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MasterAstronomie et Astrophysique

Année M2 - Parcours Recherche

UE FC5

Relativité générale

Éric Gourgoulhon

eric.gourgoulhon@obspm.fr 2

Table des matières

1 Introduction

1.1 Motivations et objectifs du cours

2 Cadre géométrique

2.1 Introduction

gαβdu tenseur métrique

4 TABLE DES MATIÈRES

2.6.2 Équation des géodésiques

3 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild)

3.1 Introduction

4 Équation d"Einstein

4.1 Introduction

TABLE DES MATIÈRES 5

4.3.3 Tenseur de Ricci et tenseur d"Einstein

5 Trous noirs

5.1 Introduction

6 Ondes gravitationnelles

6.1 Introduction

6 TABLE DES MATIÈRES

6.4.1 Équation du mouvement en coordonnées TT

7 Solutions cosmologiques

7.1 Introduction

R2,3

A Relativité et GPS

A.1 Introduction

B Problèmes

B.1 Décalage spectral au voisinage de la Terre

TABLE DES MATIÈRES 7

B.4 Observateur accéléré et horizon de Rindler

C Solutions des problèmes

C.1 Décalage spectral au voisinage de la Terre

Bibliographie

8 TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1

Introduction

version 2010-2011

Sommaire

1.1 Motivations et objectifs du cours

1.1 Motivations et objectifs du cours

L"astrophysique relativiste occupe une part croissante dans l"astronomie contempo- raine, notamment en regard de l"importante quantité de données générées par les observatoires satellitaires de haute énergie actuellement en orbite (XMM-Newton, Chandra, Integral, RXTE, HETE-2, Swift, Fermi) ou en projet (IXO), les observatoires de haute énergie au sol : HESS, Antares, AUGER, etc. les détecteurs d"ondes gravitationnelles actuellement en service (VIRGO et LIGO, au sol) ou en projet (LCGT au Japon, LISA dans l"espace), les observations en optique/infrarouge d"effets relativistes : mirages gravitationnels, orbites stellaires au voisinage du trou noir central de notre Galaxie, courbes de luminosité des supernovae Ia à grand décalage spectral, etc. les satellites dédiés à la cosmologie (WMAP, Planck) Toutes les sources observées par les instruments mentionnés ci-dessus sont soit cosmolo- giques, soit mettent en jeu des objets compacts (trous noirs, étoiles à neutrons). Dans les deux cas, la base théorique de leur étude est la relativité générale. En plus des nombreuses applications à l"astrophysique, il convient de mentionner la

première application de la relativité générale à la vie pratique (!), à savoir le système de

positionnement GPS. Ce dernier serait en effet inopérant si on se limitait à une description purement newtonienne du champ gravitationnel de la Terre, ainsi que nous le verrons dans l"Annexe

10 Introduction

Le but de ce cours est d"introduire la relativité générale en 15 h, en mettant l"accent sur les applications astrophysiques. À cette fin, on évitera une exposition trop formelle et, sans s"interdire une certaine rigueur mathématique, on utilisera abondamment des

figures et des exemples simples. En particulier, un rôle central sera donné à la métrique

de Schwarzschild, qui est à la base de la description du champ gravitationnel des étoiles compactes et des trous noirs, mais aussi des étoiles de type solaire et des planètes lorsqu"on veut tenir compte des effets relativistes, comme pour le système GPS. On espère qu"un étudiant qui aura suivi le cours, même s"il ne fait pas carrière en relativité, sera à même de comprendre une phrase comme " en faisant l"hypothèse qu"elle est due à un mouvement orbital, la périodicité de 17 minutes observée avec l"instrument NACO du VLT autour du trou noir central de la Galaxie montre que ce dernier doit être en rotation rapide » (page de garde de www.obspm.fr, novembre 2003

Nature425, 934

(2003)). Les exercices d"application du cours sont regroupés sous forme de problèmes dans l"Annexe

1.2 Articulation avec les autres cours

L"introduction de la relativité générale comme extension de la théorie newtonienne a

été présentée dans le cours FL1(gravitation). Dans ce cours a également été dérivée l"équa-

tion d"Einstein à partir d"un principe variationnel basé sur l"action d"Einstein-Hilbert. L"analyse détaillée du transfert de temps avec des satellites en orbite terrestre et les applications GPS sont laissées aux cours FC1(systèmes de référence et astronomie fon- damentale)et FC4(physique fondamentale et navigation dans l"espace). On a simplement

introduit ici les concepts généraux de facteur de Lorentz et de décalage gravitationnel vers

le rouge et effectué quelques applications numériques pour les satellites GPS. De même, le cours ne donne qu"une introduction au phénomène de déviation des rayons lumineux mais ne traite pas en détail des mirages gravitationnels et de leurs applications, ces derniers points étant traités dans le cours Th5(cosmologie et univers primordial). Les trous noirs détectés par différents instruments ne sont utilisés ici que comme illustration. La discussion des observations est laissée aux cours Th9(objets compacts)et Th10(accrétion et jets). Il en est de même du mécanisme de formation dans les supernovae. Le détail de la détection des ondes gravitationnelles par des interféromètres du type VIRGO ou LISA est laissé au cours Th9(objets compacts), de même qu"une revue des différentes sources astrophysiques attendues et de leur forme d"onde. Enfin, pour la cosmologie, le cours ne donne que la dérivation des solutions de Friedmann- Robertson-Walker. La discussion de leurs propriétés, le lien avec l"analyse du fond diffus cosmologique, ainsi que des modèles cosmologiques plus sophistiqués (inflation) sont lais- sés au cours de cosmologie proprement dit (Th5).

1.3 Page web du cours

La page web

1.3 Page web du cours 11

contient des liens vers d"autres cours, des livres et des expériences consacrées à la relativité

générale.

12 Introduction

Chapitre 2

Cadre géométrique

version 2010-2011

Sommaire

2.1 Introduction

2.1 Introduction

L"objectif de ce premier cours est d"introduire le cadre mathématique de la relativité

générale. On privilégie une approche géométrique et picturale - basée sur l"algèbre li-

néaire telle qu"enseignée dans les deux premières années d"université ou de classes prépara-

toires - à une approche basée sur les systèmes de coordonnées. Pour ne pas être trop formel, le cours repose sur de nombreuses figures et des exemples issus de l"espace-temps de Minkowski. Une importance particulière est donnée à la notion de ligne d"univers.

2.2 L"espace-temps relativiste

2.2.1 Les quatre dimensions

La relativité a opéré la fusion de l"espaceet dutemps, deux notions qui étaient com- plètement distinctes en mécanique galiléenne. Il faut quatre nombres pour déterminer un événement dans le " continuum » d"espace et temps : trois pour sa localisation spatiale (par exemple ses coordonnées cartésiennes(x,y,z)ou sphériques(r,θ,φ)) et un pour sa

14 Cadre géométrique

Fig.2.1 -

Variété : vue de près, une variété ressemble àRn(n= 2sur la figure), mais cela n"est plus

nécessairement vrai au niveau global. date. La structure mathématique correspondant à ce " continuum » à quatre dimensions

est celle devariété. Avant de décrire cette dernière, il convient d"éclaircir un point : vouloir

former un continuum d"espace-temps signifie implicitement que les grandeurs d"espace et de temps se voient donner la même dimension physique. Par convention, nous choisirons cette dimension être celle d"une longueur (donc mesurée en mètres dans le Système In- ternational). Pour obtenir les temps dans la dimension usuelle, il faut donc introduire un facteur de conversion qui a la dimension d"une vitesse : il s"agit de la constante c= 2.99792458×108m s-1 (2.1)

2.2.2 Notion de variété

Unevariétéest un ensemble qui " ressemble localement » àRn(dans le cas présent n= 4). Plus précisément, unevariété de dimension4 est un espace topologiqueEtel qu"en chacun de ses points, on peut définir un voisinage homéomorphe à un ouvert de R

4. En langage imagé, cela veut dire que sur toute partie pas trop grosse de la variété,

on peut étiqueter les points par 4 nombres. Cela est représenté schématiquement sur la figure système de coordonnées (oucarte ) sur une partie ouverteUd"une variétéEtout " étiquetage » des points deU, c"est-à-dire tout homéomorphisme 1

Φ :U?E-→Φ(U)?R4

P?-→(x0,x1,x2,x3)

(2.2)

Remarque :

Il est conventionnel en relativité d"étiqueter les 4 coordonnées sur la va- riété d"espace-temps par(x0,x1,x2,x3), plutôt que(x1,x2,x3,x4), car en général la coordonnéex0est du genre temps et les trois autres du genre espace (ces termes 1 rappelons qu"unhoméomorphisme entre deux espaces topologiques (iciU?EetΦ(U)?R4) est une bijection continue et dont l"application réciproque est également continue.

2.2 L"espace-temps relativiste 15

Fig.2.2 -

Exemples de variétés de dimension 2 :de gauche à droite :plan, cylindre, sphère et tore. seront définis plus bas). Nous utilisons ici cette convention, même si à ce stade de la discussion, les coordonnées(x0,x1,x2,x3)sont tout à fait arbitraires. On peut donc juste voir cela comme la convention d"indice des tableaux en C/C++ plutôt que celle du Fortran... Il convient de souligner que la ressemblance locale avecR4s"arrête à l"étiquetage des points et ne s"étend pas à la structure d"espace euclidien deR4. En particulier le choix du système de coordonnées est complètement libre : si(xα) = (x0,x1,x2,x3)est un système de coordonnées surU?EetFune applicationR4→R4bijective, continue et de réciproque continue, alors(yα) = (y0,y1,y2,y3), avecyα=Fα(x0,x1,x2,x3), constitue un système de coordonnées tout à fait valide. Des exemples de variété de dimension 2 sont donnés sur la Fig. R4

lui-même. Par contre, la variété utilisée pour décrire l"espace-temps en relativité générale

peut être différente deR4, en particulier si l"on considère un espace-temps contenant des trous noirs ou un modèle cosmologique.

Remarque :

La définition de variété donnée ci-dessus est intrinsèque : elle ne suppose pas queEsoit plongé dans un espace plus grand. Ainsi on peut définir les variétés de dimension 2 montrées sur la Fig. R3(par exemple, la définition de la sphère comme l"ensemble des points(x,y,z)tels quex2+y2+z2= 1fait évidemment appel àR3).

On appelleatlas

deEetΦkun système de coordonnées (carte) surUk, tel que la réunion desUkcouvre E: K k=1U k=E. (2.3)

Eest unevariété différentiable

(resp.variété de classeCp ) ssi pour toute intersection non vide de deux cartes,UietUjdisons, l"application i◦Φ-1 j: Φj(Ui∩Uj)?R4-→Φi(Ui∩Uj)?R4 (2.4) Cp). Notons que l"application ci-dessus va d"un ouvert deR4vers un autre ouvert deR4, si bien que la notion de différentiabilité invoquée à son égard n"est autre que celle des applications internes àR4.

16 Cadre géométrique

2.2.3 Courbes et vecteurs sur une variété

Courbes

Un concept géométrique élémentaire à la base de la physique est celui devecteur. Ce concept est généralement introduit dans le cadre de l"espace euclidienR3. Il est im- médiatement généralisable à l"espaceRn(n?N?). Sur une variété, on ne peut a priori pas définir les vecteurs comme des quantités reliant deux points, sauf pour des points infiniment proches : en raison de la courbure, le vecteur " sort » de la variété. En par- ticulier l"addition de deux vecteurs issus de deux points différents serait problématique.

Par contre, une notion géométrique bien définie sur une variété est celle decourbe. Nous

allons l"utiliser pour définir les vecteurs comme des vecteurs tangents à une courbe don- née. Mathématiquement, unecourbe Csur une variétéEest l"image d"une application différentiable

P:R-→E

λ?-→P=P(λ)?C.

(2.5) paramétrage de la courbe

Cetλest appeléparamètre de la

Étant donné un système de coordonnées(x0,x1,x2,x3), la courbe est décrite par la donnée de 4 fonctionsXα:R→R, que nous supposerons différentiables et telles que 8 >:xquotesdbs_dbs4.pdfusesText_8