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Ecole Normale Sup´erieure2006-2007

Cours d"Analyse Fonctionnelle et EDPSt´ephane Mischler

Premi`ere ann´ee de Master FIMFA

El´ements de correction de l"examen du Lundi 4 juin 2007 Exercice 1.CalculerF(δ0) et en d´eduireF(1). Montrer queF(Vp(1/x)) est impaire. Montrer que xVp(1/x) = 1 et en d´eduireF(Vp(1/x)).

Correction de l"exercice 1.La d´efinition directe de la TF montre queF(δ0) = 1. Commeδ? S?(R) on a

F(1) =F ◦F(δ) = 2πδ0. Pour toute fonctionψ:R→Ron noteψ?(x) =ψ(-x) et pour toute distribution

T? D?(R) on d´efinitT?par?T?,??=?T,???. Pour tout?? S(R) il est clair queF(?)?=F(??) de sorte

queF(T)?=F(T?) ´egalement pour toutT? S?(R). De par la d´efinition par dualit´e de Vp(1/x) on a

?Vp(1/x),???= limε→0? |x|≥ε?(-x) xdx=-limε→0? |x|≥ε?(x)xdx=-?Vp(1/x),?? ??? S(R),

ce qui prouve que Vp(1/x) est impaire, et donc ´egalement queF(Vp(1/x)) est impaire. De mˆeme, on a pour

tout?? D(R) ?xVp(1/x)),??=?Vp(1/x),x??= limε→0? |x|≥ε?(x)dx=? R ?dx=?1,??, ce qui prouve quexVp(1/x) = 1. De ce qui pr´ec`ede on d´eduit iA ?:=iF(Vp(1/x))?=F(xVp(1/x)) =F(1) = 2πδ0.

On a doncA(ξ) =-2iπ(H(ξ) +C) o`uHest la fonction de Heaviside etCest une constante `a d´eterminer.

Comme on sait queAest impaire, on trouve queC=-1/2, et finalementF(Vp(1/x))(ξ) =-π iξ/|ξ|.

Exercice 2.SoitEun espace de Banach. On dit queS= (St)t≥0est un semi-groupe d"op´erateurs lin´eaires

continus deEsi i)St:E→Eest un op´erateur lin´eaire continu?t≥0; ii)S0=IdE,Ss+t=Ss◦St;

iii)?x?E,limt→0+Stx=x.

(par i) et?Xn=E(par iii). Appliquant le lemme de Baire, on d´eduit qu"il existen0tel que intXn0?=∅.

1bis) Une preuve alternative est de supposer par l"absurde que 1) n"a pas lieu. Il existe donc une suite

de temps (tn) telle quetn→0 et supn?Stn?L(E)=∞. Or d"autre part,Stnx→xpour toutx?E,

ce qui implique d"apr`es un corollaire du th´eor`eme de Banach-Steinhaus que supn?Stn?L(E)<∞, et la

contradiction.

2) Pour toutt?R+on ´ecritt=t?+ [t/δ]δavect??[0,δ) de sorte que (par ii)

δt.

Probl`eme 3. (Th´eor`eme de Tykhonov et applications)On rappelle le th´eor`eme (de Brouwer) suivant. SoitCun convexe ferm´e born´e non vide deRNet soit

ψ:C→Cune fonction continue. Alorsψadmet un point fixe: il existe ¯x?Ctel queψ(¯x) = ¯x.

1) - SoitEun espace de Banach r´eflexif s´eparable, soitCun convexe ferm´e born´e non vide deEet soit

?:C→Cune fonction continue au sens de la convergence faible deE. On souhaite montrer (th´eor`eme de

Tykhonov) que?poss`ede un point fixe.

a) Montrer qu"il existe (fn) une suite dense deBE?. On d´efinit d:C×C→R+, d(x,y) =∞? n=12 -n|?fn,y-x?|.

Pourquoi est-ce une distance? On d´esigne parB(x,r) la boule de centrexet de rayonrassoci´ee `ad. Montrer

que pour toutε >0, il existe une famille finie (ei)i?Itelle queC? ?i?IB(ei,ε/2). b) - SoitCεl"enveloppe convexe des (ei)i?Iet soit?εla fonction d´efinie par

ε(x) :=?

i?Iθ i(x)eio`uθi(x) =qi(x) j?Iqj(x), qi(x) := max(ε-d(?(x),ei),0). Montrer qu"il existe ¯xε?Cεtel que?ε(¯xε) = ¯xε.

2) - Dans cette question Ω d´esigne un ouvert born´e deRN.

Montrer queu?→f(u) est continue deLp(Ω) dansLq(Ω). fonction d´efinie paru=?(v) est la solution de (1)-Δu=f(v) Ω, u= 0∂Ω.

b1) - Montrer que?:H10(Ω)→H10(Ω) (et on pr´ecisera le sens de la solution d´efinie ci-dessus) et que?est

continue au sens de la convergence faible deH10(Ω). b2) - Montrer qu"il existeMtel que?:C→C.

b3) - En d´eduire qu"il existeu?H10(Ω) solution de l"´equation non-lin´eaire-Δu=f(u) dans Ω.

b4) - On suppose quefest d´ecroissante. Montrer l"unicit´e de la solution obtenue ci-dessus.

3) Dans cette question on suppose que Ω est un ouvert born´e deRNavecN≥3.

que la fonctionnelleE:H10(Ω)→R,

E(v) :=1

2? |?v|2dx-?

F(v)dx, F(t) =?

t 0 f(s)ds, est bien d´efinie. Montrer queEest G-d´erivable et calculer?E?(u),v?pour toutu,v?H10(Ω). question 2b3). c) On suppose de plus maintenant quefest d´ecroissante. Montrer queEest convexe, queEposs`ede un minimum, et que celui-ci est unique. Retrouver le r´esultatde la question 2b4). 2 continue telle quek2<(N+ 2)/(N-2)?

Correction du probl`eme 3.1a) Il existe une familleF= (fn) d´enombrable dense dansBE?car un th´eor`eme

du cours dit que le dualE?d"un espace r´eflexif s´eparable est s´eparable. Il est clair quedv´erifie les propri´et´es

d"une distance:d(x,y) est fini (carCetBE?sont born´es),dest positif et satisfait `a l"in´egalit´e triangulaire,

enfind(x,y) = 0 implique?fk,y-x?= 0 pour toutk?N?, et donc?f,y-x?= 0 pour toutf?E?(F est dense dansBE?) et enfinx-y= 0 par un corollaire de Hahn-Banach. La topologie induite pardest la

topologie Σ(E,E?) (c"est du cours). CommeCest s´equentiellement compact (puisqueCest convexe ferm´e

born´e et que les boules sont s´equentiellement compactes,encore du cours) et m´etrisable,Cest compact

pour la topologie faible, et donc pour la m´etriqued. On recouvreCpar?x?CB(x,ε/2) et on en extrait un

sous-recouvrement fini. D"o`uC? ?i?IB(ei,ε/2) avecIfini.

1b) On munitEεl"espace vectoriel engendr´e par les (ei)i?Ide la norme?.?induite parE. Alorsx?→d(x,ei)

est continue dans (Eε,?.?) puisquex?→ ?fk,x-ei?est continue pour chaquek?Net que la s´erie converge

uniform´ement surC. On en d´eduit que?εest continue. Comme par ailleursCεest un convexe, ferm´e,

born´e, non vide, il en r´esulte par le th´eor`eme de Brouwerqu"il existe ¯xε?Cεtel que?ε(¯xε) = ¯xε.

i?Iθ i?Iθ

Comme ¯xε?Cpour toutε >0, il existe une sous-suite encore not´ee (¯xε) et ¯x?Ctels que ¯xε?¯x σ(E,E?)

et donc?(¯xε)??(¯x)σ(E,E?) par d´efinition de?. On a alors d"o`u on d´eduit (puisque cela est vrai pour toutk)?(¯x) = ¯x.

2a) Soitun→udansLp. Par la r´eciproque du th´eor`eme de convergence domin´ee on aunk→up.p. et

le th´eor`eme de convergence domin´ee on obtientf(unk)→f(u) dansLq. L"unicit´e de la limite implique que

c"est en fait toute la suite qui converge (faire un raisonnement pas l"absurde).

2b1) Pour toutv?H10(Ω) on af(v)?L2(Ω) et il existe donc par Lax-Milgram (et l"in´egalit´e de Poincar´e)

une unique solutionu?H10(Ω) de -Δu=f(v) Ω, u= 0∂Ω au sens variationnel ?u· ??dx=? f(v)?dx?v?H10(Ω).

Par l"injection compacteH10(Ω)?L2(Ω), sivn?vau sensH10(Ω) faible alors sivn→vau sensL2(Ω) fort,

doncf(vn)→f(v) au sensL2(Ω) (c"est la question 2a) et donc enfinun=?(vn)→u=?(v) au sensH10(Ω)

fort, donc faible.

2b2) On a par in´egalit´e de Poincar´e

2b3) C"est le th´eor`eme de Schauder.

2b4) Siu1etu2sont deux solutions de (1), alors

|?(u2-u1)|2dx=? 3 de sorte queu2=u1.

v?H10(Ω), ce qui montre queEest bien d´efinie, et mˆeme continue d"apr`es la question 2a). De plus, pour

toutu,v?H10(Ω) eth?R?on a h -1??

F(u+hv)-?

F(u)-h?

f(u)v)? 1 0 [f(u+htv)-f(u)]vdtdx→0, par convergence domin´ee (tout est fait pour que cela marche...). Ainsi ?F?(u),v?=? [?u· ?v-f(u)v]dx.

3b) On a

E(u) =?

|?u|2-?

F(u)≥CΩ?u?2L2-?

C(1 +|u|k+1)dx≥C1?u?2L2-C2-C3?u?(k+1)/2

L 2,

de sorte queE(u)→ ∞lorsqueu→ ∞dansH10(Ω) (Eest coercive) etE(u)≥C4?u?H10(Ω). Soit (un)

une suite minimisante, i.e.E(un)→I:= infv?H10E(v). On a donc (un) est born´ee, et on en extrait une

sous-suite toujours not´ee (un) qui converge faiblementH10(Ω), donc ´egalement fortementLk+1(Ω)?L2(Ω)

(par injection compacteH10?L2). En passant `a la limiten→ ∞on obtient Commeur´ealise le minimum deE(u) c"est un point critique et on obtient [?u· ?v-f(u)v]dx?v?H10(Ω), i.e.uest solution de (1).

3c) Sifest d´ecroissante alors-Fest convexe et doncEest convexe comme somme de deux fonctionnelles

convexes. De plus, de-Fconvexe on tire qu"il existeC1≥0 telle que (-F)(t)≥ -C1(1 +|t|). On en

d´eduit comme dans la question 3b) queEest coercive. On peut appliquer le th´eor`eme du cours qui donne

l"existence et l"unicit´e (caru?→ ??u?2L2est strictement convexe) d"un minimum pourE. On retrouve donc

le r´esultat de la question 2b4).

Probl`eme 4 (Compacit´e par compensation).Dans tout cet exercice, Ω d´esigne un ouvert born´e deR2.

1) Soituε: Ω→Rpla suite d´efinie par

ε(x) =χ(x1/ε)λ+ (1-χ(x1/ε))μ

o`uλ,μ?Rp,x1est la premi`ere coordonn´ees dexet o`uχ:R→Rest la fonction p´eriodique de p´eriode 1

telle que χ(t) = 1 si 0< t < θ, χ(t) = 0 siθ < t <1,0< θ <1. C(1 +|μ|), quelle est la limite def(uε) dansL2(Ω) faible? 4

2) Pourffix´ee comme ci-dessus, en d´eduire que si l"applicationu?→f(u) est s´equentiellement continue de

(L2(Ω))pfaible dansL2(Ω) faible alorsfest affine. De mˆeme, en d´eduire que sip= 1 et si l"application

u?→? f(u)dx est s´equentiellement s.c.i. deL2(Ω) faible dansRalorsfest convexe.

3) On d´esigne par·le produit scalaire deR2. Soient (vε) et (wε) deux suites deL2(Ω)2telles que

v ε?v(L2(Ω))2faible, wε?v(L2(Ω))2faible.

a) - On suppose de plus que (vε) et (wε) sont born´ees dans (L∞(Ω))2. Montrer que l"on n"a pas en g´en´eral

ε·wε?v·wau sensσ(L1,L∞).

b) - On suppose de plus que (vε) est born´ee dans (H1(Ω))2. Montrer que l"on a alorsvε·wε?v·wau sens

σ(L1,L∞).

c) - On suppose maintenant que de plus divvε=∂1vε,1+∂2vε,2?divvdansL2(Ω) faible w

ε=?zε,aveczε→zdansL2(Ω)

Montrer que (vε·wε) est born´ee dansL1(Ω) etvε·wε?v·wau sens deD?(Ω). (Ind. On pensera `a effectuer

une int´egration par parties).

4) Poura?H1(Ω) on d´efinit

detDa:=∂a1 ∂x1∂a

2∂x2-∂a2∂x1∂a

1∂x2=?-∂a1

∂x2∂a1 ∂x1? ∂a2 ∂x1∂a2 ∂x2?

Soit (yε) une suite de (H1(Ω))2telle queyε?ydansH1(Ω)2. D´eduire de la question 3) que

detDyε?detDyD?(Ω). C(1 +|t|) on a pour toute suite (yε) de (W1,4(Ω))2telle queyε?ydans (W1,4(Ω))2) faible h(detDyε)dx.

6) - (Questions subsidiaires

?) En quoi le r´esultat 3c) est-il surprenant en comparaison avec le premier r´esultat

´enonc´e dans la question 2)? Pourhconvexe etλmatrice 2×2, la fonctionλ?→detλest-elle affine? la

fonctionλ?→f(λ) :=h(detλ) est-elle convexe? Comparer les r´esultats de la question 2) avec ceux des

questions 4) et 5). Correction du probl`eme 4.1) Pour tout rectangleR= (a1,b1)×(a2,b2)?Ω on a

χ(x1/ε)1Rdx= (b2-a2)?

b1 a

1χ(x1/ε)dx1→θ?

1 Rdx.

On en d´eduit par densit´e des fonctions en escalier dansL2(Ω) que limuε=θλ+ (1-θ)μ. De mˆeme,

f(uε)?θf(λ) + (1-θ)f(μ) puisquef(uε)(x) =χ(x1/ε)f(λ) + (1-χ(x1/ε))f(μ).

2) Siu?→f(u) est continue dansL2faible, on a en particulier

f(θλ+ (1-θ)μ) = limε→0f(uε) =θf(λ) + (1-θ)f(μ) 5 pour toutθ?(0,1),λ,μ?R2, de sorte quefest une fonction affine.

3a) Soientvε(x) =χ(x1/ε)?10?

etwε(x) = (1-χ(x1/ε))?10? . Alorsvε·wε≡0,v:= limvε=?θ0? w:= limwε=?1-θ 0? , de sorte quev·w=θ(1-θ)?= 0.

3b) Comme (vε) est born´ee dansH10(Ω), on avε→v L2fort, et doncvε·wε?v·wau sensσ(L1,L∞) (et

mˆeme un peu mieux pas injection de Sobolev).

3c) On avε·wεborn´eeL1par in´egalit´e de Cauchy-Schwarz. De plus, pour tout?? D(Ω) on a

ε·wε?=?

ε· ?zε?=-?

?(vε?)zε=-? [(divvε)?zε+zεvε· ??] [(divv)?z+z v· ??] =? v·w?. Deyε?y H1on tireyε→y L2. D"autre part, detDyε=vε·wεavecvε=? -∂yε1 ∂x2∂yε 1 ∂x1? de sorte que divvε= 0, etwε=?yε2. En utilisant la question 3c) on en d´eduit detDyε?detDyau sens deD?(Ω).

5) Comme maintenant (detDyε) est born´ee dansL2, on en d´eduit que detDyε?detDydansL2faible, et

on conclut en remarquant queu?→? Ωh(u) est convexe, continue deL2fort dansR(Probl`eme 3, question

2), donc s.c.i. deL2faible dansR.

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