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Factorisation de polynômes de degré 3Théorème (admis)

Si un polynômePde degré 3 admet une racine réelle®, alors ce polynôme est factorisable par (x¡®).

on a alors :P(x)AE(x¡®)£Q(x) oùQ(x) est un polynôme de degré 2.Utilisation :Le polynômeP(x)AEx3¡4x2¡7xÅ10 admet comme racine évidente le nombre 1.

On peut donc le factoriser par (x¡1), ainsi, on sait qu"il existe un polynômeQde degré 2 tel que, pour tout réelx,P(x)AE

(x¡1)£Q(x).

Détermination du polynômeQ.

Première méthode :identification des coefficients. Cette méthode utilise le théorème suivant :

Théorème (admis)

Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont le même degré et les mêmes coefficients.CommeQest un polynôme de degré 2, il s"écrit sous la formeQ(x)AEax2ÅbxÅc.

On a donc, (x¡1)£Q(x)AEax3Åbx2Åcx¡ax2¡bx¡cAEax3Å(b¡a)x2Å(c¡b)x¡c.

On en déduit que :8>>>><

>>>:aAE1 b¡aAE¡4 c¡bAE¡7

¡cAE10donc que8

:aAE1 bAE¡3 cAE¡10 Le polynômePs"écrit donc :P(x)AE(x¡1)(x2¡3x¡10).

Exercice :finir de factoriserP.

Deuxième méthode :division euclidienne de polynômes. x

3¡4x2¡7xÅ10x¡1X

3¡x2¡3x2¡7xÅ10x

2¡3x¡10

¡3x2Å3x¡10xÅ10¡10xÅ100

NB : ces méthodes fonctionnent avec des polynômes de degré supérieur à 3. Exercice 1 :factorisez au maximum les polynômes suivants :

[PDF] [PDF] Factorisation de polynômes de degré 3

[PDF] Devoir maison 1 Exercice 1 : Factoriser sur et sur les polynômes