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Si E est un ensemble fini, le cardinal de E est le nombre d'élément de E On le note Card(E) Remarque: Pour calculer la probabilité qu'un événement A et un

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cardinal d'un ensemble précise la notion de nombre d'éléments Ensemble équiprobable (c'est à dire que chaque élément à la même probabilité d'être tiré) 

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Probl`eme : Comment calculer les cardinaux dans des probl`emes plus compliqués (loto foot, tiercé, jeux de carte)? Renaud Bourl`es - École Centrale Marseille

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notion de cardinal : Deux ensembles E et F ont le même cardinal si et seulement si il existe une Savoir calculer la loi de probabilité d'une variable aléatoire 2

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Introduction au calcul des probabilités, cas d'un univers fini ∗ 1 Introduction Des actions comme lancer un dé, tirer une carte d'un jeu, obser- ver la durée de 

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Le but de ce chapitre est de mettre en place un cadre théorique pour le calcul des pro- Remarque : Faire du dénombrement, c'est déterminer le cardinal d'un  

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Méthode : Calculer une probabilité conditionnelle à l'aide d'un tableau croisé On rappelle que Cardinal de A, noté Card(A), désigne le nombre d'issues de

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3 7 * Variables aléatoires sur un espace de probabilité général Pour calculer le cardinal d'un ensemble fini E, il peut être judicieux d'écrire cet ensemble 

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Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

Chapitre 2

Le calcul des probabilitesRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris Equiprobabiliteet Distribution UniformeDeux evenementsAetBsont ditsequiprobablessi

P(A) =P(B)Si il y a equiprobabilite sur

, cad si tous les evenements elementaires ont la m^eme probabilite. On parlera alors de distribution de probabilite uniformeDenition

On appelledistribution uniformesur

la fonction de distribution qui assigne la m^eme valeur a tous les evenements elementaires. Si =f!1;!2;:::;!ng, la distribution de probabilite uniforme s'ecritp(!) =1n ,8!2

Remarque :On a bien alorsX

!2 p(!) =n:1n = 1Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris Probabilitede LaplaceSi la distribution de probabilites sur est uniforme, la probabilite d'un evenementEest deni par

P(E) =card(E)card(

ou card(E) represente le cardinal deEc'est a dire le nombre d'evenements elementaires contenus dansE

Remarque :On a bienP(

) = 1P(A[B) =P(A) +P(B) siA\B=; (car alors card(A\B)=0)Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

Exemple

On lance deux des et on fait la somme des resultats. Soit E="le total est 7". Quelle est la probabilite deE?Si on choisit comme evt elementaires la somme : =f2;3;:::;12g, la distribution n'est pas uniforme

(une seule maniere d'obtenir 2, plusieurs d'obtenir 7)Prenons comme univers les couples de resultats :

=f(i;j);1i6;1j6g

Alors la distrib est uniforme et card(

) = 6

2= 36 (arbre)

E=f(1;6);(2;5);(3;4);(4;3);(5;2);(6;1)g

)card(E) = 6 etP(E) =636 =16 Probleme : Comment calculer les cardinaux dans des problemes plus compliques (loto foot, tierce, jeux de carte)? Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

DenombrementsOn considere une experience

a plusieurs etapes telle que le nb d'issuesma l'etapenne depend pas du

resultat des etapes precedentesle nb d'issuesmpeut dierer selon les etapeson cherche le nb de manieres dont l'exp peut se derouler

Soit une t^ache qui se deroule enretapes. Siil y an1facons de realiser la premiere etape,pour chaque des cesn1facons, on an2possibilites... et ainsi de suite jusqu'anr

Alorsle nombre total de facons dont cette tache peut se

derouler est donne par le produitN=n1:n2:n3:::nrRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Listes

Denition

SoitEun ensemble denelements. Unep-liste deEest une collectionordonneedepelements deE:x1;x2;:::;xp;xi2E

8iRemarques

on tient compte de l'ordre un m^eme element peut revenir plusieurs fois Exemple type :Tirage avec remise: Une urne contient 10 boules numerotees. On extrait 3 boules, avec remise apres chaque tirage. Le resultat est une 3-liste def1;2;:::;10g

Autres exemples :une grille de loto-foot est une 16-liste def1;N;2gun code PIN a 4 chires est une 4-liste def1;2;:::;9gRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Theoreme 2.1

Il existenpp-listes de E (oun= card(E))(on utilise la formuleN=n1:n2:::npavecn1=n2=:::=np)

Exemplesil y a 10

3= 10:000 tirages (de 10 boules avec remise)

possibles (cf. arbre)il y a 3

16= 43:046:721 grilles de loto foot possiblesil y a 9

4= 6:561 codes PIN a 4 chires possiblesRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Arrangements

Denition

SoitEun ensemble denelements. Unp-arrangement deE

est une collectionordonneedepelementsdistinctsdeE (pn):x1;x2;:::;xp;xi2E xi6=xjsii6=jRemarques on tient compte de l'ordre un m^eme element ne peut pas revenir plusieurs fois Exemple type :Tirage sans remise: Une urne contient 10 boules numerotees. On extrait 3 boules, sans remettre les boules tirees. Le resultat est une 3-arrangement de f1;2;:::;10g Autres exemples :Le tierce gagnant dans une course a 18

chevaux est un 3-arrangement def1;2;:::;18gRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Theoreme 2.2

Il existeApn=n!(np)!p-arrangements de E(on utilise la formuleN=n1:n2:::npavecni+1=ni1 )ni=ni+ 1)Denition Soitkun entier positif. La factorielle dek(ou factoriellek), notek! est deni park!k(k1)(k2):::1 =kY i=1i.Par convention 0! = 1

Exemples :1! = 1 ; 2! = 2x1 = 2 ; 3! = 3x2x1 = 6

Propriete :p:(p1)! =p!Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

Ainsi,

A

pn=n!(np)!=n(n1):::(np+1)(np)!(np)!=n(n1):::(np+ 1)Cas particulier:sip=n(classement complet dans l'ordre),

A pn=n! et on parle depermutationdeE(une permutation est donc unn-arrangement) ExemplesIl y aA310= 10x9x8 = 720 tirages (de 10 boules sans remise) possibles (cf. arbre)Il y aA318= 18x17x16 = 4896 tierces dans l'ordre possibles Application :Si equiprobabiliteproba de toucher le tierce dans l'ordre= 14896
= 0;02%proba de toucher le tierce dans le desordre= 54896
= 0;10% ((acb);(bac);(bca);(cab);(cba)) Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

Combinaisons

Denition

SoitEun ensemble denelements. Unep-combinaison est une collectionnon ordonneedepelementsdistinctsdeE (pn)Remarques on ne tient pas compte de l'ordre un m^eme element ne peut pas revenir plusieurs fois Exemple type :Tirage du loto. C'est une 6-combinaison de f1;2;:::;49g Autres exemples :Un tierce, dans le desordre, d'une course a 18 chevaux est une 3-combinaison def1;2;:::;18gune "main"au poker (tirage de 5 cartes) est une

5-combinaison de l'ensemble des 32 cartes

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Theoreme 2.3

Il existeCpn=n!(np)!p!p-combinaisons de ERemarque

C pnest aussi appele "coecient binomial"et est parfois note n pC pn=Apnp!="arrangements de p elements""permutation des p elements" (Cnn= 1)

Exemples:il y aC649=49!43!6!

= 13:983:816 tirages possibles du lotoil y aC318=18!15!3! =18x17x163x2x1= 816 tierces possibles dans le desordreil y aC532= 201:376 mains possibles dans un jeu de 32 cartes Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

Proprietes des combinaisonsPropriete 1 (symetrie)

C pn=CnpnInterpretation C pn=nb de facons d'extrairepelmts d'un ens denelmtsC npn=nb de facons de laisserpelmts dans ens denelmtsPropriete 2 (Triangle de Pascal) C p1 n1+Cp n1=CpnExemple C

649tirages possibles du LotoC

648tirages possibles ne contenant pas la boule 1C

548tirages possibles contenant la boule 1

)necessairementC548+C648=C649Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

Ensemble des parties:P(E)Denition

SoitEun ensemble denelements. L'ensemble des parties de

E est alors deni parP(E) =fA=AEgExemples

E=;, cardE= 0,P(E) =f;g, cardP(E) = 1E=fag, cardE= 1,P(E) =f;;fagg, cardP(E) = 2E=fa;bg, cardE= 2,P(E) =f;;fag;fbg;fa;bgg,

cardP(E) = 4 = 22Theoreme 2.4 cardP(E) = 2n= 2cardE"Demonstration"P(E) =C0n+C1n+C2n+:::+Cnn

+ Bin^ome de Newton: (a+b)n=Conanb0+:::+Cknankbk+:::+Cnna0bnRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris Permutations d'objets partiellement indiscernables

Soitnobjets que l'on decompose enpgroupes:

n=n1+n2+:::+np. A l'interieur de chaque groupes les objets sont indiscernables.

Le nombre de permutations de ces objets est

n!n

1!n2!:::np!

ExemplesDe combien de facon peut-on aligner 3 boules rouges, 2 vertes et 5 bleues?

10!5!3!2!

= 2520Combien de "mots"de 6 lettres peut-on former avec les lettre S, R, R, E, E, E?

6!3!2!1!

= 60Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris Probabilites Subjectives : Les ParisProbl^eme :Les distributions de probabilites ne sont pas toujours uniformes et on ne peut pas toujours denir des probabilites objectives! ExemplesProbabilite que le TeFeCe batte l'OM ou qu'un actif soit en hausse. On peut toutefois conna^tre les probabilites subjectives que chaque individu attache a ces evenements a l'aide des paris! Si je suis pr^et a payer 2 euros si Toulouse gagne pour recevoir

1 euro quand Marseille gagne, cela signie que je pense que la

probabilite que Marseille gagne est 2=3Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

Plus generalement,

paris arcontre 1 que l'evenementEse realise. ,Earfois + de chance de survenir que de ne pas survenir, cadP(E) =rP(E)

)P(E) =rr+1(carP(E) +P(E) = 1)Cas general d'une c^ote arcontres:P(E) =r=sr=s+1=rr+sSi on connait la probaP(E) =p, on ar=s=p1pRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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