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RELATIVITÉ GÉNÉRALE
par
David SÉNÉCHAL
Ph.D., Professeur Titulaire
UNIVERSITÉ DESHERBROOKE
Faculté des sciences
Département de physique
(mars 2020)
Ce manuel électroniquefut utilisé dans le cadre du cours PHQ615 (Relativité générale) à l"Uni-
versité de Sherbrooke, depuis 2018. Il fait partie d"une collection de manuels électroniques diffusés par des professeurs du département de physique de l"Université de Sherbrooke. Il a
été revisité pour une diffusion sous licence libre en collaboration avec la fabriqueREL en mars
2020. Il est diffusé sous licenceCreative Commonsdans sa version BY-NC, sauf indications
contraires.
L"auteur,David Sénéchal, est professeur titulaire à l"Université de Sherbrooke. Son domaine de
recherche est la modélisation numérique des matériaux quantiques. C"est dans un esprit de
partage et de collaboration qu"il a décidé de partager cette ressource éducative libre. La liste
de ses publications est disponible surGoogle Scholar. Sauf indications contraires, le contenu de ce manuel électronique est disponible en vertu des termes de laLicence Creative Com-
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Une théorie est avant tout faite de la manière dont elle est pensée, dont elle est comprise,
dont elle est interprétée, bref, dont elle est vécue. C"est qu"une théorie doit être interprétée
pour être appliquée, et l"on ne peut guère la définir en en donnant simplement les règles;
des règles qui sont infiniment plus complexes, plus fluides qu"il n"apparaît au premier abord; une théorie n"existe guère que dans l"esprit, l"opinion, le jugement de ses experts, comme une oeuvre d"art en quelque sorte. Isolée, oubliée, sans applications théoriques ou n"aimerait, dont on n"aurait aucun besoin. Bref une théorie vie, elle est à comprendre dans
l"esprit de ses experts, à un moment donné de sa vie. Et, parallèlement à la manière dont
les générations d"experts la comprennent, sans même que ses équations ne varient, elle
évolue.
- Jean Eisenstaedt,Einstein et la relativité générale
TABLE DES MATIÈRES
Table des matières5
1 Rappels de relativité restreinte11
1Structure de l"espace-temps pseudo-euclidien...............12
2Transformations de Lorentz......................13
3Temps propre, vitesse et accélération..................16
BDynamique relativiste.........................19
1Action d"une particule libre......................19
2Particule chargée dans un champ électromagnétique............20
3Forme covariante de l"équation du mouvement..............22
4Transformation des champs électromagnétiques..............23
2 Géométrie riemannienne29
AVecteurs et tenseurs sur un espace courbe.................29
BConnexion affine...........................33
1Transport parallèle.........................33
2Dérivée covariante.........................34
3Relation entre la connexion affine et le tenseur métrique...........36
1Description mathématique d"une courbe.................39
2Définitions d"une géodésique.....................40
1Définition du tenseur de Riemann...................42
2Tenseur de Riemann et transport parallèle................43
3Tenseurs de Ricci, courbure scalaire et tenseur d"Einstein..........45
EExemples simples en dimension 2.....................45
1La sphère.............................46
2Le cylindre............................47
3Le cône.............................48
4Le tore..............................49
FAnnexe : intégrales et théorème de Stokes généralisé.............53
1Pseudotenseur complètement antisymétrique...............53
2Pseudotenseur dual.........................54
3Éléments d"hypervolume, de volume, de surface et de longueur........55
4Théorème de Stokes généralisé....................57
5Exemples en dimension 2......................57
5
3 Principes de la relativité générale67
AThéorie newtonienne de la gravitation...................67
1Loi de Poisson...........................67
2Le principe d"équivalence......................68
BLe principe de relativité générale.....................69
1Mouvement inertiel d"une particule...................70
2Coordonnées localement cartésiennes..................70
3Limite non relativiste........................72
4Formulation lagrangienne alternative..................73
CDistances et durées..........................75
1Décalage vers le rouge........................75
2Définition des distances.......................77
DÉquations du champ de gravitation....................78
1Action d"Einstein-Hilbert.......................78
2Tenseur d"énergie-impulsion.....................79
3Variation de l"action d"Einstein-Hilbert.................80
4Équations d"Einstein........................82
5Limite non relativiste........................82
ELa constante cosmologique.......................84
4 Géométrie de Schwarzschild89
ASolution de Schwarzschild.......................89
1Métrique isotrope générale......................89
2Résolution des équations du champ...................91
BGéodésiques de Schwarzschild......................93
1Équations générales des géodésiques dans la solution de Schwarzschild.....93
2Trajectoires des particules massives...................94
3Mouvement radial.........................97
4Mouvement circulaire........................98
5Précession des orbites elliptiques....................100
6Trajectoire des photons.......................102
7Déviation des rayons lumineux....................103
CPrécession géodétique.........................105 DHorizons et singularités.........................108
1Singularités intrinsèques vs singularités de coordonnées...........108
2Horizon d"événements........................109
3Surface à décalage infini.......................110
ECoordonnées de Kruskal-Szekeres.....................110
1Cônes de lumière entrants et sortants..................110
2Coordonnées de Kruskal-Szekeres...................112
3Diagramme d"espace-temps de Kruskal-Szekeres.............114
FTrous de vers.............................115
1Pont d"Einstein-Rosen........................115
2Trou de ver dans le trou noir de Schwarzchild...............116
GRayonnement de Hawking et évaporation des trous noirs............118
1Température de Hawking.......................119
2Évaporation du trou noir.......................120
5 Géométrie de Kerr127
AMétrique de Kerr...........................127
1Entraînement des repères......................128
2Métrique de Kerr..........................128
3Cas limites de la métrique de Kerr...................129
4singularités de la métrique de Kerr...................131
BErgosphère et processus de Penrose....................133 CGéodésiques équatoriales dans la métrique de Kerr..............134 DEffet Lense-Thirring..........................135
6 Ondes gravitationnelles141
ARelativité linéarisée..........................141
1Déformation du tenseur métrique...................141
2Équations d"Einstein linéarisées....................143
BPropagation des ondes gravitationnelles..................145
1Solution générale à l"équation d"onde..................145
2Effet du passage d"une onde gravitationnelle...............147
CRayonnement des ondes gravitationnelles.................149
1Fonction de Green pour l"équation d"onde................149
2Approximation des sources compactes.................151
3Rayonnement causé par un objet binaire.................153
4Énergie portée par une onde gravitationnelle...............156
5Détection des ondes gravitationnelles..................160
7 Cosmologie167
ALe principe cosmologique........................167 BUnivers de Friedmann-Lemaître.....................168
1Métrique de Friedmann-Lemaître...................168
2Espace à courbure spatiale constante positive...............171
3Espace à courbure spatiale constante négative...............173
4Géodésiques dans l"espace de Friedmann-Lemaître.............174
5Décalage vers le rouge cosmologique..................175
6La constante de Hubble.......................175
CModèles cosmologiques........................177
1Équations de Friedmann-Lemaître...................177
2Équations du mouvement du fluide cosmologique.............178
3Paramètres cosmologiques......................181
4Diagramme de phase cosmologique..................182
5Évolution temporelle du facteur d"échelle................184
DCosmologie inflationnaire........................188
1Les paradoxes du modèle cosmologique standard.............188
2Le problème de l"horizon.......................188
3Expansion inflationnaire.......................189
8 Annexes197
BUnités géométriques..........................200 CVecteurs et tenseurs..........................201
1Composantes covariantes et contravariantes...............201
DTenseur d"énergie-impulsion d"un fluide parfait...............205 ECalcul du tenseur de Riemann avec SymPy.................209
1Calcul de quantités reliées à la métrique statique à symétrie sphérique générale, en
fonction des fonctions inconnuesA(r)etB(r)................209
2Calcul de quantités reliées à la métrique de Schwarzschild..........211
TABLE DES PROBLÈMES
1.1 Addition des vitesses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
1.2 Tenseur métrique et élément de volume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
1.3 accélération constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
1.4 Forme générale de la transformation de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
1.5 composition des transformations de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
1.6 paradoxe des jumeaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
1.7 Effet Compton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
1.8 mouvement dans un champ électrique constant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
1.9 mouvement dans un champ magnétique constant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
1.10 mouvement dans des champs magnétique et électrique parallèles. . . . . . . . . . . . . .28
1.11 mouvement dans des champs magnétique et électrique croisés. . . . . . . . . . . . . . . .28
2.1 coordonnées stéréographiques sur la sphère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
2.2 connexion affine pour une métrique diagonale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
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[PDF] Mécanique et relativité restreinte - Université Laval