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Exercice 5 5 Soit A un opérateur (non borné) dans un espace de Hilbert H On dit que A est dissipatif si Re(Au, u) ≤ 0 pour tout u ∈ D(A) Soit S(t), t ≥ 0,

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5- Relation entre un semi-groupe continu et son générateur infinitésimal Soit E un espace de Banach et t ↦→ T(t) ∈ L(E) un semi-groupe sur E On note A le

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IV Semi-groupes d'opérateurs linéaires bornés On renvoit au préambule de l' exercice 4 1 pour les notations dans le cadre périodique 1 Equation Corrigé : l'inégalité est claire par définition de la transformée de Fenchel-Legendre h ∗

5Gr oupeetsemi-grouped' op´er ateurs

Exercice5.1.SoitH=L

2 (R)etU(t)f(x)=f(t+x).Montr erqueU(t)est repr´esentablesouslaformeU(t)=e itA ,o`uAestunop´er ateuraut o-adjoint dansH.Tr ouverA. Exercice5.2.SoitU(t)un groupeun itairedansune spacedeHilbertHtelque

U(1)=I.Mon trerqueU(t)=e

itA ,o`uAestunop´e rateurau to-adjointdansH telqueσ(A)?2πZ. Exercice5.3.SoitAunop´er ateurauto-adjoint.Montrerquee itA →Iquand t→0pou rlatopologieu niforme sietseulements iA?L(H).

Exercice5.4.SoitS

i (t),i=1,2,de uxsemigroupes avecdesop´erateursin- finit´esimauxA i .Mon trerqueS 1 ≡S 2 siet seulement siA 1 =A 2 Exercice5.5.SoitAunop´er ateur(nonborn´e)dansunespace deHilbertH.

Onditqu eAestdissipatifsi

SoitS(t),t≥0,un semigrou petelque

?S(t)? L(H) Montrerquel'op´erateu rinfinit´ esimaldeSestdissip atif.

Exercice5.6.SoitX=L

p (R),p?[1,∞[,et S(t)un efamilled' op´erateurs d´efinispar

S(t)f(x)=

t R f(x-y) y 2 +t 2 dy,f?X. MontrerqueS(t)es tungroupef ortemen tcontinu.Onnot eAsonop´er ateurin- finit´esimal.MontrerqueC 0 (R)?D(A)et d´ecri relarestrictiondeA`aC 0 (R).

Ond´efi nitlesespacesW

k,p (R)par r´ecu rrence: W 1,p (R)= f?L p (R):ilexisteg?L p (R)telquef(x)=f 0 x 0 g(y)dy W k,p (R)={f?W k-1,p (R):f ?W k-1,p (R)},k≥2.

Exercice5.7.SoitX=L

p (R),p?[1,∞[,etS(t)un efamilled' op´erateurs d´efinispar

S(t)f(x)=

4πt

R f(x-y)e -y 2 /4t dy,f?X. (a)MontrerqueS(t)es tunsemi-gr oupefort ementcontinu. (b)Montrerquel'op´erateu rinfinit´ esimaldeAestdonn´ep ar

D(A)=W

2,p (R),Af=f 7

6Eq uationsdupremi`ereordre

Exercice6.1.Consid´eronsl'´equation

t u+(b·?)u=f,t≥0,x?R d ,(6.1) o`ub?R d etf=f(t,x)es tunefoncti oncontinˆu mentdiff´erentiable. (a)Trouverlescaract´eri stiquespou rl'´equation(6.1). (b)Donneruneformulee xplicite pourlasolutiondel'´eq uation(6.1)v´erifiant lacondi tioninitiale u(x,0)=g(x),x?R d ,(6.2) o`ug?C 1 (R)es tunefoncti ondonn´ee. Exercice6.2.R´esoudreles´equationslin´ eairessuiv antes: x x u+y∂ y u=2u,u(x,1)=g(x), t u+x∂ x u+2y∂ y u=3u,u(x,y,0)=g(x,y), o`ug?C 1 estunefon ctiondonn´e e. Exercice6.3.Trouvertouteslessolut ionsdel'´equation y∂ x u=x∂ y usurR 2 Exercice6.4.Trouvertouteslessolu tionsdel'´equati on k x k k u=0d´efinies surR d Exercice6.5.Consid´eronsl'´equationquasilin´eai re t u+u∂ x u=f,t≥0,x?R.(6.3) Trouverlessolutionsde l'´equati on(6.3)danslescassuivants: (a)f≡1,u(s,s)= 1 2 s,s?R; (b)f=x,u(0,x)=0, x?R; (c)f≡0,u(0,x)=ar ctan x,x?R; (d)f=sinx,u(0,x)=0, x?R. Exercice6.6.Trouvertouteslessolut ionsduprobl`emed eCauchydans R d ?u(x)| 2 =|x| 2 ,u |x|=1 =C?R. 8quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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5Gr oupeetsemi-grouped' op´er ateurs

Exercice5.1.SoitH=L

U(1)=I.Mon trerqueU(t)=e

Exercice5.4.SoitS

Onditqu eAestdissipatifsi

SoitS(t),t≥0,un semigrou petelque

Exercice5.6.SoitX=L

S(t)f(x)=

Ond´efi nitlesespacesW

Exercice5.7.SoitX=L

S(t)f(x)=

4πt

D(A)=W

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