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lim x ln x 0 + → = En d'autres termes, ln est la plus faible de toutes les fonctions connues en terminale La preuve de ce théorème ➀ La limite de ln(x)/x en +
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lim x→0 x0 x ln(x) = 0 ; lim x→0 x>0 xn ln(x) = 0 5 2 Fonction exponentielle
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x ln x = 0 Donc lim x→0 x>0 g(x) = 0 • Pour tout réel x>0, g(x) = x(1 - ln x) lim La fonction x ↦→ x ln x est dérivable sur ]0, +o[ en tant que produit de fonctions
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lim ln (1 + h) h = 1 ou encore x→0 lim ln (1 + x) x = 1 ○ Pour déterminer x→+∞ lim ln x x , posons X = ln x on a alors eX = x Lorsque x tend vers +∞ , ln x tend
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On rappelle que : lim t→+∞ ln(t) t =0 En déduire que lim x→0 xln(x)=0 1 b Calculer la limite de g(x) lorsque x tend vers 0 2 a Démontrer que,pour tout réel x
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lim x→−∞ ex = 0 lim x→+∞ ex = +∞ lim x→0 ln(x) = −∞ lim x→+∞ ln(x)=+∞ lim x→0 x ln(x) = 0 lim x→+∞ ln(x)/x = 0 lim x→−∞ xex = 0 lim x→+∞ ex/x = +∞
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lim x→0 ln(1 + x)=0 Corrigé : Par définition de la limite, l'affirmation se traduit par Donc par composition des limites on a : lim x→0 sin(x ln x) x ln x = lim y→0
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(4) lim x→+∞ lnx x = 0 Preuve 1) Les fonctions logarithmes étant toutes xln x = 0 et lim x→0+ xlnx = 0 Remarques 1) On traduit souvent ce résultat en
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