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2011/2012 Semi-groupes d'opérateurs linéaires Exercice 1 : Exemples de générateurs infinitésimaux 1) Soit a > 0 En appliquant le théor`eme de Hille- Yosida

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5- Relation entre un semi-groupe continu et son générateur infinitésimal Soit E un espace de Banach et t ↦→ T(t) ∈ L(E) un semi-groupe sur E On note A le

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1) Condition nécessaire: soit T un semi-groupe fortement continu de contractions On sait (question e de l'exercice 1) que son générateur A est fermé,

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Exercice 5 5 Soit A un opérateur (non borné) dans un espace de Hilbert H On dit que A est dissipatif si Re(Au, u) ≤ 0 pour tout u ∈ D(A) Soit S(t), t ≥ 0,

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2011/2012 Semi-groupes d'opérateurs linéaires Exercice 1 : Exemples de générateurs infinitésimaux 1) Soit a > 0 En appliquant le théor`eme de Hille- Yosida

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L'objectif de cet exercice est de montrer l'unicité de la solution de (3 51) et de Corrigé – La démonstration d'unicité faite pour le théorème 3 15 n'a pas utilisée Définition 4 6 (Semi-groupe) Soit E un espace de Banach, A : D(A) ⊂ E → E un

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Exercice 2 Soit E un espace de Banach On dit que S = (St)t≥0 est un semi- groupe d'opérateurs linéaires continus de E si i) St : E → E est un opérateur linéaire

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Exercices 7 M1 EDP On note A la fermeture de A (voir Exercice 1) Soit A le générateur d'un semi-groupe de contraction S(t) sur un espace de Banach

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GÉNÉRATEUR INFINITÉSIMAL 19 Exercice 2 7 — Montrer que le générateur infinitésimal du semi-groupe des translations sur Lp(R) (exemple 1 2) est donné

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IV Semi-groupes d'opérateurs linéaires bornés On renvoit au préambule de l' exercice 4 1 pour les notations dans le cadre périodique 1 Equation Corrigé : l'inégalité est claire par définition de la transformée de Fenchel-Legendre h ∗

M2RUniversite de Grenoble

EDP d'evolution2011/2012

Semi-groupes d'operateurs lineaires

Exercice 1 : Exemples de generateurs innitesimaux

1) Soita >0. En appliquant le theoreme de Hille-Yosida, montrer que l'equation de

transport8< tu(x;t) +a@xu(x;t) =u(x;t)x0; t >0 u(0;t) = 0t >0 u(x;0) =u0(x)2L1(R+) est bien posee surL1(R+).

2) Soit

un ouvert borne regulier deRdet soit >0. En appliquant le theoreme de Lumer-Phillips, montrer que l'equation des ondes amorties 8<

2ttu(x;t) +

@tu(x;t) = u(x;t)(x;t)2 R+u j@ (t)0t >0 (u;@tu)(0) = (u0;u1)2H10( )L2( est bien posee surH10( )L2( Exercice 2 : Perturbation borneeSoitXun espace de Hilbert. SoitA:D(A)!Xle generateur innitesimal d'un semi-groupe de contractions surXet soitB:D(B)!Xun operateur veriantD(A)D(B). On dit queBestAborne s'il existe deux constantes positivesettelles que

8x2D(A);kBxk kAxk+kxk:(1)

1) Montrer que siBest dissipatif etAborne avec une constante <1=2, alorsA+B

est generateur d'un semi-groupeC0de contractions (en fait on peut aller jusqu'a <1 par une astuce, voir [Gustafson,A perturbation Lemma]).

2) On suppose queBest compact relativement aA, c'est-a-dire queBestAborne et

l'image defx2D(A);kAxk+kxk 1gparBest relativement compacte dansX. Montrer que la constantedans (1) peut ^etre choisie aussi petite que voulu.

3) Soit

un ouvert borne deR3. On admet que D, le laplacien de Dirichlet surL2( est inversible et que 1

Dest borne deL2(

) dansH2( ). Soitv2(Lp( ))3un champ de vecteurs veriant div(v) = 0 etv:= 0 sur@ Donner une condition surp1 pour que l'operateur D+v:rengendre un semi-groupe de contractions surL2(

Exercice 3 : Theoreme de Stone

Demontrer le theoreme de Stone : un semigroupeS(t) sur un espace de Hilbert complexe Hest unitaire si et seulement si son generateur innitesimal est de la formeiAavecAun operateur auto-adjoint.

Exercice 4 : Un exemple de semi-groupe analytique

Soit Dle laplacien avec condition aux bords de Dirichlet surL2( ) avec un domaine borne regulier deRd. On admettra que le spectre de Dest inclus dans la demi-droite ] 1;0[. Montrer queeDtest un semi-groupe analytique.quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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