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Chapitre 4

Travail et puissance

4.1 Travail d"une force

4.1.1 Définition

En physique, le travail est une notion liée auxforceset auxdéplacementsde leurs points d"application.

Considérons une force constante

?Fdont le point d"application subit un déplacement rectiligne deAversB. Nous allons, tout d"abord, définir le travail dans deux cas particuliers. •Le travailWd"une force?Forientée dans la direction et dans le sens du déplacement (figure 4.1 ) est défini par l"expression :

W(?F) =F AB.

L"unité du travail est lejoule(J) :1J = 1Nm.AB

FFigure4.1 - Force parallèle au déplacement

•Une force perpendiculaire à la direction du déplacement ne travaille pas.

Lorsque la force

?Fn"est ni parallèle, ni perpendiculaire au déplacement, il faut la décom- poser en une composante tangentielle?FTet une composante normale?FNau déplacement (figure 4.2 D"après la définition ci-dessus, ce n"est que la composante ?FTqui travaille. Le travail de la force?Flors du déplacement deAversBest : W

AB(?F) =FTAB=F ABcosα.

L"expressionF ABcosαreprésente le produit scalaire des vecteurs?Fet-→AB.

2BCTravail et puissance71AB

F F T F N !Figure4.2 - Décomposition d"une force DéfinitionLe travail d"une force constante?Fpour un déplacement rectiligne-→ABde son point d"application est égal au produit scalaire des vecteurs ?Fet-→AB:W

AB(?F) =?F·-→AB=F ABcosα(4.1)

oùαest l"angle formé par les deux vecteurs?Fet-→AB. Remarque: on retrouve bien la définition du travail dans le cas particulierα= 0.

4.1.2 Le travail est une grandeur algébrique

Selon la valeur de l"angleα, avec0≤α≤180◦, le travail d"une force est positif, négatif ou

nul : α <90◦:cosα >0 =?WAB(?F)>0(figure4.3a ).

La force

?Ffavorise le mouvement, son travail est ditmoteur. α= 90◦:cosα= 0 =?WAB(?F) = 0(figure4.3b ).

La force

?Fne travaille pas. α >90◦:cosα <0 =?WAB(?F)<0(figure4.3c ).

La force

?Fs"oppose au mouvement, son travail est ditrésistant. AB

F!(a) travail moteur

AB

F(b) travail nul

AB

F!(c) travail résistant

Figure4.3 - Signe du travail d"une force

Exemple 4.1Un solide descend un plan incliné de longueurd. Il est soumis à trois forces : son poids?P, la réaction?Rdu plan incliné et la force de frottement?f(figure4.4 ). Le travail du poids est moteur, le travail de la réaction est nul et le travail de la force de frottement est résistant :

W(?f) =f dcos180◦=-f d.

Cette expression est valable pour toute force de frottement constante en intensité, indépen- damment de la trajectoire.

72Travail et puissance2BCd

f P R plan incliné solideFigure4.4 - Descente sur un plan incliné Exemple 4.2Un solide de massempeut glisser sans frottement sur une piste horizontale.

Le solide est accéléré du repos à la vitessevsous l"action d"une force constante?F(figure4.5 ).

F P R déplacementFigure4.5 - Accélération sur une piste horizontale

Les forces

?Pet?Rne travaillent pas. Le travail de la force?Fest moteur et s"écrit :

W(?F) =F d

oùdest la distance parcourue pour atteindre la vitessev. Comme la force est constante, le mouvement est rectiligne et uniformément accéléré : d=12 at2.

L"expression du travail devient :

W(?F) =F12

at2. L"accélération et la force sont reliées par la deuxième loi de Newton : F=ma d"où :

W(?F) =ma12

at2=12 m(at)2 et avecv=at:W(?F) =12 mv2(4.2) Le travail ne dépend que de la valeur finale de la vitesse et de la masse du solide. L"expression reste valable même si la force n"est pas constante.

2BCTravail et puissance75Travail du poidsLorsque le centre de gravitéGd"un solide se déplace d"un pointAd"al-

titudezAà un pointBd"altitudezB, le travail du poids de ce solide est indépendant de la trajectoire suivie parGentreAetB. Il est égal au produit de l"intensitéPde ce poids par la diminution d"altitudezA-zB. On aboutit au même résultat en utilisant l"expression ( 4.3 ) et la distributivité du produit scalaire par rapport à l"addition vectorielle : W

AB(?P) =X

i?P·δ?si=?P·X iδ?s i.

La somme vectorielle des déplacements élémentairesδ?siest égale au vecteur déplacement

résultant-→AB:W

AB(?P) =?P·-→AB(4.5)

Travail du poidsLorsque le centre de gravitéGd"un solide se déplace d"un pointAà un pointB, le travail du poids de ce solide est indépendant de la trajectoire suivie parGentre AetB. Il est égal au produit scalaire du poids?Pet du déplacement-→AB.

Généralisation

Le raisonnement qui a conduit à la relation (

4.5 ) reste valable pour toute force constante.

Le travail d"une force constante

?Fdont le point d"applicationMpasse d"un pointAà un pointBne dépend pas de la trajectoire suivie parMentreAetB. Il est donné par l"expression : W

AB(?F) =?F·-→AB.

4.1.5 Force variable sur une trajectoire rectiligne

Méthode de l"aire

Nous allons nous limiter au cas d"une force parallèle au déplacement. Prenonsxcomme abscisse de son point d"application sur l"axe du déplacement. La seule coordonnée non nulle de la force estFx. Le travail est : W

AB(?F) =XF

xδx.

Le travail peut être évalué l"aide de la méthode de " l"aire ». ReprésentonsFxen fonction de

x(figure4.9 ).

L"aire du rectangle élémentaire de largeurδxet de longueurFxestFxδx. Cette aire est égale

au travail de la force sur le déplacement élémentaireδx. Le travail total entreAetB, avec

x A< xB, est égal à l"aire de la surface colorée entrexAetxB.

Le calcul du travail revient donc à déterminer l"aire de la surface délimité par la courbe

représentant la force en fonction de la position de son point d"application.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3