est au moins cubique, c"est-à-dire qu"il existec?IR+tel que |xk+1- x| ≤c|xk-x|3,?k≥1.

4) Soitβ?IR?+tel queg?(x)?= 0?x?Iβ=]

x-β,x+β[; montrer que si on prend?telle que : ?(x) =x-g(x)

2g?(x)six?Iβ,

alors la suite définie par l"algorithme (2.14) converge de manière cubique.

Analyse numérique I, télé-enseignement, L3162Université d"Aix-Marseille, R. Herbin, 14 septembre 2016

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