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Si l'on conserve les deux commandes, le syst`eme reste commandable puisque rang(C) = 4 Exercice 7 : 1- Les pôles −2, −3 sont commandables et observables 

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3) Donner la fonction de transfert de ce système 4) Le système est-il commandable ? Est-il observable ? 5) Trouver un observateur qui permette de générer un 

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1) Déterminer sa forme compagne de commande 2) Vérifier la commandabilité et l'observabilité du système 3) Représenter ce système sous forme de schéma 

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La premi`ere solution consiste `a ajouter ou changer des organes de commande (non commandable) ou des capteurs (non observable) 3 2 2 Réduction de mod`  

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Cours et exercices corrigés de la période d'échantillonnage sur l'observabilité et la commandabilité 16 2 5 Exemple pour un système non commandable

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ISAE-N6K/Premi`ere ann´ee

Repr´esentation et analysedes syst`emes lin´eaires

Petite classe No 2

1 Compl´ements sur les formes modales diagonales et de Jordan

1.1 D´efinitions

Etant donn´ee une repr´esentation d"´etat d"un syst`eme dynamique LTI continu, x(t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)+Du(t)

Nous rappelons que les formes modales sont obtenues `a partir de la connaissance des propri´et´es spec-

trales, (valeurs propres et vecteurs propres) de la matrice dynamiqueA?Rn×n D´ef. 1.1 (valeurs propres d'une matrice carr´ee)

SoitA?R

n×n .Lesvaleurs propresdeAsont les racines du polynˆome caract´eristiqueφ(λ)= -det(λI-A). On associe `a chaque valeur propreλ i un vecteur proprexi tel que : Ax i i x i De plus, le polynˆome caract´eristique s"´ecrit : n +c n-1 n-1 +···+c 1

λ+c

0

Propri´et´e1

- Les valeurs propres d"une matrice triangulaire sup´erieure ou inf´erieure sont ´egales `ases´el´ements

diagonaux. - Les valeurs propres de (cI+A) sontc+λ1 ,···c+λ n o`uλ 1 n sont les valeurs propres de A. - Les valeurs propres deA k sontλ k1 kn - Les valeurs propres deAsont ´egales aux valeurs propres deA? - CommeA?R n×n , les coefficientsc i sont n´ecessairement r´eelsetdecefaitsiλ i ?Cest une valeur propre deAalors i l"est ´egalement. - trace(A)= n i=1λ i =(-1) n+1 c n-1 -det(A)= n i=1 i =c 0 D´ef. 1.2 (multiplicit´ealg´ebrique et g´eom´etrique) Si le polynˆome caract´eristique deAse factorise comme :

φ(λ)=(-1)

n (λ-λ1 m 1 2 m 2 p mp alors cela signifie qu"une valeur propreλ i deApeut ˆetre multiple d"ordrem i .m i est appel´eela multiplicit´ealg´ebriquede la valeur propreλi . De ce fait, on a n´ecessairement : p i=1 m i =n

On d´efinit ´egalementla multiplicit´eg´eom´etriqueoud´eg´en´erescencede la valeur propreλ

i comme : q i =n-rang(A-λ i 1) 1

1.2 Calcul de la forme de Jordan d"une matrice

La d´etermination de la forme modale deAet de la repr´esentation d"´etat associ´ee repose essen-

tiellement sur le calcul des vecteurs propres associ´es deAqui permettent de construire la matrice de

passagePappel´ee dans ce casmatrice modale. Le calcul de l"ensemble complet de vecteurs propres

de la matriceAd´epend alors de la multiplicit´edesdiff´erentes valeurs propres deA. En particulier, dans

le cas o`u il existe des valeurs propres multiples, diff´erents cas doivent ˆetre consid´er´es en fonction des

valeurs respectives de la multiplicit´ealg´ebrique et de la multiplicit´eg´eom´etrique de la valeur propre

consid´er´ee. On pourra se reporter au polycopi´e au chapitre II.8 du premier tome. Nous d´etaillons ici

le cas le plus d´elicat qui consiste `a calculer les chaines de vecteurs propres g´en´eralis´es associ´es `a une

valeur propre multiple dont les multiplicit´es v´erifient 1dans la forme de Jordan associ´ee qui ne peut ˆetre lev´ee que par le calcul syst´ematique des chaines de

vecteurs propres g´en´eralis´es associ´ees `a chaque vecteur propre.

D´ef. 1.3 (Chaine de Jordan)

On appelle k-i`eme vecteur propre g´en´eralis´edela chaine de Jordan, associ´e`aλvaleur propre de la

matriceA, un vecteurev´erifiant : (A-λ1 n k e=0 (A-λ1 n k-1 e?=0

D´ef. 1.4 (Indexe deλ

i

Etant donn´ee une valeur propreλ

i de multiplicit´ealg´ebriquem i et g´eom´etriqueq i avec 1L"indexe indique la longueur de la chaine de Jordan la plus longue, soit la taille du bloc de Jordan le

plus grand. De plus, si rang(λ i

1-A)=α

i alors il y a (n-α i )=q i chaines de Jordan associ´ees `aλ i

Pour chaque chaine de Jordan de longueurk

j ,j=1,···α j , il existe un vecteur propre g´en´eralis´eede rang ´egal `ak j et v´erifiant donc : (A-λ i 1) k j e=0 (A-λ i 1) l e?=0lAlgorithme 1.1 (Triangularisation)

1- Calculer les valeurs propres de la matriceAen d´eterminant les racines du polynˆome ca-

ract´eristique. det(λ1-A)=0

Soientλ

1 2 l , les valeurs propres de multiplicit´es alg´ebriques respectives m 1 ,m 2 ,···,m l alors pour chaque valeur propreλ i

2- Calculer le nombre de chaines de Jordan et leur dimension.

- Calculer l"indexek i deλ i . Cela donne la dimension de la chaine de Jordan la plus grande. - Calculer le nombre de chaines de Jordan donn´e par la multiplicit´eg´eom´etriqueq i =n-α i n-rang(A-λ iquotesdbs_dbs5.pdfusesText_9