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1) Déterminer sa forme compagne de commande 2) Vérifier la commandabilité et l'observabilité du système 3) Représenter ce système sous forme de schéma 

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Document mis à jour le 10 septembre 2009

Infos:gdrion@ulg.ac.be

UNIVERSITÉ DE LIÈGE

INSTITUT MONTEFIORE

ANALYSE ET SYNTHÈSE DES SYSTÈMES

Prof. R. Sepulchre - Prof. E. Bullinger

Exercices supplémentaires :

Systèmes d"état :

Commandabilité et Observabilité

Année académique 2009-2010

1 Le satellite

On considère les équations linéarisées d"un satellite au voisinage d"une orbite circulaire

parcourue à vitesseωconstante :

¨r= 3ω2r+ 2ωθ+ur(1)

¨θ=-2ωr+uθ(2)

Le satellite est commandé par deux moteurs. Le premier fournit une force radialeuret le second une force tangentielleuθ. La sortie mesuréeyest la position radialer.

On demande :

1. Suite à un problème technique, vous devez couper un des deux moteurs. Lequel choisiriez-

vous?

2. De montrez que si l"autre choix est fait, il existe une quantité conservée (intégrale pre-

mière). Déduisez-en l"équation du mode non-commandable.

3. De déterminer si ce système est observable lorsque la sortie mesurée est la position

radialer, si possible sans calculer le rang d"une matrice. Si non, quelle sortie utiliser?

4. De déterminer les conditions initiales qui ne peuvent être distinguées les unes des autres

lorsque seulsy(t)etu(t)sont connus. 1

Solution

1. Nous pouvons écrire le modèle d"état suivant :

x1=x3(3) x2=x4(4) x3= 3ω2x1+ 2ωx4+ur(5) x4=-2ωx3+uθ(6) y=x1(7) oùx1=r,x2=θ,x3= retx4=θ. Les matrices d"état de ce système s"écrivent donc :

A=((((0 0 1 00 0 0 1

3ω20 0 2ω

0 0-2ω0))))

(8) B r=((((0010)))) (9) B

θ=((((0001))))

(10)

C= (1 0 0 0)(11)

D= 0(12)

Si on choisi de conserver le moteur tangentiel, la matrice decommandabilité s"écrit : (BθABθA2BθA3Bθ) =((((0 0 2ω0

0 1 0-4ω

0 2ω0-2ω3

1 0-4ω20))))

(13) Elle est de rang plein (rang 4), le système est donc commandable. Par contre, si on conserve plutôt le moteur radial, la matrice de commandabilité s"écrit : (BrABrA2BrA3Br) =((((0 1 0-ω2

0 0-2ω0

1 0-ω20

0-2ω0 2ω3))))

(14) Elle n"est pas de rang plein (rang 3) : la deuxième et la quatrième colonne sont linéaire- ment dépendantes. Le système possède donc dans ce cas un modenon-commandable. L"automaticien averti choisira donc de sacrifier le moteur radial. 2

2. Dans le casuθ= 0, l"équation (6) peut se récrirex4=-2ωx1et doncx4+ 2ωx1= Cte.

Ce système possède donc un mode non commandable :z(t) =x4(t) + 2ωx1(t)avec z(t) = 0.

3. La variable d"étatx2n"est pas observable car elle n"intervient pas dans l"équation de la

sortiey, ni dans celles des dérivées des autres variables d"état. Son estimation nécessi-

terait l"intégration dey... Une sortie à utiliser pour rendre le système observable est la position angulaireθ.

4. Les conditions initiales qui ne peuvent être distinguéesles unes des autres sont celles

relatives au mode non-observable, donc sur la position angulaire. Autrement dit, la position angulaire d"un satellite ne peut pas êtreobservéesi on ne mesure que sa position radiale.

2 Construction d"un modèle d"état - Juin 2007

On demande :

1. De construire un modèle d"étatobservablemaisnon-commandablede fonction de trans-

fert :

H(s) =1

s+ 1

2. De construire un observateur pour ce système en justifiantle choix des gains.

3. Sous quelle(s) condition(s) peut-on négliger la présence de modes observables mais non-

commandables dans le design d"un système?

4. De donner un exemple physique d"un système comportant un mode observable mais

non-commandable.

Solution

1. Construction d"un modèle d"étatobservablemaisnon-commandable

On désire un modèle non-commandable. Partons donc de la forme canonique de comman- dabilité : ?xC xNC? =?A1A12 0A2? A? xC x NC? +?B1 0? Buquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3