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Devoir maison 1
Exercice 1 :
Factoriser sur et sur les polynômes suivants : a) b) c) , sachant qu'il y a une racine évidente multiple.Corrigé
a) est la décomposition de dans car est la décomposition de dansAutre méthode : on résoud dans .
Il y a 4 solutions, , , ,
La décomposition dans est :
La décomposition dans est :
b) actorisation dans estMais ne peut pas être irréductible dans car le dégré est ni 1, ni 2. Pas plus dans car son degré
De plus ce qui
Ici la première méthode ne donnera rien de simple , se décompose facilement en , mais pour décomposer beaucoup plus délicat, il faut utiliser une bonne ruse, allons-y et sont deux polynômes irréductibles dans car leur discriminant sont négatifs. Donc la décomposition de dans est : Pour la décomposition dans il suffit de trouver les racines complexes de etLe discriminant de est , ses racines sont
et .Le discriminant de est , ses racines sont
et . Autre méthode, on cherche les racines réelles et complexes de avecCe qui donne , , , , , , ,
La décomposition dans est :
Pour la décomposition dans , on regroupe les conjugués c) donc donc donc donc Donc est racine exactement, on peut diviser par Donc et sur .Exercice 2 :
Soita) Sachant qu'il y a une racine complexe (non réelle) double , déterminer toutes les racines de en
fonction de.b) Écrire la décomposition de sur en fonction de , puis développer cette expression et en
déduire. c) Factoriser le polynôme sur et sur .Corrigé
a) Cela a non réel est racine double alors est aussi racine double, cela nous donne 4 racines, or le degré de est 4 donc on les a toutes. et que donc on avait toutes les racines. b) Car DoncEn identifiant avec
On trouve que :
On déduit de la deuxième ligne que , donc et enfin Finalement ou , mais seconde expression est le conjugué de premier donc le deux racines double de sont et c) est la décomposition dans .Dans ,
Exercice 3 :
Déterminer les racines réelles et complexes du polynôme :En déduire sa factorisation dans et dans .
Corrigé
Or avec
Ce qui donne , , , , ,
Les 5 racines de sont , , , et .
La décomposition dans est :
La décomposition dans est :
En général vous avait fait quelque chose du genre : Ce qui montre directement que nest pas irréductible.Exercice 4 :
Soient et deux polynômes définis par :
etDéterminer le PGCD de et et en déduire les racines communes de et ainsi que leur multiplicité.
Donc Les racines complexes communes à et sont 1 de multiplicité 1 et de multiplicité 2.quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27