x2 - x3 + 2x4 = 0 (E2) et le sous-espace vectoriel F2 de R4 formé des solutions du syst`eme suivant : (∗∗)
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Exercice de base, à maîtriser parfaitement (* s'il s'agit d'un exercice classique), Exercice Montrer que C est un sous-espace vectoriel de 4(R') 2) a) Soit E l' ensemble b) Soit (Aw)sis un triplet de réels tel que : § Ak fix = 0 On a alors : k= 1
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De même, pour tout λ ∈ R, on a λX = (λx, λy, λz) est élément de E1 puisque λx + λy + 3λz = λ(x + y + 3z)=0 E1 est donc un sous-espace vectoriel de R3 b) E2 n' est
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Exercices Corriges
Sous-espaces vectoriels
Exercice 1{On considere le sous-espace vectorielF1deR4forme des solutions du systeme suivant : ()(x1+ 2x2+x3+x4= 0 (E1)
x2x3+ 2x4= 0 (E2):
et le sous-espace vectorielF2deR4forme des solutions du systeme suivant : ()(x1+ 2x2+x3+x4= 0 (E01)
x4= 0 (E02):
PreciserF1,F2etF1\F2et une base de ces trois sous-espaces vectoriels deR4. Exercice 2{SoitEunR-espace vectoriel de dimension 3 etB=fe1;e2;e3gune base de E. Notons :u1=e12e2+e3,u2= 2e1e2e3,u3=e1+e22e3et consideronsH=V ect(u1;u2;u3).
1) Donner a l'aide d'un algorithme du cours une base deH. Quel est le rang de la famille
(u1;u2;u3) ?2) Donner a l'aide d'un algorithme du cours des equations deHrelativement a la baseB.
3) Determiner l'ensemble des reelsa;b;ctels que :
au1+bu2+cu3= 0:
Exercice 3{1 ) On considere le sous-espace vectorielFdeR4forme des solutions du systeme suivant : ()(x1+x2+x3+x4= 0
x1+ 2x2x3+ 2x4= 0:
Donner une base deF. Quelle est sa dimension ?
2) Soitu1= (1;1;1;1);u2= (2;1;2;1);u3= (4;1;4;1) trois vecteurs deR4. SoitG=
Vect(u1;u2;u3). Donner une base deGconstituee de vecteurs deR4echelonnees relativement a la base canonique deR4.3) Donner un systeme d'equations deGrelativement a la base canonique deR4.
Exercice 4{SoirEunK-espace vectoriel de dimension 4 etB= (e1;e2;e3;e4) une base de E. Soitu1=e1+e2e3+e4etu2=e1+ 2e2+e3+e4. On noteF= Vect(u1;u2).1) Montrer que la famille (u1;u2) est libre. Pourquoi (u1;u2) est alors une base deF.
2) Donner un systeme d'equations deFrelativement a la baseBdeE.
On noteG= Vect(e1;e2).
3) Preciser une base deG. Montrer queF\G=f0g.
4) Montrer queF\G=f0g. En deduireE=FG.
1 Exercice 5{SoirEunK-espace vectoriel de dimension 4 etB= (e1;e2;e3;e4) une base de E. Soitu1=e1+e2e3+e4u2=e1+2e2+e3+e4,u3=e1e2+e3e4etu4= 2e1+3e2+2e4.On noteF= Vect(u1;u2;u3;u4).
1) Donner une base deFechelonnee par rapport a la baseB. Quel est le rang de la famille
(u1;u2;u3;u4) ?2) Donner un systeme d'equations deFrelativement a la baseBdeE. Quelle est la dimension
deF?On noteG= Vect(e1+e2+e3+e4).
3) Preciser une base deG. Montrer queF\G=f0g.
4) En deduireE=FG.
5) Preciser la decomposition du vecteur de coordonnees (x1;x2;x3;x4) dans la baseBcomme
somme d'un vecteur deFet d'un vecteur deG. Exercice 6{SoitEunK-espace vectoriel de dimension 4 etB= (e1;e2;e3;e4) une base de E. Soitu1=e12e2+e3u2= 2e13e2+e4etu3= 3e15e2+e3+e4. On noteF= Vect(u1;u2;u3).1) Donner une base deFechelonnee par rapport a la baseB.
2) Donner un systeme d'equations deFrelativement a la baseBdeE. Dimension deF?
On noteG= Vect(e1;e1+e2+e3+e4).
3) Preciser une base deG. Montrer queF\G=f0g.
4) En deduire queFetGsont des sous-espaces vectoriels supplementaires.
5 ) Preciser la decomposition du vecteur de coordonnees (x1;x2;x3;x4) dans la baseBcomme
somme d'un vecteur deFet d'un vecteur deG. Exercice 7{SoitEunK-espace vectoriel de dimension 3 etB= (e1;e2;e3) une base deE. Soitu1=e1+e2+e3etu2=e1+ 2e2+e3. On noteF= Vect(u1;u2).1) Donner une base deFechelonnee relativement a la baseB. En deduire la dimension du
sous-espace vectorielF.2) Donner un systeme d'equations deF.
On noteD= Vect(e1).
3) Montrer queD\F=f0g.
4) En deduireE=DF.
Exercice 8{SoitHle sous-espace vectoriel deR4d'equation : H:(x1+x2+x3+x4= 0
x1x2+x3x4= 0:
Posonsu= (1;1;1;1) etv= (1;0;0;0). NotonsL= Vect(u;v).1) Determiner le sous-espace vectorielH\L. Puis preciser une base deH. 2) Montrer queH
etLsont deux sous-espaces supplementaires deR4.3) Soita;b;c;dquatre reels, preciser la decomposition du vecteur (a;b;c;d) deR4, comme
somme d'un vecteur deHet d'un vecteur deL. 2 Exercice 9{Soitu1= (1;1;1;1);u2= (1;2;1;3);u3= (2;1;2;1) trois vecteurs de R4. SoitH= Vect(u1;u2;u3).
1) Donner une base deHconstituee de vecteurs deR4echelonnees relativement a la base
canonique deR4.2) Donner un systeme d'equations deHrelativement a la base canonique deR4.
3) Soitu4= (1;1;1;1) etF= Vect(u4). Montrer queF\H=f0g. En deduire queHetF
sont des sous-espaces supplementaires deR4.4) Soitu= (x1;x2;x3;x4)2R4. Determinerv2Fetw2Htels queu=v+w. Preciservet
w. Exercice 10{SoitPle sous-espace vectoriel deR4deni par le systeme d'equations lineaires : (x+y+z+t= 0 y+ 2z+t= 01) Sans calcul, justier quePest de dimension 2. Puis determiner une base (u1;u2) deP.
Soitv1= (1;1;1;1) etv2= (1;0;1;0). On noteV= vect(v1;v2).2) Montrer que (v1;v2) est une base deV.
3) Montrer queP+V= vect(u1;u2;v1;v2). En deduire une base deP+Vechelonnee par
rapport a la base canonique deR4.4) En deduire quePetVne sont pas supplementaires. Donner une base deP\V.
Soitv3= (1;1;0;0). On noteW= vect(v1;v3).
5) On admettra quePetWsont supplementaires. Expliciter la projection surWparallelement
aP.Correction de l'exercice 1
Le sous-espace vectorielF1est par denition constitue des solutions du systeme d'equations lineaires homogenes : ()(x1+ 2x2+x3+x4= 0 (E1)
x2x3+ 2x4= 0 (E2):
Ce systeme est triangule. Les variables libres en sontx3etx4. Resolvons le en suivant notre algorithme. On obtient : x2=x32x4:
Puis :
x1=2x2x3x4=2(x32x4)x3x4=3x3+ 3x4:
Il vient :
F1=f(3x3+ 3x4;x32x4;x3;x4) tels quex3; x42R)g:
Soit :
F1=fx3(3;1;1;0) +x4(3;2;0;1) tels quex3; x42Rg:
Ainsi, la famille de deux vecteurs (3;1;1;0);(3;2;0;1) est une famille generatrice deF1.Elle est libre, en renversant les calculs :
x3(3;1;1;0) +x4(3;2;0;1) = (3x3+ 3x4;x32x4;x3;x4) = 0
3 implique clairementx3=x4= 0. C'est une base deF1. Le sous-espace vectorielF2est par denition constitue des solutions du systeme d'equations lineaires homogenes : ()(x1+ 2x2+x3+x4= 0 (E01)
x4= 0 (E02):
Ce systeme est triangule. Les variables libres en sontx2etx3. Resolvons le en suivant notre algorithme. On obtient : x 4= 0:Puis :
x1=2x2x3:
Il vient :
F2=f(2x2x3;x2;x3;0) tels quex2; x32Rg:
Soit :
F2=fx2(2;1;0;0) +x3(1;0;1;0) tels quex2; x32Rg:
Ainsi, la famille de deux vecteurs (2;1;0;0);(1;0;1;0) est une famille generatrice deF2. Elle est libre (m^eme argument que precedemment). C'est une base deF2. L'ensembleF1\F2est un sous-espace vectoriel deR4comme intersection de deux tels sous- espaces vectoriels. Il est constitue des solutions du systeme d'equations lineaires homogenes : ()8 >>:x1+ 2x2+x3+x4= 0 (E1)
x2x3+ 2x4= 0 (E2)
x1+ 2x2+x3+x4= 0 (E01)
x4= 0 (E02):
Soit :
()8 :x1+ 2x2+x3+x4= 0 (E1)
x2x3+ 2x4= 0 (E2)
x4= 0 (E02):
Ce systeme est triangule. Il possede uen seule variable libre :x3. Resolvons le en suivant notre algorithme. On obtient : x 4= 0:Puis :
x 2=x3:Puis :
x1=2x2x3x4=3x3:
Il vient :
F1\F2=f(3x3;x3;x3;0) tels quex32Rg:
Soit :
F1\F2=fx3(3;1;1;0) tels quex32Rg:
4 Ainsi, la famille d'un vecteur (3;1;1;0) est une famille generatrice deF1\F2. Elle est libre, car est ce vecteur est non nul. C'est une base deF1\F2.Correction de l'exercice 2
1) L'algorithme du cours fournit a l'aide de la matriceMB(u1;u2;u3) (dont la j-ieme colonne
est formee des coordonnees deujdans la baseB) une base echelonnee deHrelativement a cette base. MB(u1;u2;u3) =0
B @1 2 1 21 11121
C A:
Etape 1 : Posonsu01=u1,u02=u22u1etu03=u3u1:
MB(u01;u02;u03) =0
B @1 0 0 2 3 3 1331C A: