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[PDF] Espaces vectoriels - Licence de mathématiques Lyon 1

Allez à : Correction exercice 1 Soit un espace vectoriel sur ℝ et 1, 2, 3 et 4 une famille libre d'éléments de Il n'y a pas que (0,0,0) comme solution donc la famille est liée, en prenant = 1, on trouve que = 2

[PDF] Exercices Corrigés Sous-espaces vectoriels Exercice 1 – On

x2 - x3 + 2x4 = 0 (E2) et le sous-espace vectoriel F2 de R4 formé des solutions du syst`eme suivant : (∗∗)

[PDF] Exercices corrigés Alg`ebre linéaire 1

Exercice 1 On rappelle que (E,+,·) est un K-espace vectoriel si (I) (E,+) est Solution de l'exercice 3 : Remarquons tout d'abord que F est non vide, puisque que

[PDF] 70 exercices dalg`ebre linéaire 1 Espaces vectoriels - Pierre-Louis

Exercice 5 Soit E le R-espace vectoriel R Quels sont les sous-espaces (iii) H est l'ensemble des solutions d'une équation linéaire de la forme α1x1 + +αnxn 

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Exercice 1 Soit E un espace vectoriel réel i) Donner la définition d'une famille finie libre de vecteurs de E ii) Donner la définition du rang d'une famille finie de 

[PDF] 5Espaces-vectorielsCorrigéspdf - Optimal Sup Spé

Exercice de base, à maîtriser parfaitement (* s'il s'agit d'un exercice classique), Exercice Montrer que C est un sous-espace vectoriel de 4(R') 2) a) Soit E l' ensemble b) Soit (Aw)sis un triplet de réels tel que : § Ak fix = 0 On a alors : k= 1

[PDF] Algèbre Linéaire

18 déc 2013 · Pour se familiariser avec ces différentes notions, les exercices 2 et 3 sont vive- On appelle forme linéaire sur E un K-espace vectoriel toute ap- Après résolution de ce systême on trouve que les solutions s'écrivent (x, y, z 

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Exercices Corrigés Premi`eres notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 – On considére le sous-espace vectoriel F de R4 formé des solutions du syst`eme

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L'ensemble E est-il un sous espace vectoriel de R4 ? Si oui, en donner une base Exercice 6 Soient E et F les sous-espaces vectoriels de R3 engendrés 

[PDF] Exercices - Sous-espaces vectoriels : corrigé Théorie générale

De même, pour tout λ ∈ R, on a λX = (λx, λy, λz) est élément de E1 puisque λx + λy + 3λz = λ(x + y + 3z)=0 E1 est donc un sous-espace vectoriel de R3 b) E2 n' est 

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1u1+2u2+:::+kuk= 0;

rangfu1;u2;:::;ukg= dim(Vect(u1;u2;:::;uk)):

00 +1u1+2u2+:::+kuk= 0??

1u1+2u2+3u3= 0

1u1+2u2+3u3+ 0u4= 0

F=8 :0 @x y z t1 A

2R4:x+y+z= 0??x+ 2zt= 09

u 1=0 B B@1 2 1 11 C

CA; u2=0

B B@1 4 1 51
C

CA; u3=0

B B@2 2 2 01 C

CA; u4=0

B B@1 0 1 11 C CA: ??? ?????? ??? ???? ??Vect(u1;u2;u3;u4)? ?? ??????FVect(u1;u2;u3;u4) =R4? ??F???? ???? ??? ????? ?? ???? ????w;v2F?? ???? ?????w+v2F? ?? ???? ????w2F??2R?? ???? ?????w2F? ???? ???w1+w2+w3= 0 w

1+ 2w3w4= 0??v1+v2+v3= 0

v

1+ 2v3v4= 0:??

???? ?? ???????w+v= (w1+v1;w2+v2;w3+v3;w4+v4)???? ????? (w1+v1) + (w2+v2) + (w3+v3) = (w1+w2+w3) + (v1+v2+v3)()== 0 + 0 = 0 (w1+v1) + 2(w3+v3)(w4+v4) = (w1+ 2w3w4) + (v1+ 2v3v4)()== 0 + 0 = 0: ?? ? ?????? ???w+v2F? ???? ?? ???????w= (w1;w2;w3;w4)???? ????? ???? w

1+w2+w3=(w1+w2+w3)()==0 = 0

w

1+ 2w3w4=(w1+ 2w3w4)()==0 = 0:

???? ????? ?????? ???w2F? x+y+z= 0 y+zt= 0: 0 B B@x y z t1 C B B@x y z t1 C CA=0 B

B@2z+t

zt z t1 C CA=z0 B B@2 1 1 01 C CA+t0 B B@1 1 0 11 C CA; B=0 B B@0 B B@2 1 1 01 C CA;0 B B@1 1 0 11 C CA1 C CA a 0 B B@2 1 1 01 C CA+b0 B B@1 1 0 11 C CA=0 B B@0 0 0 01 C

CA?????8

>:2a+b= 0 ab= 0 a= 0 b= 0????a=b= 0:

????? ???? ?????? ??????? ?? ????? ??? ?? ???? ?? ?? ???????fu1;u2;u3;u4g??? ???? ?? ???? ?? ?? ???????

rangfu1;u2;u3;u4g= rang0 B

B@11 21

2 4 2 0

1 12 1

1 5 0 11

C CA: 0 B

B@11 21

2 4 2 0

1 12 1

1 5 0 11

C CA0 B

B@11 21

0 62 2

0 0 0 0

0 62 21

C CA0 B

B@11 21

0 62 2

0 0 0 0

0 0 0 01

C CA ?? ?????? ??? ?? ???? ?? ????? ??????? ????2???? rangfu1;u2;u3;u4g= 2: B

0= (u1;u2) =0

B B@0 B B@1 2 1 11 C CA;0 B B@1 4 1 51
C CA1 C CA ??? ??? ???? ??Vect(u1;u2;u3;u4)? ??? ???? ??????? ??FVect(u1;u2;u3;u4) =R4? ?? ???? ?? ??????? ?? ?? ??????? ????? ???? ??F???? F=0 B B@0 B B@2 1 1 01 C CA;0 B B@1 1 0 11 C CA;0 B B@1 2 1 11 C CA;0 B B@1 4 1 51
C CA1 C CA: a 0 B B@2 1 1 01 C CA+b0 B B@1 1 0 11 C CA+c0 B B@1 2 1 11 C CA+d0 B B@1 4 1 51
C CA=0 B B@0 0 0 01 C >:2a+b+cd= 0 ab+ 2c+ 4d= 0 ac+d= 0 b+c+ 5d= 0: 8>>< >:2a+b+cd= 0 b+ 5c+ 7d= 0

4c+ 8d= 0

0 = 0:

P

0=X22; P1= (X1)(X+ 1); P2= (X2)(X+ 1); P3= (X1)(X+ 2):

???? ??????? ??? ?? ???????(P1;P2;P3)??? ?????? ?????? ??? ???? ??R2[X]? P

0=X22; P2= (X2)(X+ 1) =X2X2; P3= (X1)(X+ 2) =X2+X2:

P

2+P3=X2X2 +X2 +X2 = 2X24 = 2P0;????P0=12

P2+12 P3: X

22 =a(X2X2) +b(X2+X2) = (a+b)X2+ (ba)X2a2b:

8< :a+b= 1 a+b= 0

2a2b=2?? ??? ?????a=b=12

aP

1+bP2+cP3= 0

a(X21) +b(X2X2) +c(X2+X2) = 0; (a+b+c)X2+ (b+c)Xa2b2c= 0: ????? ?? ???????(1;X;X2)??? ?????? ?? ??????? ?? ??????? ??????? 8< :a+b+c= 0 b+c= 0 a2b2c= 0?? ??? ?????a=b=c= 0: ??? ???? ?? ???????M=0 @1 12 21 1

1 0 21

A ????B??E? f

1=e1+ 2e2e3; f2=e1e2; f3=2e1+e2+ 2e3:

??????? ???B2= (f1;f2;f3)??? ????? ??? ???? ??E? (u)B1=0 @1 1 11 A ??(v)B2=0 @2 1 21
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