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lim x ln x 0 + → = En d'autres termes, ln est la plus faible de toutes les fonctions connues en terminale La preuve de ce théorème ➀ La limite de ln(x)/x en + 

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lim x→0 x0 x ln(x) = 0 ; lim x→0 x>0 xn ln(x) = 0 5 2 Fonction exponentielle

[PDF] EXERCICE 4 Partie A 1 • lim x = 0 et lim x ln x = 0 - Maths-francefr

x ln x = 0 Donc lim x→0 x>0 g(x) = 0 • Pour tout réel x>0, g(x) = x(1 - ln x) lim La fonction x ↦→ x ln x est dérivable sur ]0, +o[ en tant que produit de fonctions 

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ln: 0;+∞ →ℝ x lnx Remarques : - Les fonctions exp et ln sont des fonctions Donc par composée de limites, en posant X = lnx : lim x→a ln x − lna x − a = lim

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lim ln (1 + h) h = 1 ou encore x→0 lim ln (1 + x) x = 1 ○ Pour déterminer x→+∞ lim ln x x , posons X = ln x on a alors eX = x Lorsque x tend vers +∞ , ln x tend 

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CORRECTION Exercice 11 1°) a) Pour étudier la continuité de f en 0, cherchons x→0 lim f(x) Pour x > 0 on a f(x) = x(1 - ln x) = x - x ln x On sait (résultat du 

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On rappelle que : lim t→+∞ ln(t) t =0 En déduire que lim x→0 xln(x)=0 1 b Calculer la limite de g(x) lorsque x tend vers 0 2 a Démontrer que,pour tout réel x 

[PDF] FORMULAIRE

lim x→−∞ ex = 0 lim x→+∞ ex = +∞ lim x→0 ln(x) = −∞ lim x→+∞ ln(x)=+∞ lim x→0 x ln(x) = 0 lim x→+∞ ln(x)/x = 0 lim x→−∞ xex = 0 lim x→+∞ ex/x = +∞

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lim x→0 ln(1 + x)=0 Corrigé : Par définition de la limite, l'affirmation se traduit par Donc par composition des limites on a : lim x→0 sin(x ln x) x ln x = lim y→0

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(4) lim x→+∞ lnx x = 0 Preuve 1) Les fonctions logarithmes étant toutes xln x = 0 et lim x→0+ xlnx = 0 Remarques 1) On traduit souvent ce résultat en 

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Fiche technique sur les limites

1Fonctionsélémentaires

Les résultats suivants font référence dans de très nombreuses situations.

1.1Limiteen+1et1

f(x)x n1 x npx1pxln(x)e xlim x!+1f(x)+10+10+1+1lim x!1f(x)npair+1 nimpair10non défininon défininon défini0

1.2Limiteen0

f(x)1 x n1pxln(x)lim x!0x>0f(x)+1+11 lim x!0x<0f(x)npair+1 nimpair1non défininon défini2Asymptotesparallèlesauxaxes Résultat surfInterprétation géométrique sur la courbeCflim x!1f(x)=lLa droitey=lest asymptote horizontale àCflim

x!af(x)=1La droitex=aest asymptote verticale àCf3Opérationsurleslimitesetformesindéterminées

3.1Sommedefonctions

Sifa pour limitelll+11+1Siga pour limitel

0+11+111

alorsf+ga pour limitel+l0+11+11F. Ind.

Paul Milan 1 sur

3

Terminale ES

3.2Produitdefonctions

3.2Produitdefonctions

Sifa pour limitell,001

Siga pour limitel

0111
alorsfga pour limitell01*F. ind.1**Appliquer la règle des signes

3.3Quotientdefonctions

Sifa pour limitell,00l11

Siga pour limitel

0,0001l1

alors fg a pour limitel l

01*F. ind.01*F. ind.

*Appliquer la règle des signes

4Polynômesetlesfonctionsrationnelles

4.1Fonctionpolynôme

Théorème 1Un polynôme a même limite en+1et1que son monôme du plus haut degré.

Si P(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0x0alors

lim Théorème 2Une fonction rationnelle a même limite en+1et1que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénominateur.

Si f(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0x0b

mxm+bm1xm1++b1x+b0x0alors lim x!+1f(x)=limx!+1a nxnb mxmetlimx!1f(x)=limx!1a nxnb mxmPaul Milan 2 sur3 Terminale ES

4.3Asymptoteoblique

4.3Asymptoteoblique

Théorème 3Dans une fonction rationnelle lorsque le degré du polynôme du numé- rateur est égale à celui de son dénominateur plus un, alors la représentation de cette fonctionCfadmet une asymptote oblique(D)en+1et1.

Soit f(x)=P(x)Q(x)et dP=dQ+1

Soit la droite(D)d"équation y=ax+b alorslimx!1[(f(x)(ax+b)]=05Fonctionslogarithmeetexponentielle

5.1Fonctionlogarithme

Comparaison de la fonction logarithme avec la fonction puissance en+1et en0.

En+1limx!+1ln(x)x

=0;limx!+1ln(x)x n=0

En0 limx!0x>0xln(x)=0;limx!0x>0x

nln(x)=0

5.2Fonctionexponentielle

Comparaison de la fonction exponentielle avec la fonction puissance en+1et en1.

En+1limx!+1e

xx = +1;limx!+1e xx n= +1 En 1limx!1xex=0;limx!1xnex=0Paul Milan 3 sur3 Terminale ESquotesdbs_dbs43.pdfusesText_43