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Sommation suivant les lignes : On calcule la somme des termes de la premi`ere ligne, puis on ajoute On en déduit que la somme double s'écrit : n ∑ j=1 ( j

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Calculs de sommes doubles Correction à lire évidemment Exercice : 1 Calculer S := ∑ 1≤i,j≤n min(i, j) preuve : Nous pouvons réécrire la somme S sous la 

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et en développant le second membre, retrouvez la valeur de la somme S1 = n ∑ k=0 Exercice 5 : Somme de termes en progression arithmétique — Soit (uk) 

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Pour calculer une somme double, plusieurs méthodes sont possibles La premi` ere consiste `a faire la somme des termes ligne par ligne, puis `a sommer les 

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les indices de la somme parcourraient l'ensemble {k ; j ≤ k ≤ i} qui est l' ensemble vide et On a obtenu une somme emboîtée (je dirai aussi double somme)

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27 fév 2017 · Soit I un sous-ensemble fini de N, la somme de tous les termes ai, On peut schématiser ces sommes double par un tableau double entrée C

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Sommes doublesTP11

1 Sommes doubles a indices independants

On considere des reelsxi;javeci2[[1;n]] etj2[[1;m]]. On range ces valeurs dans un tableau : x

1;1x1;2x1;jx1;m

x

2;1x2;2x2;jx2;m............

x i;1xi;2xi;jxi;m............ x n;1xn;2xn;jxn;m On souhaite calculer la sommeSde tous ces termes :

•Sommation suivant les lignes: On calcule la somme des termes de la premiere ligne, puis on ajoute

les termes de la deuxieme ligne, ... et enn la somme des termes de lan-ieme ligne : S=mX j=1x

1;j+mX

j=1x

2;j+:::+mX

j=1x i;j+:::+mX j=1x n;j=nX i=10 mX j=1x i;j1 A •Sommation suivant les colonnes: On calcule la somme des termes de la premiere colonne, puis on ajoute les termes de la deuxieme colonne, ... et enn la somme des termes de lam-ieme colonne : S=nX i=1x i;1+nX i=1x i;2+:::+nX i=1x i;j+:::+nX i=1x i;m=mX j=1 nX i=1x i;j!

On obtient evidement la m^eme somme avec ces deux methodes d'ou la formule d'interversion suivante :Consideronsnmreelsxi;j, aveci2[[1;n]] etj2[[1;m]]. Alors la sommeSde tous ces termes est :

S=nX i=10 mX j=1x i;j1 A =mX j=1 nX i=1x i;j!

On noteraSsous la forme plus conciseX

1in 1jmx i;jouX

1i;jnx

i;jlorsquen=m.Propriete 1(Interversion de sommes a indices independants)Exemple.Avecn= 3, on a : X

1i;j3x

i;j=3X i=10 3X j=1x i;j1 A 3X j=1 3X i=1x i;j! =x1;1+x2;1+x3;1+x1;2+x2;2+x3;2+x1;3+x2;3+x3;3:Exercice 11.Ecrire sans les symbolesXl'expression :X 1i2 1j4ij 2. Ecrire avec le symboleXl'expression : 112+ 212+ 312+ 122+ 222+ 322. 1 ECE1Lycee Clemenceau, ReimsExercice 2On considere la procedure suivante : n=input( 'Donnerunevaleurden:' ) S=0 fori =1:n do forj =1:n do

S=S+i?j ^2

end end disp(S) 1.

En trerd ansl' editeurde Scilab cette p rocedure.T esterp ourdi erentesv aleursde n. A quoi correspond

la valeur deSdonnee en sortie ? 2.

Calculer S"a la main" et verier le resultat gr^ace aux valeurs obtenues avec Scilab.Exercice 3On considere les sommes suivantes, ounest un entier2 :

S n=X

1i;jni; T

n=X

1i;jnj2ietUn=X

1i;jnij

1. Construire une pro cedurequi, etantdonn eun en tiern2, calculeSn,TnetUn. 2. Calculer ces sommes " ala main" et v eriera vecles r esultatsobten usa vecScilab.

2 Sommes doubles a indices dependants

Considerons maintenant des reelsxi;javec 1ijnranges dans le tableau carre suivant : x

1;1x1;2x1;jx1;n

x

2;2x2;jx2;n

x j;jxj;n x n;n On souhaite calculer la sommeSde tous ces termes :

•Sommation suivant les lignes: On calcule la somme des termes de la premiere ligne, puis on ajoute

les termes de la deuxieme ligne, ... et enn la somme des termes de lan-ieme ligne : S=nX j=1x

1;j+nX

j=2x

2;j+:::+nX

j=ix i;j+:::+nX j=nx n;j=nX i=10 nX j=ix i;j1 A •Sommation suivant les colonnes: On calcule la somme des termes de la premiere colonne, puis on ajoute les termes de la deuxieme colonne, ... et enn la somme des termes de lan-ieme colonne : S=1X i=1x i;1+2X i=1x i;2+:::+jX i=1x i;j+:::+nX i=1x i;n=nX j=1 jX i=1x i;j!

On obtient evidement la m^eme somme avec ces deux methodes d'ou la formule d'interversion suivante :Considerons des reelsxi;javec 1ijn. Alors la sommeSde tous ces termes est :

S=nX i=10 nX j=ix i;j1 A =nX j=1 jX i=1x i;j!

On noteraSsous la forme plus conciseX

1ijnx i;j.Propriete 2(Interversion de sommes a indices dependants)2

ECE1Lycee Clemenceau, Reims

Exemple.Avecn= 4, on a :

X 1ij4x i;j=4X i=10 4X j=ix i;j1 A 4X j=1 jX i=1x i;j!

=x1;1+x1;2+x2;2+x1;3+x2;3+x3;3+x1;4+x2;4+x3;4+x4;4:Exercice 41.Ecrire sans les symbolesXl'expression :X

1ij5(ji).

2.

Ecrire avec le symboleXl'expression :11

+12 +13 +14 +22
+23
+24
+33
+34
+44
.Methode.

Pour intervertir les symboles

Xdans la sommenX

i=10 nX j=ix i;j1 A , on peut proceder ainsi : •Le systeme d'indices qui decrit la somme est 1inetijn. •On synthetise ces conditions : 1ijn. •On les reorganise en "commencant" parj: 1jnet 1ij.

On en deduit que la somme double s'ecrit :

nX j=1 jX i=1x i;j!

.Si on ne somme pas les termes diagonaux du tableau precedent, on obtient la formule d'interversion suivante :

Considerons des reelsxi;javec 1i < jn. Alors la sommeSde tous ces termes est : S=n1X i=10 nX j=i+1x i;j1 A =nX j=2 j1X i=1x i;j!

On noteraSsous la forme plus conciseX

1i i;j.Propriete 3(Interversion de sommes a indices dependants)Exemple.Avecn= 4, on a : X

1i i;j=3X i=10 4X j=i+1x i;j1 A =x1;2+x1;3+x1;4+x2;3+x2;4+x3;4 4X j=2 j1X i=1x i;j! =x1;2+x1;3+x2;3+x1;4+x2;4+x3;4:Exercice 51.Ecrire sans les symbolesXl'expression :X

1i 2.

Ecrire avec le symboleXl'expression :21

+31
+41
+51
+32
+42
+52
+43
+53
+54
3

ECE1Lycee Clemenceau, ReimsMethode.

Pour intervertir les symboles

Xdans la sommen1X

i=10 nX j=i+1x i;j1 A , on peut proceder ainsi : •Le systeme d'indices qui decrit la somme est 1in1 eti+ 1jn. •On synthetise ces conditions : 1i < jn. •On les reorganise en "commencant" parj: 2jnet 1ij1.

On en deduit que la somme double s'ecrit :

nX j=2 j1X i=1x i;j! .Exercice 6On considere la procedure suivante : n=input( 'Donnerunevaleurden:' ) S=0 fori =1:n do forj=i :n do

S=S+i /j

end end disp(S) 1.

En trerdan sl' editeurde Scilab cette p rocedure.T esterp ourdi erentesv aleursde n. A quoi correspond

la valeur deSdonnee en sortie ? 2.

Calculer S"a la main" et verier le resultat gr^ace aux valeurs obtenues avec Scilab.Exercice 7On considere les deux sommes suivantes, ounest un entier2 :

S n=X

1ijn1;etTn=X

1i 1. Construire une pro cedurequi, etantdonn eun en tiern2, calculeSnetTn. 2.

Calculer ces sommes " ala main" et v eriera vecles r esultatsobten usa vecScilab. Exercice 8Calculer les sommes doubles suivantes :

(1) X

1ijn1j

(2)X

1ijnij(3)X

1i (4) X

0i;jn2

i+j(5)X

1i;jnjijj(6)X

1i;jnmin(i;j)

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