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Cours d"électrocinétique Sup TSI

Chapitre 3 : Régime transitoire

I. Étude des cir cuitsRC, RL et RLC série en régime libr e 1.

Cas du cir cuitRC

a)

Équation dif férentielle

Branchons une résistanceRaux bornes d"un condensateur chargé (figure 1a).RCK q

0t <0Figure 1aRCui

q t0Figure 1b À l"instantt= 0on ferme l"interrupteurK. On a alors (figure 1b) : u=Ri=qC aveci=dqdt

On obtient l"équation différentielle :

dqdt +qRC = 0 oudqdt +q = 0=RChomogène à un temps est appelée constante de temps ou temps de relaxation. Le circuitRCest donc un circuit de premier ordre caractérisé par la constante de temps =RC. b)

Résolution de l"équation dif férentielle

On a :

dqdt +q = 0)dqq =dt )q(t) =Aet=

Àt= 0,q(t= 0) =q0=A

D"où :

q(t) =q0et=D"autre part,u=qC eti=dqdt . Donc : u(t) =u0et=eti(t) =u0R et=Régime transitoire 1/11 Y Elmokhtari

Cours d"électrocinétique Sup TSI

avecu0=q0C La représentation des fonctionsq(t)eti(t)sont données sur les figures 2a et 2b.0q(t)tq 0

Figure 2a0i(t)t

u0R

Figure 2b

Commentaires :

q(t)etu(t)sont des fonctions continues tandis quei(t)est discontinu ent= 0. En régime permanent (t >> ),q(t!+1)!0,u(t!+1)!0eti(t!+1)!0. L"intersection de la tangente à l"origine et l"axe des abscisses se fait ent=. En effet, la tangente à l"origine a pour équationq(t) =kt+q0aveck= (dqdt )t=0=q0

Le point d"intersection est donc pourt=.

Plusest faible, plus la décharge du condensateur à travers la résistance est rapide et inversement. c)

Portrait de phase

La trajectoire de phase est la courbe dé-

crite par le point figuartifPde coordonnées (f(t);df(t)dt

On appelle portrait de phase l"ensemble

des trajectoires de phase lorsque les condi- tions initiales varient.

Dans le cas du circuitRC, le plan de phase

est (q;dqdt =i). Puisquei=q , La trajec- toire de phase est une droite affine (figure 3).Pi q

Figure 3

d)

Bilan éner gétique

L"énergieWdissipée par effet Joule dans le résistor est : W=Z +1 0

Ri2dt=Z

+1 0u 20R e2t=dt=12

Cu20=q202CRégime transitoire 2/11 Y Elmokhtari

Cours d"électrocinétique Sup TSI

Conclusion :

L"énergie emmagasinée à l"instant initial dans le condensateur est intégralement dissipée

par effet joule dans le résistor. 2.

Cas du cir cuitRL

a)

Équation dif férentielle

Soit le circuit de la figure 4a. À l"instantt= 0, on ouvre l"interrupteurK. On a alors (figure 4b) : u(t) =Ri(t) =Ldidt

Soit encore :

di(t)dt +RL i(t) = 0 etdu(t)dt +RL u(t) = 0Le circuitRLest donc un circuit de premier ordre caractérisé par la constante de temps =LR .K I 0LR t <0Figure 4aK I 0LR t0i(t)i(t)u(t)Figure 4b b)

Résolution de l"équation dif férentielle

On a :

i(t) =Aet= iétant continu ent= 0, alorsi(t= 0) =I0=A

D"où :

i(t) =I0et=D"autre part,u=Ri. Donc :

u(t) =RI0et=La représentation des fonctionsi(t)etu(t)sont données sur les figures 5a et 5b.Régime transitoire 3/11 Y Elmokhtari

Cours d"électrocinétique Sup TSI

0u(t)t

RI0

Figure 5a0i(t)tI

0

Figure 5b

c)

Portrait de phase

On a :

di(t)dt =RL i(t)

Dans le plan de phase (i;didt

) la trajectoire de phase est une droite affine. d)

Bilan éner gétique

L"énergieWdissipée par effet Joule dans le résistor est : W=Z +1 0

Ri2dt=Z

+1 0

RI20e2t=dt=12

LI20

Conclusion :

L"énergie emmagasinée à l"instant initial dans la bobine est intégralement dissipée par effet

joule dans le résistor. 3.

Cas du cir cuitRLC

a)

Équation dif férentielle

Soit le circuit de la figure 6.

La loi des mailles implique :

Ri+Ldidt

+qC = 0 aveci=dqdt

On en déduit :

d 2qdt 2+RL dqdt +1LC q= 0i LR Cq

Figure 6

Posons :

!0=1pLC : Pulsation propre.Régime transitoire 4/11 Y Elmokhtari

Cours d"électrocinétique Sup TSI

Q=L!0R

=1RC!

0: Facteur de qualité (sans dimension).

2=RL =!0Q :est le coefficient d"amortissement.

L"équation différentielle s"écrit :

d 2qdt 2+!0Q dqdt +!20q= 0 oud2qdt

2+ 2dqdt

+!20q= 0Le circuitRLCsérie est donc un circuit du second ordre caractérisé par la pulsation propre

0=1pLC

et son facteur de qualitéQ=L!0R =1RC! 0.

Signification physique deQ:

PlusQest grand (est petit), plus l"amortissement dû à la présence de la dérivée première

est faible. b)

Résolution de l"équation dif férentielle

La solution est de la forme :

q(t) =A1er1t+A2er2t A

1etA2sont des constantes qui dépendent des conditions initiales etr1etr2sont les racines

de l"équation caractéristique : r 2+!0Q r+!20= 0 Le discriminant réduit de cette équation est :

0=!204Q!20=!20(14Q21) =2!20

Il existe trois cas selon le signe de0:

0>0ouQ <0;5; > !0: C"est le régime apériodique.

Les racines sont des réelles :

r 1;2=q 2!20

Donc :

q(t) =et[A1ep

2!20t+A2ep

2!20t]

Lorsquet!+1,etl"emporte etq!0sans osciller.

La représentation des fonctionsq(t)eti(t)sont données sur la figures 7a pour les condi- tions initialesq(t= 0) =q0eti(t= 0) = 0tandis que la trajectoire de phase est donnée sur la figure 7b.Régime transitoire 5/11 Y Elmokhtari

Cours d"électrocinétique Sup TSI

0q(t)i(t)tq

0Figure 7ai

q

Figure 7b

La trajectoire de phase est une courbe ouverte caractéristique d"un système apériodique.

0= 0ouQ= 0;5;=!0: C"est le régime critique.

Les deux racines sont réelles et confondues :r1=r2==!0.

D"où :

q(t) = (B1+B2t)et

Quandt!+1,q!0rapidement sans osciller.

La représentation des fonctionsq(t)eti(t)sont données sur la figures 8a pour les condi- tions initialesq(t= 0) =q0eti(t= 0) = 0tandis que la trajectoire de phase est donnée sur la figure 8b.0q(t)i(t)tq

0Figure 8ai

q

Figure 8b

0<0ouQ >0;5; < !0: C"est le régime pseudo-périodique.

Les racines sont complexes conjuguées :

r

1;2=iq!

202=i
avec =p!

202est la pseudo-pulsation.

Donc :

q(t) =et[C1cos( t) +C2sin( t)] =Cetcos( t+') C"est une fonction pseudo-périodique d"amplitudeQm=Cetvariable en fonction du temps et de pseudo-période : T=2 =T0r 1(!

0)2=T0r

114Q2Régime transitoire 6/11 Y Elmokhtari

Cours d"électrocinétique Sup TSI

avec :T0=2! 0. La représentation de la fonctionq(t)est donnée sur la figures 9a pour les conditions initialesq(t= 0) =q0eti(t= 0) = 0tandis que la trajectoire de phase est donnée sur la figure 9b.0q(t)tq

0Figure 9aqi

Figure 9b

c)

Bilan éner gétique

On a trouvé :

Ldidt +qC +ri= 0)Ldidt i+qC i+ri2= 0

D"où :

ddt (12

Li2+q22C) =Ri2

que l"on peut écrire : dWdt =Ri2 oùW=12 Li2+q22Cest l"énergie emmagasinée dansLetC. Cette énergie diminue par dissi- pation dans la résistanceR. II. Réponse d"un cir cuitRC, RL et RLC à un échelon de tension 1.

Cas du cir cuitRC

a)

Régime transitoir e

Soite(t)un échelon de tension (figure 10a) c"est à dire :

8>>>><

>>>:e(t) = 0 sit <0 e(t) =E=cstesit >0

Le circuit de la figure 10b est soumis à cet échelon de tension.Régime transitoire 7/11 Y Elmokhtari

Cours d"électrocinétique Sup TSI

e(t)E t0

Figure 10ae(t)iR

Cu

Figure 10b

La loi des mailles, pourt >0, s"écrit :

E=Ri+uaveci=dqdt

=Cdudt

Donc :dudt

+u =E avec=RC

La solution de cette équation s"écrit :

u(t) =Aet=+E Si le condensateur est initialement non chargé alors :u(t= 0) = 0et doncA=E. D"où : u(t) =E(1et=) eti(t) =Cdudt =ER et=Ces relations montrent queu(t!+1)!Eeti(t!+1)!0. En régime permanent, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert (i= 0). Il retarde l"établissement de la ddp entre ses bornes. La représentation des fonctionsu(t)eti(t)sont données sur les figures 11a et 11b.u(t)t0E

Figure 11a0i(t)tE

R

Figure 11b

b)

Étude éner gétique

On a :

E=Ri+qC

)Ei=Ri2+qC iaveci=dqdt

On a donc :

Ei=Ri2+ddt

(q22C

Cette équation traduit un bilan énergétique tel que :Régime transitoire 8/11 Y Elmokhtari

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