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SCIENCES SUP

Cours et exercices corrigés

SCIENCES SUPRELATIVITÉ

RESTREINTE

Bases et applications

Claude Semay

Bernard Silvestre-Brac

MATHÉMATIQUES

PHYSIQUE

CHIMIE

SCIENCES DE L'INGÉNIEUR

INFORMATIQUE

SCIENCES DE LA VIE

SCIENCES DE LA TERRE

C. SEMAY

B. SILVESTRE-BRACISBN 2 10 049483 Xwww.dunod.com

RELATIVITÉ RESTREINTE

Cet ouvrage s'adresse, en particulier, aux étudiants de Licence n'ayant encore aucune notion de la théorie de la relativité. Il constitue donc un outil de travail très utile pour la préparation d'examens, de concours, d'exposés ou d'articles. La relativité d'Einstein est par bien des aspects une théorie étrange. Heureusement, cela n'interdit nullement qu'elle puisse être bie n comprise. Parmi les sujets traités dans cet ouvrage, citons entre autres la cinématique, la dynamique, les systèmes de particules, la théorie électromagné tique et le formalisme tensoriel. De plus, une attention toute particulière est consacrée à la résolution de soi-disant paradoxes attribués à cette théorie, comme celui des " jumeaux de Langevin ». Les autres particularités pédagogiques de cet ouvrage sont l'utilisation d'une représentation graphique originale de la relativité restreinte, l'illustration de la théorie par de nombreux exemples basés sur les (futur s ?) voyages interstellaires, et la construction des équations de transformation de Lorentz, à la fois suivant une démarche historique et suivant une approche moderne beaucoup plus générale. La bonne compréhension d'une théorie se manifeste par la capaci té de résoudre des problèmes spécifiques. C'est pourquoi des exercices sont proposés avec leurs réponses à la fin de chaque chapitre.COURS Licence • Master • Écoles d'ingénieurs

Claude Semay

Bernard Silvestre-Brac

RELATIVITÉ

RESTREINTE

12345678

1 er cycle2 e cycle3 e cycle

LICENCEMASTERDOCTORAT

CLAUDE SEMAY

est chercheur qualifié

FNRS, à l'université de

Mons-Hainaut (Belgique)

BERNARD

SILVESTRE-BRAC

est chargé de recherches

CNRS, au laboratoire de

Physique Subatomique et

de Cosmologie de

Grenoble

RELATIVIT...

RESTREINTE

Bases et applications

Claude Semay

Chercheur qualifiÈ FNRS

‡ lêuniversitÈ de Mons-Hainaut (Belgique)

Bernard Silvestre-Brac

ChargÈ de recherches CNRS

au laboratoire de Physique Subatomiqueet de Cosmologie de Grenoble Lim Semay Page I Lundi, 12. septembre 2005 3:08 15

Illustration de couverture :

Raoul Giordan

© Dunod, Paris, 2005

ISBN 2 10 049483 X

Lim Semay Page II Lundi, 12. septembre 2005 3:08 15

Avant-propos

- Oui, mais qui a raison en réalité? insista M. Tompkins. - Vous ne pouvez pas poser une question aussi générale. En relativité, les observations sont toujours rapportées

à un observateur particulier, un observateur

dont le mouvement est bien défini relativement à ce qui est observé.

Extrait d'un dialogue entre M. T

OMPKINSet le professeur

Depuis qu'Albert Einstein a, en 1905, jeté les bases d'une des théories les plus fon- damentales de l'histoire des sciences, la relativité restreinte, des centaines de livres et des milliers d'articles ont été publiés sur le sujet. Rec hercher, dans un ouvrage comme celui-ci, l'originalité à tout prix n'aurait donc é té ni aisé ni, sans doute, péda- gogiquement avantageux. Nous croyons cependant que ce manuel se distingue d'au- tres livres par trois caractéristiques : premièrement, l'utilisation d'une représentation graphique originale de la relativité restreinte ; deuxièmement, l'illustration de la théorie par des exemples (académiques) basés sur les (futurs ?) voyages interstellai- res ; troisièmement, la dérivation des équations de transformation à la fois par une démarche historique et par une approche moderne beaucoup plus géné rale. Nombre de nos concepts, basés sur le sens commun, doivent être abandonnés en relativité restreinte, dont le plus solidement ancré en nous est sans do ute le caractère absolu du temps. La relativité d'Einstein est par bien des aspects une théorie étrange Heureusement, cela n'interdit nullement qu'elle puisse être bie n comprise si l'on veut bien se donner la peine de lui accorder l'attention qu'elle mé rite. Un peu d'aide étant cependant toujours la bienvenue, nous avons illustré aussi souvent que possible certains développements formels de la théorie par une approche graphique original e due à F. W. Sears et R. W. Brehme. Nous pensons qu'une représentation graphique des concepts de base de la relativité restreinte peut fortement aider à la compréhen- sion de la théorie et, en particulier, des fameux " paradoxes » qu'on lui attribue. Comme dans beaucoup de manuels, nous illustrons la théorie par des ap plications tirées, aussi souvent que possible, de publications scientifiques. Dans cet ouvrage, nous faisons de plus appel à des exercices académiques basés sur les véhicules spa- tiaux. S'il est vrai que les fusées, et autres astronefs, ne sont pas des objets relativis- tes, on ne peut toutefois pas rejeter le fait qu'ils le deviennent un jour, dans un futur peut-être lointain. Nous pensons en outre que ces " applications », toujours dévelop- pées avec rigueur, peuvent apporter un peu de fantaisie et de rêve dans un texte par- fois (souvent ?) austère. C'est également dans le but d'agrémenter un peu le manuel que des illustrations issues de vieux magazines de science-fiction ont été ajoutées. Dans ce livre, les équations de transformation de la relativité restreinte sont éta- blies en se basant sur l'invariance de la vitesse de la lumière dans le vide. Cette démarche, qui est la plus utilisée et sans doute aussi la plus sim ple, n'est cependant pas la plus générale. Nous démontrerons donc l'existence d'une vitesse limite inva- riante dans l'univers en partant d'hypothèses très raisonnables sur la structure de l'espace-temps. Cela se fait indépendamment de la théorie électromagnétique, celle-ci ne fournissant qu'un cadre pratique pour mesurer cette vites se. Cet ouvrage ne se prétend nullement exhaustif. En particulier, certains points dif- ficiles de la théorie de la relativité restreinte, comme les représentations des grou- pes de Lorentz ou de Poincaré, ne seront pas abordés. Bien qu'u n chapitre impor- tant soit consacré aux connexions existant entre la relativité restreinte et l'électromagnétisme, cette dernière théorie est loin d'

être complètement couverte.

Ce manuel s'adresse avant tout aux étudiants n'ayant encore aucune notion de la théorie de la relativité restreinte, mais des lecteurs plus avertis doivent pouvoir cependant y trouver de nombreuses matières à réflexion. Nous proposons ici un petit guide de lecture. Certains mots importants, souvent

propres à la théorie de la relativité restreinte, sont écrits en italique lorsqu'ils appa-

raissent pour la première fois dans le texte. Nous insistons sur un mot ou un bout de phrase en l'écrivant en gras. Certaines sections marquées d'un astérisque (*) abor- dent des sujets plus difficiles ou pouvant être omis dans une première lecture. Les nombreuses références citées dans le texte, ainsi que les ouvrages repris dans la bibliographie, permettent au lecteur d'approfondir certains points pa rticuliers. L'indication " biblio » signale qu'une référence est mentionnée dans la bibliog ra- phie. Une bonne compréhension d'une théorie se traduit par la capacit

é à résoudre des

problèmes spécifiques. À la fin de chaque chapitre, des exercices sont donc propo- sés au lecteur - dans un ordre de difficulté, approximativement et très subjective- ment, croissante. Les exercices sont par nature une oeuvre collective. Certains de ceux que nous proposons sont inspirés de problèmes parus dans d' autres manuels, cités dans la bibliographie ; d'autres sont extraits d'examens dont nous avons eu connaissance ; quelques-uns sont de notre cru. Des notes sur ces exercices, donnant les solutions - quand elles ne sont pas contenues dans l'énoncé du problème - ou des informations complémentaires, sont rassemblées à la fin de l'ouvrage. Le manuel se clôture par quelques annexes. Nous ne saurions trop conseiller leur lecture, en particulier celle consacrée aux unités dites naturelle s et celle où sont dis- cutées les notions (trop souvent confondues) de grandeurs invariantes, conservées et constantes. La rédaction de cet ouvrage a bénéficié des observations et critiques de nomb- reux lecteurs, étudiants, enseignants et amis. Nous les remercions to us chaleureu- sement, en particulier Fabien Buisseret, Benjamin Fuks et Vincent Mathieu. Nous remercions aussi Daniel Flipo pour ses nombreux conseils de TEXnicien. Nous tenons également à exprimer toute notre gratitude à Raoul Giordan qui nous a per- mis d'illustrer cet ouvrage avec quelques-uns de ses dessins.

IVAvant-propos

Table des matières

AVANT-PROPOSV

CHAPITRE 1• LE CONCEPT DE LA RELATIVITÉ1

1.1 La notion de rŽfŽrentiel1

1.2 Les transformations de GalilŽe8

1.3 Michelson, la Terre et lÕŽther10

1.4 Les postulats dÕEinstein13

1.5 La relativitŽ du temps16

1.6 LÕexpŽrience de Kennedy-Thorndike18

1.8 Avant dÕaller plus loin21

EXERCICES22

CHAPITRE 2 • TRANSFORMATIONS DE LORENTZ SPÉCIALES26

2.1 Transformations de Lorentz26

2.2 Approches graphiques38

EXERCICES48

CHAPITRE 3• LE TEMPS ET LA RELATIVITÉ50

3.1 La notion de simultanŽitŽ50

3.2 Temps propre et dilatation des temps52

3.3 Structure causale de lÕespace-temps55

3.4 Vitesses supraluminiques et voyages dans le temps56

3.5 PrŽsents absolu et relatif58

3.7 Le Ç paradoxe È des jumeaux61

EXERCICES68

CHAPITRE 4• L'ESPACE ET LA RELATIVITÉ73

4.1 Contraction des longueurs73

4.2 Invariance de la dimension transversale75

4.3 Transformation des angles76

4.4 Transformation des volumes77

4.5 Méson en mouvement rapide78

4.6 Le train et le tunnel80

EXERCICES82

CHAPITRE 5• LA VITESSE ET LA RELATIVITÉ86

5.1 Composition des vitesses86

5.2 Expérience de Fizeau89

5.3 Illusions relativistes91

EXERCICES97

CHAPITRE 6• RECONSTRUIRE LA RELATIVITÉ RESTREINTE101

6.1 Définition d'un groupe101

6.2 * Nouvelle dérivation des transformations de Lorentz102

6.3 Structure de groupe et rapidité111

6.4 Du relatif et de l'absolu

113

EXERCICES114

CHAPITRE 7• TRANSFORMATIONS DE LORENTZ GÉNÉRALES116

7.1 Non-commutativité des transformations spéciales116

7.2 Transformations de Lorentz avec et sans rotation118

7.3 * Précession de Thomas123

7.4 Transformations non homogènes128

7.5 Loi générale de composition des vitesses129

EXERCICES130

CHAPITRE 8• QUADRIVECTEURS133

8.1 L'espace-temps de Minkowski134

8.2 Propriétés des quadrivecteurs et métrique de Minkowski137

8.3 Groupe de Lorentz143

8.4 Intervalle de temps propre146

8.5 Quadrivecteur vitesse148

8.6 Vitesse relative150

8.7 Quadrivecteur accélération151

8.8 Mobile à accélération propre constante154

EXERCICES159

CHAPITRE 9• DYNAMIQUE RELATIVISTE166

9.1 Équation fondamentale166

9.2 Équivalence masse-énergie170

9.3 Quadrivecteur énergie-impulsion173

9.4 Quadrivecteur force175

9.5 Particules de masse nulle176

9.6 Quadrivecteur fréquence186

EXERCICES188

CHAPITRE 10• SYSTÈMES DE PARTICULES195

10.1 Conservation du quadrivecteur énergie-impulsion195

10.2 Astronefs relativistes197

10.3 Référentiel du centre de masse203

10.4 Désintégrations et collisions207

10.5 Systèmes à deux particules dans la voie finale214

10.6 * Systèmes à trois particules dans la voie finale220

EXERCICES224

CHAPITRE 11• LE CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE233

11.1 Champs tensoriels et dérivées covariantes233

VIIITable des matières

11.2 Équations de Maxwell et ondes électromagnétiques235

11.3 Quadrivecteur densité de courant électrique237

11.4 Quadrivecteur potentiel238

11.5 Tenseur électromagnétique239

11.6 Transformation du champ électromagnétique242

11.7 Force de Lorentz244

11.8 Ondes planes246

11.9 Mouvement d'une charge dans un champ électrique uniforme248

11.10 * Potentiel et champ d'une charge en mouvement249

EXERCICES254

SOLUTIONS DES EXERCICES260

POSTFACE277

ANNEXE A• UNITÉS NATURELLES278

ANNEXE B• QUANTITÉS INVARIANTES, CONSERVÉES ET CONSTANTES280

ANNEXE C• GROUPE DE POINCARÉ282

ANNEXE D• LES MÉTRIQUES DE LA RELATIVITÉ RESTREINTE284

ANNEXE E• LE PARADOXE EPR287

LEXIQUE FRANÇAIS-ANGLAIS290

BIBLIOGRAPHIE291

RÉFÉRENCES DES CITATIONS293

INDEX294

Chapitre1

Le concept de relativité

Je ne peux rien vous prouver si vous ne me laissez faire aucune mesure. La mesure est pour moi le seul moyen de trouver les lois de la nature.

Je ne suis pas un métaphysicien.

Arthur S. E

DDINGTON(1921)

1.1 LA NOTION DE RÉFÉRENTIEL

1.1.1 Systèmes de référence

LÕhomme dŽsire comprendre le monde qui lÕentoure et le pourquoi des choses. Il nes naturels. Pour ce faire, il doit effectuer des mesures, les plus prŽcises possible, Or ces quantitŽs dŽpendent de lÕobservateur et de ce par rapport ˆ quoi il effectue ses mesures.

ConsidŽrons un homme

Aassis dans un train en marche. Il pense lŽgitimement tre au repos car il est immobile par rapport ˆ tout son environnement proche : son voisin assis en face de lui, son livre sur les genoux, sa valise dans le compartiment ˆ bagages sont fixes par rapport ˆ lui. Le train passe devant un passage ˆ niveau o un autre individu Ce personnage pense Žgalement tre au repos car il est immobile pa r rapport ˆ la selon la verticale. En revanche, il voit

Apasser devant lui et manifestement il ne

© Dunod. La photocopie non autorisŽe est un dŽlit. considère pas ce dernier comme étant au repos. Du point de vue de

A, Bn'est pas

au repos non plus puisqu'il défile devant lui. De même la trajectoire du caillou n'est pas une droite verticale, mais une courbe qui peut ne pas être simple selon le mou- vement du train. Pendant le temps de chute du caillou, le train a avancé et, par rap- port au train, le point de contact du caillou au sol n'est pas à l a verticale de son point de lâcher. Les deux personnages Aet Bne " voient » pas les mêmes choses, pour- tant ils doivent être en mesure d'en déduire l'un et l'autre ce qui se passe réellement, car les phénomènes naturels et les événements ont une réa lité intrinsèque indépen- dante de la façon dont on les appréhende. Connaissant le mouvement du train par rapport à lui, Bdoit être en mesure de savoir que Aest immobile dans le train. De même A, connaissant le mouvement de l'arbre par rapport à lui, doit être en mesure de savoir que Best immobile par rapport à l'arbre et, à partir de la mesure de la tra- jectoire du caillou dans le train, il doit aussi être en mesure d' en déduire que le caillou tombe verticalement par rapport à B. Autrement dit, l'homme a besoin de repères dans l'espace et dan s le temps. Considérons d'abord les propriétés de l'espace. Toute mesure doit être faite par rap-

port à " quelque chose ». Ce " quelque chose » demande à être précisé et se nomme

un système de référenceou référentiel. Celui-ci est un ensemble infini continu de points (au sens mathématique du terme) tels qu'ils sont fixes les uns par rapport aux

autres. Cette propriété est le fait d'un corps solide et un système de référence pour-

rait être un solide, à condition qu'il ait une extension suffisamment importante pour recouvrir tous les phénomènes qui nous intéressent. C'est un fait d'expérience que, pour décrire notre espace, il faut désigner un point spécial

O, appelé origine, et trois

axes Ox,Oy,Oz, que l'on peut prendre mutuellement orthogonaux (formant, par ex emple un trièdre direct). En termes mathématiques, on dit que l' espace est affine à trois dimensions. La donnée de l'origine et des trois axes constitue un " référen-

tiel d'espace » (ou un " repère », ou un " système de référence ») et, par définition,

ces éléments sont fixesles uns par rapport aux autres. Un autre référentiel est défini par une autre origine O et par trois autres axes O x ,O y ,O z qui, eux-aussi, sont fixes les uns par rapport aux autres. Par contre, ce nouveau référentiel peut se dépla- cer, de manière rigide, dans le premier référentiel. La formalisat ion des phénomè- nes physiques dans chacun des référentiels et le lien entre les qu antités mathéma- tiques qui les décrivent est la question de base du physicien. Et le temps ? Le temps est mesuré par une horloge et jouit d'un statut spéc ial : en mécanique classique (newtonienne) le temps est absolu, indépendant du repère. Toutes les horloges dans tous les référentiels peuvent être synchronisées. Le voya- geur prenant le train à Paris règle sa montre sur l'horloge de la gare. En arrivant à Bruxelles, il compare l'heure de sa montre à celle indiquée par l' horloge de la gare d'arrivée (qui est supposée synchronisée sur celle de Paris) : elle marque exacte- ment la même heure, et ceci quel que soit le mouvement du train le long du par- cours. En relativité, même restreinte, qui nous intéresse ici, il n'en va plus de même. Le temps dépend du mouvement ; il ne peut être absolu. Ainsi, pour définir proprement un référentiel, on doit lui affecter également son propre système d'horloges syn-

21 ¥ Le concept de relativitŽ

chronisées (voir section 2.1.2). La lecture du temps sur l'horloge définit un nouvel axe, temporel, sur lequel il faut également définir une origine. Il faut toutefois se garder de mettre sur le même pied le temps et l'espace. S'il es t vrai que le temps peut être considéré comme une quatrième dimension, elle est de nature différente des dimensions spatiales, même en relativité. En effet, dans un référentiel donné, un objet peut explorer une direction spatiale dans un sens ou dans l'autre. Par contre, son évolution se fait toujours dans un seul sens du temps, vers le futur. La raison profonde de cette dissymétrie est encore mal connue (voir section 3.6). Pour résumer cette longue discussion, un référentiel

Rest fixé par la donnée

d'une origine Odans l'espace et dans le temps, et de 4 axes de repérage : trois axes dans des directions, par exemple, mutuellement orthogonales et un dans la " direc- tion du temps ». En mécanique classique, on omet souvent l'axe des temps car il n'est pas spécifique à un repère particulier. En relativité, on utilise abusivement le nom de référentiel en se restreignant au référentiel spatial lorsqu'on se concentre uniquement sur la partie espace ; c'est de pratique courante et nous tomberons sou- vent dans cet abus de langage qui ne porte pas à conséquence. Dans la suite, nous utiliserons fréquemment la notion de référentiel propre: le référentiel propre d'un observateur ou d'un objet est le référentiel dans lequel cet observateur ou cet objet est au repos. Signalons enfin que l'espace de la relativité restreinte est euclidien et que tous les théorèmes de géométrie euclidienne (rapport du périmè tre d'un cercle à son rayon, théorème de Pythagore, somme des angles d'un triangle égale

à 180°, etc.) y ont

cours. En relativité générale, cette propriété n'est plus vraie car la géométrie dépend du contenu en matière et seul le vide est euclidien. À strictement parler, lorsque nous utilisons le terme référentiel, nous sous-entendons toujours un espace vide ou un espace pour lequel la densité de matière est trop faible pour induire une modifi- cation significative à la géométrie euclidienne. Dans cet ouvrage, c'est toujou rs dans ce cadre que nous emploierons le terme référentiel.

1.1.2 Systèmes de coordonnées

Se fixer un référentiel est une étape indispensable pour étudier l a nature, mais cela ne suffit pas. Dire par rapport à quoi on fait une mesure c'est bien, encore faut-il maintenant effectuer les mesures proprement dites et affecter des nombres à celles- ci. Pour cela, nous avons d'abord besoin d'une unité de longueur et d'une unité de temps. Chaque axe du référentiel peut ainsi être gradué. Un événementest, par définition, un point de l'espace et du temps. Il repère un phénomène naturel qui a lieu en un point bien précis de l'es pace et en un temps bien précis, par exemple un flash lumineux ou le passage d'une particule. Comme nous le verrons plus loin, la relativité restreinte est avant tout une bonne gestion des évé-quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9