10 sept 2009 · Exercices supplémentaires : Systèmes d'état : Commandabilité et Observabilité Année académique 2009-2010 1 Le satellite On considère
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Document mis à jour le 10 septembre 2009
Infos:gdrion@ulg.ac.be
UNIVERSITÉ DE LIÈGE
INSTITUT MONTEFIORE
ANALYSE ET SYNTHÈSE DES SYSTÈMES
Prof. R. Sepulchre - Prof. E. Bullinger
Exercices supplémentaires :
Systèmes d"état :
Commandabilité et Observabilité
Année académique 2009-2010
1 Le satellite
On considère les équations linéarisées d"un satellite au voisinage d"une orbite circulaire
parcourue à vitesseωconstante :¨r= 3ω2r+ 2ωθ+ur(1)
¨θ=-2ωr+uθ(2)
Le satellite est commandé par deux moteurs. Le premier fournit une force radialeuret le second une force tangentielleuθ. La sortie mesuréeyest la position radialer.On demande :
1. Suite à un problème technique, vous devez couper un des deux moteurs. Lequel choisiriez-
vous?2. De montrez que si l"autre choix est fait, il existe une quantité conservée (intégrale pre-
mière). Déduisez-en l"équation du mode non-commandable.3. De déterminer si ce système est observable lorsque la sortie mesurée est la position
radialer, si possible sans calculer le rang d"une matrice. Si non, quelle sortie utiliser?4. De déterminer les conditions initiales qui ne peuvent être distinguées les unes des autres
lorsque seulsy(t)etu(t)sont connus. 1Solution
1. Nous pouvons écrire le modèle d"état suivant :
x1=x3(3) x2=x4(4) x3= 3ω2x1+ 2ωx4+ur(5) x4=-2ωx3+uθ(6) y=x1(7) oùx1=r,x2=θ,x3= retx4=θ. Les matrices d"état de ce système s"écrivent donc :A=((((0 0 1 00 0 0 1
3ω20 0 2ω
0 0-2ω0))))
(8) B r=((((0010)))) (9) Bθ=((((0001))))
(10)C= (1 0 0 0)(11)
D= 0(12)
Si on choisi de conserver le moteur tangentiel, la matrice decommandabilité s"écrit : (BθABθA2BθA3Bθ) =((((0 0 2ω00 1 0-4ω
0 2ω0-2ω3
1 0-4ω20))))
(13) Elle est de rang plein (rang 4), le système est donc commandable. Par contre, si on conserve plutôt le moteur radial, la matrice de commandabilité s"écrit : (BrABrA2BrA3Br) =((((0 1 0-ω20 0-2ω0
1 0-ω20
0-2ω0 2ω3))))
(14) Elle n"est pas de rang plein (rang 3) : la deuxième et la quatrième colonne sont linéaire- ment dépendantes. Le système possède donc dans ce cas un modenon-commandable. L"automaticien averti choisira donc de sacrifier le moteur radial. 22. Dans le casuθ= 0, l"équation (6) peut se récrirex4=-2ωx1et doncx4+ 2ωx1= Cte.
Ce système possède donc un mode non commandable :z(t) =x4(t) + 2ωx1(t)avec z(t) = 0.3. La variable d"étatx2n"est pas observable car elle n"intervient pas dans l"équation de la
sortiey, ni dans celles des dérivées des autres variables d"état. Son estimation nécessi-
terait l"intégration dey... Une sortie à utiliser pour rendre le système observable est la position angulaireθ.