[PDF] PROBL`EMES D´EVOLUTION - Département de Mathématiques d PDF PbEvol_2015

GÉNÉRATEUR INFINITÉSIMAL 19 Exercice 2 7 — Montrer que le générateur infinitésimal du semi-groupe des translations sur Lp(R) (exemple 1 2) est donné

[PDF] Ecole Normale Supérieure 2006-2007 Cours dAnalyse - Ceremade

Correction de l'exercice 1 La définition directe de la TF On dit que S = (St)t≥0 est un semi-groupe d'opérateurs linéaires continus de E si i) St : E → E est un

[PDF] Exercices - Feuille 4

5- Relation entre un semi-groupe continu et son générateur infinitésimal Soit E un espace de Banach et t ↦→ T(t) ∈ L(E) un semi-groupe sur E On note A le

[PDF] FIMFA 2`eme année Premier semestre, 2011-2012 Cours de

1) Condition nécessaire: soit T un semi-groupe fortement continu de contractions On sait (question e de l'exercice 1) que son générateur A est fermé,

[PDF] 5 Groupe et semi-groupe dopérateurs

Soit S(t), t ≥ 0, un semigroupe tel que S(t) L(H) ≤ 1 pour tout t ≥ 0 Montrer que l'opérateur infinitésimal de S est dissipatif Exercice 5 6 Soit X = Lp(R), p ∈ [

[PDF] Semi-groupes dopérateurs linéaires

2011/2012 Semi-groupes d'opérateurs linéaires Exercice 1 : Exemples de générateurs infinitésimaux 1) Soit a > 0 En appliquant le théor`eme de Hille- Yosida

[PDF] Exercices 7

Exercices 7 M1 EDP On note A la fermeture de A (voir Exercice 1) Soit A le générateur d'un semi-groupe de contraction S(t) sur un espace de Banach

[PDF] MASTER 2 - Institut de Mathématiques de Marseille - Aix-Marseille

L'objectif de cet exercice est de montrer l'unicité de la solution de (3 51) et de Corrigé – La démonstration d'unicité faite pour le théorème 3 15 n'a pas utilisée Définition 4 6 (Semi-groupe) Soit E un espace de Banach, A : D(A) ⊂ E → E un

[PDF] Université Paul Sabatier Équations dévolution - Institut de

2 3 Semi-groupe fortement continu sur un espace de 2 6 Exercices infinitésimal du semi-groupe (S(t))t≥0, l'opérateur non borné (A, D(A)) défini par

N. Burq

P. GerardPROBL

EMES D'EVOLUTION

N. Burq

Universite Paris Sud, Mathematiques, B^at 425, 91405 Orsay Cedex.

E-mail :Nicolas.burq@math.u-psud.fr

Url :http://www.math.u-psud.fr/~burq

P. Gerard

Universite Paris Sud, Mathematiques, B^at 425, 91405 Orsay Cedex.

E-mail :Patrick.gerard@math.u-psud.fr

PROBL

EMES D'EVOLUTION

N. Burq, P. Gerard

TABLE DES MATI

ERES

1. Rappels et complements

sur les operateurs lineaires...................................................... 7

1.1. Theoremes de prolongement

....................................................7

1.2. Principe de la borne uniforme

..................................................10

1.3. Le theoreme de l'application ouverte et ses variantes

............................11

2. Semi groupes d'operateurs lineaires............................................ 15

2.1. Generalites

......................................................................15

2.2. Generateur innitesimal

........................................................17

2.3. Construction de semi-groupes : le theoreme de Hille-Yosida

.....................24

2.4. Le cas des espaces de Hilbert

...................................................29

2.4.1. Exemple : l'evolution d'une particule quantique dansR3................... 31

2.4.2. Problemes inhomogenes

....................................................36

3. Problemes variationnels......................................................... 39

3.1. La resolution du probleme de Dirichlet

.........................................39

3.2. Decomposition spectrale des operateurs compacts autoadjoints

.................41

3.3.Equation de la chaleur..........................................................45

3.3.1. Introduction

................................................................45

3.3.2. Le semi{groupe de la chaleur

...............................................46

3.3.3. Lien avec le spectre du laplacien dans le cas d'un ouvert borne

.............47

3.3.4. Autres conditions aux limites

..............................................48

3.4.Equation de Schrodinger........................................................49

3.5.Equations d'ondes..............................................................50

3.5.1. Introduction

................................................................50

3.5.2. L'equation des ondes amorties

..............................................51

CHAPITRE 1

RAPPELS ET COMPL

EMENTS

SUR LES OPERATEURS LINEAIRES

Un espace v ectorielEsurK=RouC, muni d'une norme, est unespace de Banach s'il est complet. Si E;Fsont des espaces vectoriels normes, on designe parL(E;F) l'espace vectoriel des applications lineaires continues deEversF, que l'on munit de la norme denie par kTkE!F= sup u2Enf0gkTukFkukE: On verie que, siFest un espace de Banach, alorsL(E;F) est un espace de Banach. Le but de ce c hapitreest de passer en revue trois t ypesde r esultatsimp ortants concernant les operateurs lineaires, qui nous seront tres utiles dans la suite du cours.

1.1. Theoremes de prolongement

Theoreme 1.1. |SoientEun espace vectoriel norme,Dun sous-espace vectoriel dense deE,Fun espace de Banach. Toute application lineaire continue deDversFa un unique prolongement lineaire continu deEversF. Demonstration. |S oitT2 L(D;F). Siu2E, il existe une suite (un)n2Nd'elements deD convergeant versu. Puisque kTunTupkF=kT(unup)kF kTkD!FkunupkE; la suite (Tun)n2Nest de Cauchy dansF, donc converge puisqueFest complet. La limite limn!1Tunne depend pas de la suite (un)n2Nchoisie pour approcheru: en eet, si (~un)n2N est une autre suite d'elements deDapprochantu, la suite (vn)n2Ndenie par v

2p=up; v2p+1= ~up; p2N;

est une suite deDapprochantu, doncTvna une limite, ce qui assure lim p!1Tup= limp!1T~up:

8CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLEMENTS SUR LES OPERATEURS LINEAIRES

Posons

(1.1)Tu= limn!1Tun: Alors on verie aisement queT2 L(E;F) et prolongeT. Enn, un prolongement continu

deTaEest necessairement donne par la formule (1.1), ce qui assure l'unicite deT.Exemple 1.1. |Integrale de fonctions reglees a valeurs dans un espace de Banach. Soit

Fun espace de Banach, et soit[a;b]un intervalle compact deR. On verie aisement que l'espace vectorielB([a;b];F)des fonctions bornees sur[a;b]a valeurs dansF, muni de la norme (1.2)kfk1= sup x2[a;b]kf(x)kF est un espace de Banach. SoitDle sous-espace vectoriel deB([a;b];F)constitue des fonctions en escaliers; on dit qu'une fonction de[a;b]dansFestregleesi elle appartient a l'adherence EdeDdansB([a;b];F). On peut montrer qu'une fonctionf: [a;b]!Fest reglee si et seulement si elle admet des limites a gauche et a droite en tout point de[a;b]. Pour toute fonction en escaliersf: [a;b]!F, on denit aisement l'integrale Z b a f(x)dx2F; de sorte qu'on dispose d'une application lineaire T:D!F f7!Z b a f(x)dx caracterisee par la formule Z b a g(x)vdx=Zb a g(x)dx v pour toute fonctiong: [a;b]!Ken escaliers, et tout vecteurv2F. La double inegalite (1.3) Z b a f(x)dx FZ b a kf(x)kFdx(ba)kfk1 est, elle aussi, elementaire. On peut donc appliquer le theoreme 1.1 et en d eduireun unique prolongement deTaE, ce qui denit, pour toute fonction regleefde[a;b]versF, l'integraleRb af(x)dx2F; de plus, la double inegalite(1.3)se prolonge a de telles fonctions. Un cas particulier tres important de fonction reglee, que nous utiliserons a plusieurs reprises dans la suite, est bien s^ur celui des fonctions continues.

1.1. TH

EOREMES DE PROLONGEMENT9

Theoreme 1.2(prolongement de la convergence). |SoientE;Fdes espaces vecto- riels normes,Dun sous-espace vectoriel dense deEet(Tn)n2Nune suite d'elements de

L(E;F). On suppose qu'il existeC >0tel que

(1.4)8n2N;kTnkE!FC et que, pour tout elementudeD, la suiteTnua une limiteTuquandntend vers l'in- ni. Alors l'applicationT:D!Fainsi denie est lineaire continue, et, siTadmet un prolongementT2 L(E;F)(par exemple siFest complet) alors, pour toutu2E, (1.5)Tnu!n!1Tu Demonstration. |La lin earitede Test immediate, et sa continuite provient de l'inegalite kTukF= limn!1kTnukFCkukE; qui se deduit de ( 1.4 ). Supposons qu'il existe un prolongement lineaire continuTdeTaE. Soitu2E. Pour tout" >0, il existev2Dtel quekuvkE". Alors, pour toutn, kTnuTukF kTnuTnvkF+kTnvTvkF+kTvTukF

CkuvkF+kTnvTvkF+kTkkvukF

de sorte que limsup n!1kTnuTukF(C+kTk)"

pour tout" >0, ce qui acheve la demonstration.Exemple 1.2. |Soitp2[1;+1[, et soitE=Lp(R)l'espace des (classes de) fonctions

mesurables deRdansC, de puissancepieme sommable. Muni de la norme (1.6)kfkp=Z R jf(x)jpdx 1=p Eadmet pour sous-espace dense l'espaceDdes fonctions continues a support compact. Pour tout reelh, soith:E!El'operateur de translation deni par (1.7)hf(x) =f(xh) Alorshest une isometrie deEet, pour toute fonctionfcontinue a support compact (1.8)khffkp!h!00:

En appliquant le theoreme

1.2 ala su ite(Tn)n2Ndenie parTn=hn, ou(hn)n2Nest une suite quelconque de reels tendant vers0, on en deduit que(1.8)reste vraie pour tout f2Lp(R).

10CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLEMENTS SUR LES OPERATEURS LINEAIRES

1.2. Principe de la borne uniforme

Theoreme 1.3(Banach-Steinhaus). |SoientEun espace de Banach,Fun espace vectoriel norme, et(Tj)j2June famille d'operateurs lineaires deEversFveriant (1.9)8u2E;sup j2JkTjukF<+1: Alors(1.9)a lieu uniformement sur la boule unite deE, i.e. (1.10) sup j2JkTjkE!F<+1:

Demonstration. |P ourtout n2N, posons

A n=n u2E;sup j2JkTjukFno L'ensembleAnest ferme dansE(c'est une intersection de fermes) et l'hypothese (1.9) assure que 1[ n=1A n=E: PuisqueEest complet, il possede la propriete de Baire : une reunion denombrable de fermes d'interieur vide est d'interieur vide. En consequence, l'un desAnest d'interieur non vide. CommeAn=nA1,A1est d'interieur non vide. PuisqueA1est egal aA1et est convexe, A

1a les m^emes proprietes; siu02A

1, on a donc

0 = 12 (u0u0)212 (A 1A 1)A 1: Soit alorsr >0 tel que la boule fermee de centre 0 et de rayonrsoit contenue dansA1. Pour tout elementude la boule unite deE, on a doncru2A1, et

8j2J; rkTjukF1

soit

8j2J;kTjkE!F1r

:Corollaire 1.3. |SoientEun espace de Banach,Fun espace vectoriel norme, et(Tn)n2N une suite deL(E;F)telle que, pour toutu2E,Tnuait une limite. Alors sup n2NkTnkE!F<+1: En particulier, une limite simple d'applications lineaires continues deEversFest continue.

1.3. LE TH

EOREME DE L'APPLICATION OUVERTE ET SES VARIANTES11

1.3. Le theoreme de l'application ouverte et ses variantes

Theoreme 1.4(Banach). |SoientE;Fdes espaces de Banach etT2 L(E;F). On suppose queTest surjective. AlorsTest ouverte, i.e. l'image parTde tout ouvert deEest un ouvert deF. Demonstration. |Noton sBE,BFles boules unite fermees deE;Frespectivement. Puisque Test lineaire, il sut de montrer qu'il exister >0 tel que (1.11)rBFT(BE):

Pour tout entier natureln, notons

A n=T(nBE):

AlorsAnest un ferme deFet

1[ n=1A n=F puisqueTest surjective. PuisqueFest complet, la propriete de Baire assure que l'un desAn a un interieur non vide; puisqueTest lineaireAn=nA1, doncA

16=;. De plus,A

1=A 1 etA

1est convexe, donc

0212
(A 1A 1)A 1:

Il existe doncR >0 tel que

(1.12)RBFT(BE): La deuxieme etape de la demonstration consiste a passer de ( 1.12 ) a ( 1.11 ), quitte a choisir r < R. En utilisant une fois encore la linearite deT, on peut traduire la propriete (1.12) sous la forme suivante : (1.13)8v2F;8" >0;9u2E;kvTukF"etkukE1R kvkF:

Appliquons cette propriete av2R2

BF. Il existeu12Etel que

ku1kE12 etkvTu1kFR4

En appliquant la propriete (

1.13 ) av1=vTu1, il existeu22Etel que ku2kE14 etkvTu1Tu2kFR8 On construit ainsi par recurrence une suite (un)n1d'elements deEveriant kunkE2net vnX k=1Tu k FR2 n+1:

12CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLEMENTS SUR LES OPERATEURS LINEAIRES

Puisque la serie deskunkEest convergente, la suite des sommes partiellesnP k=1u k n1verie le critere de Cauchy. L'espaceEetant complet, elle est convergente. Posons u=1X k=1u k:

AlorskukE1P

k=1kukkE1 et, puisque l'applicationTest continue,

Tu= limn!1n

X k=1Tu k=v:

On a donc montre (

1.11 ) avecr=R2 .Corollaire 1.4(Theoreme de l'isomorphisme). |SoientE;Fdeux espaces de Ba- nach. Alors, toute bijection lineaire continue deEsurFa un inverse continu. En parti- culier, si deux normes rendent un m^eme espace vectoriel complet et sont comparables, elles sont equivalentes. En eet, siT2 L(E;F)est bijective etUEest ouvert,(T1)1(U) =T(U)est ouvert doncT1est continue. Sik k1etk k2sont deux normes sur un espace vectoriel Equi le rendent complet et s'il existeC >0tel quek k2Ck k1, l'application identique (E;k k1)!(E;k k2)est une bijection lineaire continue. La continuite de son inverse assure l'existence deD >0tel quek k1Dk k2, de sorte que ces deux normes sont equivalentes. Corollaire 1.5(Theoreme du graphe ferme). |SoientE;Fdes espaces de Banach etT:E!Fune application lineaire. AlorsTest continue si et seulement si le graphe de Test ferme dansEF, c'est-a-dire : pour toute suite(un)n2NdeEveriantun!n!1u dansEetTun!n!1vdansF, on av=Tu. Demonstration. |S oit = f(u;Tu);u2Eg EFle graphe deT. PuisqueTest lineaire, est un sous-espace vectoriel deEF. Il est clair que la continuite deTassure que est ferme dansEF. Il s'agit donc de montrer la reciproque. PuisqueE;Fsont des espaces de Banach,EFest un espace de Banach. Si est ferme, est donc egalement un espace de Banach. Soientp1;p2la premiere et la seconde projection deEFsurE;Frespectivement. L'applicationp1est continue et sa restriction a est une bijection lineaire continue de sur E. Sa reciproqueqest donc continue en vertu du corollaire1.4 ;en cons equence,p2q=T est continue.Exemple 1.6. |Soit un ouvert deRdet soientE;Fdes sous-espaces vectoriels de l'espaceD0( )des distributions sur . On suppose queE;Fsont munis respectivement de normesk kE,k kFqui les rendent complets, et telles que toute suite deE(resp. deF) qui converge vers0pourk kE(resp.k kF) converge vers0au sens des distributions. On suppose queEF. Alors il existeC >0tel quek kFCk kE.

1.3. LE TH

EOREME DE L'APPLICATION OUVERTE ET SES VARIANTES13 En eet, appliquons le theoreme du graphe ferme a l'injection canoniquej: (E;k kE)! (F;k kF). Si (un) est une suite deEconvergeant versupourk kEet telle queunconverge versv2Fpourk kF, alorsunuetunvtendent vers 0 au sens des distributions, doncquotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

[PDF] [PDF] PROBL`EMES D´EVOLUTION - Département de Mathématiques d

N. Burq

P. GerardPROBL

EMES D'EVOLUTION

N. Burq

E-mail :Nicolas.burq@math.u-psud.fr

Url :http://www.math.u-psud.fr/~burq

P. Gerard

E-mail :Patrick.gerard@math.u-psud.fr

EMES D'EVOLUTION

N. Burq, P. Gerard

TABLE DES MATI

1. Rappels et complements

1.1. Theoremes de prolongement

1.2. Principe de la borne uniforme

1.3. Le theoreme de l'application ouverte et ses variantes

2. Semi groupes d'operateurs lineaires............................................ 15

2.1. Generalites

2.2. Generateur innitesimal

2.3. Construction de semi-groupes : le theoreme de Hille-Yosida

2.4. Le cas des espaces de Hilbert

2.4.1. Exemple : l'evolution d'une particule quantique dansR3................... 31

2.4.2. Problemes inhomogenes

3. Problemes variationnels......................................................... 39

3.1. La resolution du probleme de Dirichlet

3.2. Decomposition spectrale des operateurs compacts autoadjoints

3.3.Equation de la chaleur..........................................................45

3.3.1. Introduction

3.3.2. Le semi{groupe de la chaleur

3.3.3. Lien avec le spectre du laplacien dans le cas d'un ouvert borne

3.3.4. Autres conditions aux limites

3.4.Equation de Schrodinger........................................................49

3.5.Equations d'ondes..............................................................50

3.5.1. Introduction

3.5.2. L'equation des ondes amorties

CHAPITRE 1

RAPPELS ET COMPL

EMENTS

SUR LES OPERATEURS LINEAIRES

1.1. Theoremes de prolongement

2p=up; v2p+1= ~up; p2N;

8CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLEMENTS SUR LES OPERATEURS LINEAIRES

Posons

1.1. TH

EOREMES DE PROLONGEMENT9

L(E;F). On suppose qu'il existeC >0tel que

CkuvkF+kTnvTvkF+kTkkvukF

En appliquant le theoreme

10CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLEMENTS SUR LES OPERATEURS LINEAIRES

1.2. Principe de la borne uniforme

Demonstration. |P ourtout n2N, posons

1a les m^emes proprietes; siu02A

1, on a donc

8j2J; rkTjukF1

8j2J;kTjkE!F1r

1.3. LE TH

1.3. Le theoreme de l'application ouverte et ses variantes

Pour tout entier natureln, notons

AlorsAnest un ferme deFet

16=;. De plus,A

1est convexe, donc

Il existe doncR >0 tel que

Appliquons cette propriete av2R2

BF. Il existeu12Etel que

En appliquant la propriete (

12CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLEMENTS SUR LES OPERATEURS LINEAIRES

AlorskukE1P

Tu= limn!1n

On a donc montre (

1.3. LE TH