lnx = +∞ 2) Le résultat général se déduit facilement de celui concernant la fonction exponentielle de base e et de lim x
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1 Fonctions élémentaires Les résultats suivants font référence dans de très nombreuses situations 1 1 Limite en +∞ et −∞ f(x) xn 1 xn √ x 1 √ x ln(x) ex lim
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La fonction ln est continue sur 0;+∞⎤⎦⎡⎣ , donc pour tout réel a > 0, on a : lim x→a lnx = lna Donc par composée de limites, en posant X = lnx : lim x→a ln x
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ln(x)/x = 0 lim x→−∞ xnex = 0 lim x→+∞ ex/xn = +∞ lim x→+∞ ln(x)/xn = 0 Dérivées Fonctions usuelles Fonctions usuelles R`egles de dérivation Exemples
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La fonction logarithme népérien est continue et strictement croissante sur ]0, +∞[ • Limites aux bornes du domaine : lim x→0 x>0 ln(x)=−∞
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lim ln x + → = −∞ Conséquence graphique : l'axe des ordonnées est une asymptote à la courbe représentant ln La preuve de ce théorème ➀ La limite de ln
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La fonction ln étant croissante, si x ≥ 2n on a lnx ≥ ln 2n Donc lnx est aussi grand que l'on veut en prenant x assez grand, c'est-à-dire que x → +∞ lim ln x = +
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x > 0 et y = ln(x) ⇔ ey = x Si on pose u(x) = f(x) − ln(x), ∀x ∈ ]0, +∞[, lim x→ +∞ ln(x) xn = 0 On retiendra la règle suivante : à l'infini, toute fonction
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lim x→+∞ lnx = +∞ Proposition 9 : La fonction ln a pour limite −∞ en 0 : lim x→ 0 lnx = −∞ L'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe
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ln x = 0 et par conséquent la fonction ln est continue en 1 • Démontrons que la fonction ln est dérivable en 1 , pour cela cherchons lim h → 0 ln (
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