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Le tableau de Karnaugh n'est qu'une table de vérité mais présentée d'une la solution de cet exercice à la page 19 Exercices n° 6 - Tableau à 4 variables

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Karnaugh - De Morgan

Page 1

Tableau de Karnaugh à 2 variablesI TABLEAU DE KARNAUGH _Reprenons une expression vue au chapitre précédent on avait Q = a b + b + a Cette expression se simplifiait e = a + b mais la démonstration n'était pas évidente. _ La méthode par tableau de Karnaugh va nous permettre d'utliser une méthode systématique. Le tableau de Karnaugh n'est qu'une table de vérité mais présentée d'une autre manière : - il y a autant de cases dans un tableau de karnaugh qu'il y a de combinaisons soit

2 cases ( n étant le nombre de variables).

- en passant d'une case contigüe à une autre, c'est-à-dire en changeant de ligne ou de colonne, on ne change qu'une variable à la fois. Achaque ligne d'une table de vérité correspond une case du tableau de Karnaugh. Le trait en face d'une ligne ou d'une colonne signifie que la variable vaut 1 dans cette ligne ou dans cette colonne.a b n

Table de vérité Tableau de Karnaugh

1) TABLEAU DE KARNAUGHA2 VARIABLES

a b 0 0 0 1 1 0

1 1a a

b b TD 3 _Reprenons notre expression Q = a b + b + a _ on peut en établir la table de vérité et reporter celle-ci dans le tableau de Karnaugh ( en s'aidant de la page précédente ). _ on peut aussi remplir directement le tableau de Karnaugh à partir de l'équation, chaque case du tableau représentant une combinaison " a b ". _ l'équation la plus simple sera obtenue en faisant la somme des équations des groupements de 1 tout en observant les règles suivantes : * un groupement est constitué de"1" rassemblés par puissance de 2 et occupant des cases contigües * chaque "1" doit être pris dans un groupement au moins * les groupements peuvent se recouper * l'équation du groupement est obtenue en éliminant les variables qui changent d'état pour ne garder que celles qui ne changent pas. _ reprenons notre exemple

équation du groupement : a

équation du groupement : ba b

Q = a + b

Page 2

Karnaugh - De Morgan

Tableau de Karnaugh à 2 variables

Q a 0 1 b 1 1 Q a 0 1 b 1 1 Q a 0 1 b 1 1 Q a a b a b a b ba b a b a ba b TD 3 a b L 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Page 3

Karnaugh - De Morgan

Exercice n° 1 et n° 2

exercice n° 1 : _ lire les tableaux suivants en donnant pour chacun d'eux les valeurs des fonctions logiques simplifiées. _ pour D : trouver un autre groupement ? donner son équation . Conclusion ? la solution de cet exercice à la page 19 vous venez de la page 19

la solution de cet exercice à la page 19exercice n° 2 :_ reprendre les expressions suivantes du chapitre précédent et simplifier-les par Karnaugh

R = a + a . b

S = a + . b

T = a . (a + b)

_ comparer avec ce que l'on avait obtenu ..a A a 1 1 b 0 0B a 1 0 b 1 0 C a 1 1 b 1 0D a 1 1 b 1 1 TD 3

Page 4

Karnaugh - De Morgan

Tableau de karnaugh à 3 variables

vous venez de la page 19

2) TABLEAU DE KARNAUGHA3 VARIABLESremarque : _ Dans un tableau de Karnaugh à 2 variables : Il y a 2 soit 4 cases

- 1 case est définie par la combinaison de 2 variables - 2 cases sont définies par la combinaison de 1 variable - 4 cases sont définies par la combinaison de 0 variable _ Pour chaque variable, le choix de 0 ou de 1 représente la moitié des cas _ Le tableau comprendra 2 cases soit 8 cases _ le tableau à 2 variables est doublé : - une fois pour c = 0 - une fois pour c = 12 3 a 1 0 b 1 0

L = aa

0 1 b 0 1 L = a a 0 0 b 1 1

L = ba

1 1 b 0 0 L = b a a b c = 1c = 0 TD 3

Page 5

Karnaugh - De Morgan

Tableau de Karnaugh à 3 variables

_ Là encore, 0 ou 1 pour une variable correspond à la moitié des cas : _ les deux parties de la région = 1 doivent se considérer comme jointivesATTENTIONa remarque : exercice n° 3 :_ Dans un tableau à 3 variables: il y a 2 cases soit 8 cases - 1 case est définie par la combinaison de 3 variables - 2 cases sont définies par la combinaison de 2 variables - 4 cases sont définies par la combinaison de 1 variable - 8 cases sont définies par la combinaison de 0 variable _ numéroter les 8 lignes de la table de vérité c, b, a et reporter ces numéros dans les 8 cases correspondantes du tableau.3 la solution de cet exercice à la page 20 b c a = 1 a b c a = 0 a b c b = 1 a b c b = 0 a b c c = 1 a b c c = 0 a TD 3

Page 6

Karnaugh - De Morgan

Exercices n° 4 et n° 5

vous venez de la page 20 la solution de cet exercice à la page 20 vous venez de la page 20exercice n° 4 : exercice n° 5 :_ représenter par des tableaux les équations suivantes :

A= a . b . c D = a . b

B = a . . c E = a . b + . . c

C = . b . F = + .

_ lire l'équation représentée dans les tableaux suivants :b a b a c a b c G

0 0 1 1

b

0 0 1 1

caK

1 0 0 1

b

0 0 0 0

ca H

0 0 1 0

b

0 0 1 0

caL

1 1 0 0

b

0 0 1 0

ca I

0 0 1 1

b

0 0 0 0

caM

1 1 0 0

b

0 1 1 0

ca TD 3

Page 7

Karnaugh - De Morgan

Exercices n° 6 - Tableau à 4 variables

la solution de cet exercice à la page 21 vous venez de la page 22 la solution de cet exercice à la page 23 vous venez de la page 24

3) TABLEAU DE KARNAUGHA4 VARIABLESexercice n° 6 : _ représenter par des tableaux de Karnaugh les tables de vérité :

_on peut : - reporter ligne par ligne - reporter les cas 1 compléter par des 0 - reporter les cas 0 d'abord s'ils sont moins nombreux et compléter par des 1. _ la aussi, on doublele nombre de cas par rapport à celui à

3 variables.

J

0 0 0 0

b

0 1 0 0

caN

1 1 1 0

b

0 1 1 0

ca a b c G H I J K

0 0 0 1 0 1 0 1

0 0 1 0 0 1 1 1

0 1 0 0 1 1 0 0

0 1 1 1 0 0 0 1

1 0 0 1 0 0 0 1

1 0 1 0 0 0 1 0

1 1 0 0 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1 0 0

b ca d=1 d=0 TD 3

Page 8

Karnaugh - De Morgan

Tableau de karnaugh à 4 variables

_ les mêmes remarques pour les tableaux précédents peuvent s'appliquer au tableau à 4 variables. _ les parties hachurées doivent être considérées comme jointives. remarque : Important :_ Dans un tableau à 4 variables: il y a 2 cases soit 16 cases - 1 case est définie par la combinaison de 4 variables - 2 cases sont définies par la combinaison de 3 variables - 4 cases sont définies par la combinaison de 2 variables - 8 cases sont définies par la combinaison de 1 variable - 16 cases sont définies par la combinaison de 0 variable _ les appellations et l'ordre a, b, c, sont arbitraires. Seule compte la disposition des différentes variables.4 a = 0a = 0 b ca = 1 d b=0 b=1 b=0 TD 3

Page 9

Exercice n° 7Karnaugh - De Morgan

Voici maintenant un exercice

_ écrire l'équation correspondant à chacun des tableaux : exercice n° 7 : _ rechercher les groupements de 2, 4, 8 cases, les plus larges possibles. la solution de cet exercice à la page 24 A

0 0 1 1

b

0 1 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1c

a dB

0 0 0 0

y

1 1 0 0

1 1 0 0

1 1 0 0z

w x C

1 1 1 0

c

0 1 0 0

0 1 1 0

0 1 1 0b

a dD

0 1 1 0

s

0 1 1 1

1 0 0 1

0 0 0 0h

p m E

0 0 1 0

c

1 1 0 0

0 1 1 1

0 0 0 1a

b dF

0 0 0 1

b

1 1 1 1

0 1 0 0

1 0 0 1c

a d TD 3

Page 11

Karnaugh - De Morgan

Autres repérage des cases

Vous venez de la page 26

5)AUTRE REPERAGE DES CASES

OU _ avec deux variables nous avions deux possibilités a b 0 0 0 1 1 0 1 1 a ba b 0 1 0 1 TD 3

Page 12

Karnaugh - De Morgan

Autres repérage des cases

_ il en est de même avec 3 ou 4 variables : _ à l'ordre 00, 01, 11, 10 _ un seul chiffre doit changer d'une colonne à la voisine * 01 dans la colonne signifie : a = 0 b = 1 soit .b * la 8ème ligne de la table se lit : a b cAttention : a 1 1 1 * la 5ème ligne de la table se lit : a b c _ Inversement, lecture du tableau : a b c

1 0 0 a

0 1 0

0 1 1 b ( c indifférent )

0 0 1

0 1 1 c ( b indifférent )1 0 0

b c a a

Feuray

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