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Universit´e Paul Sabatier

Equations d"´evolution

Jean-Pierre RAYMOND

R´esum´e de la premi`ere partie du cours du module A0 du DEA de

Math´ematiques Appliqu´ees.

Table des mati`eres

1 Op´erateurs m-dissipatifs 5

1.1 D´efinitions et notions pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Op´erateurs m-dissipatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Op´erateurs m-dissipatifs dans un espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Exemples d"op´erateurs m-dissipatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1 L"op´erateur de la chaleur dansL2(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.2 L"op´erateur de la chaleur dansH-1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.3 L"op´erateur de la chaleur dansLp(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.4 L"op´erateur des ondes dansH10(Ω)×L2(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.5 L"op´erateur des ondes dansL2(Ω)×H-1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.6 Un op´erateur de convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.7 L"op´erateur de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Th´eor`eme de Hille-Yosida 15

2.1´Equations diff´erentielles dans un espace de Banach . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 L"´equation de la chaleur en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Semi-groupe fortement continu sur un espace de

Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Semi-groupes de contractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Semi-groupes sur un espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

´Equations d"´evolution non-homog`enes 31

3.1 Solutions faibles dansLp(0,T;X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Semi-groupe adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Solutions faibles dansLp(0,T;(D(A?))?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Sujets d"examens 37

4TABLE DES MATI`ERES

Chapitre 1

Op´erateurs m-dissipatifs

1.1 D´efinitions et notions pr´eliminaires

D´efinition 1.1.1Un op´erateur lin´eaire non born´e dansXest un couple(A,D(A))o`uD(A) un sous-espace vectoriel deXetAest une application lin´eaire deD(A)dansX. Le sous-espace

D(A)est le domaine deA.

De mani`ere analogue, un op´erateur lin´eaire non born´e deXdansYest un couple(A,D(A)) o`uD(A)un sous-espace vectoriel deXetAest une application lin´eaire deD(A)deXdans Y.

D´efinition 1.1.2Un op´erateur(A,D(A)), lin´eaire non born´e dansX, est ferm´e si son graphe

G(A) ={(x,Ax)|x?D(A)}est ferm´e dansX×X.

D´efinition 1.1.3Soit(A,D(A))un op´erateur lin´eaire non born´e dansX. LorsqueD(A)est dense dansX, on dit que(A,D(A))est de domaine dense dansX. D´efinition 1.1.4Soit(A,D(A))un op´erateur lin´eaire non born´e dansX, de domaine dense dansX. On appelle adjoint deAl"op´erateur(A?,D(A?))d´efini par et ?x,A?y?X,X?=?Ax,y?X,X?pour toutx?D(A) et touty?D(A?). Th´eor`eme 1.1.1Soit(A,D(A))un op´erateur lin´eaire non born´e de domaine dense dansX. SiXest un espace r´eflexif etAest ferm´e alorsD(A?)est dense dansX?. Preuve.SiD(A?) n"est pas dense dansX?, alors il existex0?X, non nul, tel que?x0,y?= 0 pour touty?D(A?).´Etant donn´e quex0?= 0, (0,x0) n"appartient pas `aG(A). Le graphe de

A´etant ferm´e dansX×X, d"apr`es le Th´eor`eme de Hahn-Banach, il existe (y1,y2)?X?×X?

tel que?x,y1?X,X?- ?Ax,y2?X,X?= 0 pour toutx?D(A) et?0,y1?X,X?- ?x0,y2?X,X??= 0.

De la deuxi`eme ´equation, on d´eduit?x0,y2?X,X??= 0 ety2?= 0. De la premi`ere, on d´eduit que

2?D(A?). Donc?x0,y2?= 0 et on obtient une contradiction. La preuve est compl`ete.

6CHAPITRE 1. OP´ERATEURS M-DISSIPATIFS

1.2 Op´erateurs m-dissipatifs

D´efinition 1.2.1Un op´erateur(A,D(A)), lin´eaire non born´e dansX, est dissipatif si ?x?D(A),?λ >0,?λx-Ax? ≥λ?x?. D´efinition 1.2.2Un op´erateur(A,D(A)), lin´eaire non born´e dansX, est m-dissipatif si •Aest dissipatif, • ?f?X,?λ >0,?x?D(A) tel queλx-Ax=f. Th´eor`eme 1.2.1SiAest m-dissipatif alors, pour toutλ >0, l"op´erateur(λI-A)admet un inverse,(λI-A)-1fappartient `aD(A)pour toutf?X, et(λI-A)-1est un op´erateur lin´eaire born´e surXv´erifiant

Preuve.Soitλ >0. Pour toutf?X, l"´equation

λx-Ax=f,(1.1)

admet au moins une solutionxfdansD(A) d"apr`es la d´efinition 1.2.2. Cette solution v´erifie

d"apr`es la d´efinition 1.2.1. Nous en d´eduisons d"une part que l"´equation (1.1) admet une solu-

tion uniquexfdansD(A) et d"autre part que ?f?.

Le th´eor`eme en d´ecoule.

Th´eor`eme 1.2.2Soit(A,D(A))un op´erateur lin´eaire non born´e dissipatif dansX. L"op´erateurAest m-dissipatif si et seulement si ?λ0>0 tel que?f?X,?x?D(A) v´erifiantλ0x-Ax=f.(1.2)

Preuve.Il est´evident que si l"op´erateurAest m-dissipatif alors la condition (1.2) est satisfaite.

Montrons la r´eciproque. De la condition (1.2) et du fait queAest dissipatif, il d´ecoule que, pour toutf?X, l"´equationλ0x-Ax=fadmet une solution unique dansD(A). Comme dans la preuve du Th´eor`eme 1.2.1 nous pouvons montrer que (λ0I-A)-1est un op´erateur lin´eaire born´e surXv´erifiant 0.

Soitλ >0. L"´equation

λx-Ax=f

est ´equivalente `a

0x-Ax=f+ (λ0-λ)x,

1.2. OP

´ERATEURS M-DISSIPATIFS7

soit encore x= (λ0I-A)-1? f+ (λ0-λ)x?

L"application

F:x?-→(λ0I-A)-1?

f+ (λ0-λ)x? est une application deXdansXet elle v´erifie

0?x1-x2?.

Siλ?(0,2λ0),Fest une contraction dansX. On a donc montr´e que ?f?X,?λ?(0,2λ0),?x?D(A) tel queλx-Ax=f.

En it´erant ce proc´ed´e, nous pouvons r´esoudre l"´equationλx-Ax=fpour toutλ?(0,2nλ0)

et pour toutn≥1, i.e. pour toutλ >0. Th´eor`eme 1.2.3Soit(A,D(A))un op´erateur non born´e dansX. S"il existeλ0>0pour lequel l"op´erateurλ0I-Aest une bijection deD(A)surX, et si(λ0I-A)-1est un op´erateur born´e surX, alorsAest ferm´e. En particulier, siAest m-dissipatif alorsAest ferm´e. Preuve.Soit (xn)nune suite deD(A) convergeant versxdansX, et supposons que (Axn)n converge versydansX. L"op´erateur (λ0I-A)-1´etant born´e, nous obtenons x n= (λ0I-A)-1(λ0xn-Axn)→(λ0I-A)-1(λ0x-y) quandn→ ∞.

Par cons´equent, nous avons

x= (λ0I-A)-1(λ0x-y)?D(A) et (λ0I-A)x=λ0x-y, soit encoreAx=y. La preuve est compl`ete. Remarquons que si (A,D(A)) est un op´erateur non born´e surX, l"application x?-→ ?x?+?Ax? est une norme surD(A). Nous la noterons? · ?D(A). Corollaire 1.2.1SoitAun op´erateur m-dissipatif. L"espace(D(A),? · ?D(A))est un espace de Banach etA|D(A)? L(D(A);X).

Preuve.Avec le Th´eor`eme 1.2.3, on peut facilement v´erifier que (D(A),?·?D(A)) est un espace

de Banach. Par d´efinition de? · ?D(A), il est ´evident queA|D(A)? L(D(A);X).

Du Th´eor`eme 1.2.1, il d´ecoule que l"op´erateur (λI-A)|D(A)est un isomorphisme deD(A) sur

X. Par abus nous dirons parfois que l"op´erateur (λI-A) est un isomorphisme deD(A) sur X.

8CHAPITRE 1. OP´ERATEURS M-DISSIPATIFS

D´efinition 1.2.3SoitAun op´erateur m-dissipatif dansX. La famille d"op´erateursR(λ;A), λ >0, d´efinie parR(λ;A) = (λI-A)-1est appel´ee r´esolvante deA. L"op´erateurAλ=λAR(λ;A)est appel´e "approximation de Yosida" deA.

Remarque.Nous avons

A λ=λAR(λ;A) =λ(A-λI)R(λ;A) +λ2R(λ;A) =λ2R(λ;A)-λI. L"op´erateurAλest donc un op´erateur born´e dansX. De plus nous avons A

λx=λR(λ;A)Axpour toutx?D(A).(1.3)

En effet, pour toutx?D(A), nous avons

d"apr`es l"identit´e ci-dessus. Th´eor`eme 1.2.4SoitAun op´erateur m-dissipatif de domaine dense dansX. Alors lim λ→∞?λR(λ;A)x-x?= 0,pour toutx?X.

De plus

lim

λ→∞?Aλx-Ax?= 0,pour toutx?D(A).

Remarque.Remarquons que le premier r´esultat du th´eor`eme signifie queλR(λ;A) est une

approximation de l"identit´e. Le second signifie que (Aλ)λ≥0est une suite d"op´erateurs born´es

approchantA.

Preuve.Soitx?D(A), on a :

λR(λ;A)x-x= (λI-A)(λI-A)-1x-x+A(λI-A)-1x= (λI-A)-1Ax.

Nous en d´eduisons

?Ax? →0 quandλ→ ∞.(1.4) Le premier r´esultat est donc d´emontr´e pour toutx?D(A).

1, nous avons

La fin est standard.

Pour toutx?D(A), nous avons

lim λ→∞?Aλx-Ax?= limλ→∞?λR(λ;A)Ax-Ax?= 0.

1.3. OP

´ERATEURS M-DISSIPATIFS DANS UN ESPACE DE HILBERT9 Th´eor`eme 1.2.5Soit(A,D(A))un op´erateur dissipatif et de domaine dense dansX. SiA est ferm´e etA?est dissipatif alorsAest m-dissipatif. Preuve.Montrons tout d"abord que (I-A)(D(A)) est ferm´e dansX. Soit (fn)nune suite dans (I-A)(D(A)) convergeant versfdansX. Commefn?(I-A)(D(A)), il existexn?D(A) tel quexn-Axn=fn. L"op´erateurA´etant dissipatif, on a La suite (xn)nconverge donc vers un ´el´ementx?X. Nous en d´eduisons queAxn=xn-fn converge versx-f. L"op´erateurA´etant ferm´e, nous avonsAx=x-f. Doncf?(I-A)(D(A)) et (I-A)(D(A)) est ferm´e dansX.

De [2, Th´eor`eme II.18] nous d´eduisons

[(I-A)(D(A))]?= ker(I-A?) ={0}. et nous avons ker(I-A?) ={0}, carA?est dissipatif. Donc (I-A)(D(A)) =XetAest m-dissipatif d"apr`es le Th´eor`eme 1.2.2.

1.3 Op´erateurs m-dissipatifs dans un espace de Hilbert

Dans cette section nous supposons queXest un espace de Hilbert. Th´eor`eme 1.3.1Un op´erateur(A,D(A)), lin´eaire non born´e dansX, est dissipatif si et seulement si Dans le cas d"un espace de Hilbert complexe, la condition pr´ec´edente est remplac´ee par Preuve.Supposons queAest dissipatif. Pour toutx?D(A), non nul, et toutλ >0, posons y x,λ=λx-Axetzx,λ=yx,λ/?yx,λ?. L"op´erateurA´etant dissipatif, on a

Par cons´equent, nous avons

?Ax?. La suite (zx,λ)λ´etant born´ee dansX, il existezx?Xet une suite (λn)nconvergeant vers l"infini tels que lim n→∞zx,λn=zx. Avec les in´egalit´es pr´ec´edentes, par passage `a la limite, nous obtenons

10CHAPITRE 1. OP´ERATEURS M-DISSIPATIFS

Comme nous obtenons (x,zx) =?x?etz=x.

Nous avons donc

?λx-Ax??x? ≥ |(λx-Ax,x)| ≥Re(λx-Ax,x)≥λ?x?2.

La condition de dissipativit´e en d´ecoule.

Th´eor`eme 1.3.2SiAest m-dissipatif alorsD(A)est dense dansX. Preuve.Soity0?Xtel que (y0,x) = 0 pour toutx?D(A). On a (I-A)-1y0?D(A), (y0,(I-A)-1y0) = 0 et ((I-A)(I-A)-1y0,(I-A)-1y0) = 0.

L"op´erateurA´etant m-dissipatif, il vient

Donc (I-A)-1y0= 0,y0= 0, etD(A) est dense dansX.

Remarque.Nous avons ´enonc´e les Th´eor`emes 1.3.1 et 1.3.2 dans un cadre Hilbertien par souci

de simplicit´e. Mais ces th´eor`emes admettent une g´en´eralisation dans le cadre des espaces de

Banach. La g´en´eralisation du Th´eor`eme 1.3.1 dans le cadre des espaces de Banach est ´enonc´ee

dans [7, Th´eor`eme 4.2 et d´efinition 4.1, Chapitre 1]. Le Th´eor`eme 1.3.2 reste vrai dans le cas

d"un espace de Banach r´eflexif [7, Th´eor`eme 4.6, Chapitre 1]. Th´eor`eme 1.3.3SoitAun op´erateur dissipatif et de domaine dense dansX. AlorsAest m-dissipatif si et seulement siAest ferm´e etA?est dissipatif. Preuve.Supposons queAest m-dissipatif. Nous savons queAest ferm´e (Th´eor`eme 1.2.3), nous devons montrer queA?est dissipatif. De mani`ere `a simplifier la preuve nous identifions XetX?. Dans ce cas,D(A?) est un sous-espace vectoriel deX?.

Pour touty?D(A?), nous avons

et (A?y,λR(λ;A)y)→(A?y,y) quandλ→0.

On en d´eduit que

donc queA?est dissipatif.

1.4. EXEMPLES D"OP

´ERATEURS M-DISSIPATIFS11

La r´eciproque d´ecoule du Th´eor`eme 1.2.5. Soit (A,D(A)) un op´erateur lin´eaire non born´e de domaine dense dansX. IdentifionsXet X ?, alorsAetA?op`erent sur le mˆeme espace. Dans ce cas le domaine deA?est D´efinition 1.3.1Un op´erateur lin´eaire non born´e(A,D(A)), de domaine dense dansXest dit auto-adjoint siA=A?. Il est dit anti-adjoint siA=-A?.

1.4 Exemples d"op´erateurs m-dissipatifs

Dans cette section, Ω d´esigne un ouvert born´e, r´egulier deRn, de fronti`ere Γ.

1.4.1 L"op´erateur de la chaleur dansL2(Ω)

On poseX=L2(Ω),D(A) =H2(Ω)∩H10(Ω) etAu= Δupour toutu?D(A). D´emontrer que (A,D(A)) est m-dissipatif dansL2(Ω).

1.4.2 L"op´erateur de la chaleur dansH-1(Ω)

On munitH-1(Ω) = (H10(Ω))?de la norme

f?-→? ?(ΔD)-1f,f?? 1/2, o`uu= (ΔD)-1fest la solution du probl`eme u?H10(Ω),Δu=fdans Ω. On poseX=H-1(Ω),D(A) =H10(Ω), etAu= Δupour toutu?D(A). D´emontrer que (A,D(A)) est m-dissipatif dansH-1(Ω).

1.4.3 L"op´erateur de la chaleur dansLp(Ω)

On poseX=Lp(Ω), avec 1< p <∞,D(A) =W2,p(Ω)∩W1,p

0(Ω) etAu= Δupour tout

u?D(A). D´emontrer que (A,D(A)) est m-dissipatif dansLp(Ω).

1.4.4 L"op´erateur des ondes dansH10(Ω)×L2(Ω)

Pour ´etudier l"´equation

2z∂t

2-Δz=fdansQ= Ω×(0,T),

z= 0 sur Σ = Γ×(0,T), z(x,0) =z0et∂z∂t (x,0) =z1dans Ω,(1.5) avec (z0,z1)?H10(Ω)×L2(Ω) etf?L2(Q), nous transformons l"´equation en une ´equation d"´evolution du premier ordre. Posonsy= (z,dzdt ), l"´equation (1.5) peut ˆetre ´ecrite sous la forme dydt =Ay+F, y(0) =y0,

12CHAPITRE 1. OP´ERATEURS M-DISSIPATIFS

avec

Ay=A?y1

y 2? =?y2

Δy1?

, F=?0 f? ,ety0=?z0 z 1? PosonsY=H10(Ω)×L2(Ω). Le domaine deAdansYestD(A) = (H2(Ω)∩H10(Ω))×H10(Ω). D´emontrer que (A,D(A)) est m-dissipatif dansY.

1.4.5 L"op´erateur des ondes dansL2(Ω)×H-1(Ω)

Pour ´etudier l"´equation (1.5) quand (z0,z1)?L2(Ω)×H-1(Ω) etf?L2(0,T;H-1(Ω)), nous posons ?Y=L2(Ω)×H-1(Ω),

Ay=?A?y1

y 2? =?y2

Δy1?

etD(?A) =H10(Ω)×L2(Ω). Montrer que que (?A,D(?A)) est m-dissipatif dans?Y.

1.4.6 Un op´erateur de convection

par

D(Ai) ={u?Xi|a· ?u?Xi},

Au=-a· ?u= Σni=1aj∂u∂x

ipour toutu?D(Ai), o`ua?Rn. D´emontrer que (Ai,D(Ai)) est m-dissipatif dansXipouri= 1,2. Indication : Pourλ >0 etf?Xi, on pourra rechercher la solution de l"´equation

λu+a· ?u=f

sous la forme u(x) =? 0 e-λsf(x-as)ds.

1.4.7 L"op´erateur de Stokes

On pose

X(Ω) ={u?(L2(Ω))n|divu= 0 dans Ω etu·n= 0 sur Γ}.

Nous admettrons que

(L2(Ω))n=X(Ω)?G(Ω), o`u G(Ω) ={u?(L2(Ω))n| ?v?H1(Ω) tel que?v=u}. On notePl"op´erateur dans (L2(Ω))nde projection orthogonale surX(Ω), et on pose D(A) = (H2(Ω))n∩(H10(Ω))n∩X(Ω) etA=PΔ.

1.4. EXEMPLES D"OP

´ERATEURS M-DISSIPATIFS13

A l"aide du Th´eor`eme de Lax-Milgram, d´emontrer que, pour toutf?(L2(Ω))nl"´equation u?(H10(Ω))n∩X(Ω), p?L2(Ω), -Δu+?p=fdans Ω, admet une solution unique. Montrer que cette ´equation est ´equivalente `a l"´equation u?(H10(Ω))n∩X(Ω),-Au=Pf. D´emontrer que (A,D(A)) est m-dissipatif dansX(Ω).

14CHAPITRE 1. OP´ERATEURS M-DISSIPATIFS

Chapitre 2

Th´eor`eme de Hille-Yosida

2.1 ´Equations diff´erentielles dans un espace de Banach SoitA? L(X). Pour toutt?Rla s´erie Σ∞n=0tnn!Anconverge dansL(X). L"op´erateur limite est not´eetA. On peut facilement v´erifier les propri´et´es suivantes : (i)e0A= 0, (ii)es+tA=esAetA, pour touts?Ret toutt?R, (iii) lim t→0?etA-I?= 0, (iv)Ax= limt→01t e tAx-x? pour toutx?X, (v) l"´equation diff´erentielle x ?=Ax+f, x(0) =x0,(2.1) avecf?L1(0,T;X) etx0?X, admet pour solution x(t) =etAx0+? t 0 e(t-s)Af(s)ds, pour toutt?[0,T].

2.2 L"´equation de la chaleur en dimension 1

Consid´erons l"´equation

y t-yxx= 0 dans (0,L)×(0,T), y(0,t) =y(L,t) = 0 dans (0,T), y(x,0) =y0(x) dans (0,L),(2.2) o`uT >0,L >0, ety0?L2(0,L). Nous pouvons re´ecrire l"´equation sous la forme y?L2(0,T;H10(0,L))∩C([0,T];L2(0,L)) etdydt ?L2(0,T;H-1(0,L)), dydt =AydansL2(0,T;H-1(0,L)), y(0) =y0dansL2(0,L),(2.3) 15

16CHAPITRE 2. TH´EOR`EME DE HILLE-YOSIDA

o`uA? L(H10(0,L);H-1(0,L)) est d´efini par ?Ay,z?=-? ?y· ?z dx. On peut aussi d´efinirAcomme op´erateur non born´e dansL2(0,L), en posant

D(A) =H2(0,L)∩H10(0,L), Ay=yxx.

L"´equation (2.3) est bien de la forme (2.1). Nous souhaiterions donc ´ecrire la solution de l"´equation (2.3) sous la forme y(t) =etAy0.

MaisA´etant un op´erateur non born´e dansL2(0,L), l"op´erateuretAne peut pas ˆetre d´efini

comme dans la section 1. Essayons de trouver une autre d´efinition pouretA. Pour cela remar- quons que la famille (φk)k≥1d´efinie par k=?2 L sin?kπxL est une base hilbertienne deL2(0,L), form´ee de fonctions propres de l"op´erateur (A,D(A)). Recherchons la solution de l"´equation (2.2) sous la forme y(x,t) = Σ∞k=1gk(t)φk(x).

Si l"´equation (2.2) est v´erifi´ee au sens des distributions dans (0,L)×(0,T), alorsgkv´erifie

g ?k+k2π2L

2gk= 0 dans (0,T),

g k(0) =y0k= (y0,φk).

On a doncgk(t) =y0ke-k2π2tL

2. On pose

y(x,t) = Σ∞k=1y0ke-k2π2tL

2φk(x).(2.4)

On peut facilement v´erifier quey?L2(0,T;H10(0,L))∩C([0,T];L2(0,L)) et queyest solutionquotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

[PDF] [PDF] Université Paul Sabatier Équations dévolution - Institut de

Universit´e Paul Sabatier

Equations d"´evolution

Jean-Pierre RAYMOND

Math´ematiques Appliqu´ees.

Table des mati`eres

1 Op´erateurs m-dissipatifs 5

1.1 D´efinitions et notions pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Op´erateurs m-dissipatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Op´erateurs m-dissipatifs dans un espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Exemples d"op´erateurs m-dissipatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1 L"op´erateur de la chaleur dansL2(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.2 L"op´erateur de la chaleur dansH-1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.3 L"op´erateur de la chaleur dansLp(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.4 L"op´erateur des ondes dansH10(Ω)×L2(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.5 L"op´erateur des ondes dansL2(Ω)×H-1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.6 Un op´erateur de convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.7 L"op´erateur de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Th´eor`eme de Hille-Yosida 15

2.1´Equations diff´erentielles dans un espace de Banach . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 L"´equation de la chaleur en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Semi-groupe fortement continu sur un espace de

2.4 Semi-groupes de contractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Semi-groupes sur un espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

´Equations d"´evolution non-homog`enes 31

3.1 Solutions faibles dansLp(0,T;X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Semi-groupe adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Solutions faibles dansLp(0,T;(D(A?))?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Sujets d"examens 37

4TABLE DES MATI`ERES

Chapitre 1

Op´erateurs m-dissipatifs

1.1 D´efinitions et notions pr´eliminaires

D(A)est le domaine deA.

G(A) ={(x,Ax)|x?D(A)}est ferm´e dansX×X.

2?D(A?). Donc?x0,y2?= 0 et on obtient une contradiction. La preuve est compl`ete.

6CHAPITRE 1. OP´ERATEURS M-DISSIPATIFS

1.2 Op´erateurs m-dissipatifs

Preuve.Soitλ >0. Pour toutf?X, l"´equation

λx-Ax=f,(1.1)

Le th´eor`eme en d´ecoule.

Soitλ >0. L"´equation

λx-Ax=f

0x-Ax=f+ (λ0-λ)x,

1.2. OP

´ERATEURS M-DISSIPATIFS7

L"application

F:x?-→(λ0I-A)-1?

0?x1-x2?.

Par cons´equent, nous avons

8CHAPITRE 1. OP´ERATEURS M-DISSIPATIFS

Remarque.Nous avons

λx=λR(λ;A)Axpour toutx?D(A).(1.3)

En effet, pour toutx?D(A), nous avons

De plus

λ→∞?Aλx-Ax?= 0,pour toutx?D(A).

Preuve.Soitx?D(A), on a :

Nous en d´eduisons

1, nous avons

La fin est standard.

Pour toutx?D(A), nous avons

1.3. OP

De [2, Th´eor`eme II.18] nous d´eduisons

1.3 Op´erateurs m-dissipatifs dans un espace de Hilbert

Par cons´equent, nous avons

10CHAPITRE 1. OP´ERATEURS M-DISSIPATIFS

Nous avons donc

La condition de dissipativit´e en d´ecoule.

L"op´erateurA´etant m-dissipatif, il vient

Donc (I-A)-1y0= 0,y0= 0, etD(A) est dense dansX.

Pour touty?D(A?), nous avons

On en d´eduit que

1.4. EXEMPLES D"OP

´ERATEURS M-DISSIPATIFS11

1.4 Exemples d"op´erateurs m-dissipatifs

1.4.1 L"op´erateur de la chaleur dansL2(Ω)

1.4.2 L"op´erateur de la chaleur dansH-1(Ω)

On munitH-1(Ω) = (H10(Ω))?de la norme

1.4.3 L"op´erateur de la chaleur dansLp(Ω)