Il reste une matrice triangulaire supérieure, avec des 1 sur la diagonale Celle-ci est de déterminant 1 Exercice 3 - Sous forme factorisée - L1/Math Sup - ⋆
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Soient A = (ai,j)1⩽i,j⩽n une matrice carrée et B = (bi,j)1⩽i,j⩽n où bi,j Exercice 3 ***I Déterminants de VANDERMONDE Correction de l'exercice 1 △
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Montrer que det(I + A) = 1 Exercice 49 [ Corrigé ] Soient A,B,C trois matrices carrées d'ordre n Calculer le déterminant D =
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En déduire que A est inversible et calculer son inverse 1 Page 2 2 Exercice 6 Inverser les matrices
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Dans cet exercice, on travaille avec des polynômes de matrices : pour P(X) = d ∑ Soit n ∈ N∗ et (x1, ,xn) ∈ Kn Le déterminant de Vandermonde de ces n
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aii, • la matrice identité a pour déterminant dét I = 1 Solution : On it`ere la définition du déterminant sur des matrices dont la dimension diminue jusqu'`a ce que l
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Exercices - Déterminants: corrigéPetits calculs
Exercice 1--L1/Math Sup-?
On ne change pas un déterminant en ajoutant à une ligne une combinaison linéaire des autres. On ajoute donc à la troisième ligne 10 fois la seconde et 100 fois la première. On obtient : ???????5 2 1 4 7 6546 273 169?
Maintenant, tous les éléments de la dernière ligne sont divisibles par 13, et le déterminant vaut :
13×?
??????5 2 1 4 7 642 21 13?
C"est bien un entier divisible par 13!
Exercice 2--L1/Math Sup-?
On somme tout sur la première ligne. On obtient une ligne composée de1+a+b+cqu"onpeut extraire du déterminant. On retire ensuitebfois la première ligne à la seconde, etcfois
la première ligne à la troisième. Il reste une matrice triangulaire supérieure, avec des 1 sur la
diagonale. Celle-ci est de déterminant 1. Exercice 3- Sous forme factorisée-L1/Math Sup-? On commence par faire apparaitre des 0 sur la première colonne, puis on transforme la troisième colonne en utilisant la formule cos2b-cos2a= 2cos2b-2cos2a.On trouve successivement :
D=? ??????1 cosacos2a0 cosb-cosacos2b-cos2a
0 cosc-cosacos2c-cos2a?
??????1 cosacos2a0 cosb-cosa2cos2b-2cos2a
0 cosc-cosa2cos2c-2cos2a?
On obtient alors, en utilisant quecosb-cosa(resp.cosc-cosa) est un facteur commun de la deuxième (resp. troisième) ligne : D=? ??????1 cosacos2a0 cosb-cosa2(cosb-cosa)(cosb+ cosa)
0 cosc-cosa2(cosc-cosa)(cosc+ cosa)?
= (cosb-cosa)(cosc-cosa)? ??????1 cosacos2a0 1 2(cosb+ cosa)
0 1 2(cosc+ cosa)?
On fait apparaitre un dernier zéro, puis on développe le déterminant d"une matrice triangulaire
supérieure : D=? ??????1 cosacos2a0 1 2(cosb+ cosa)
0 0 2(cosc-cosb)?
??????= 2(cosb-cosa)(cosc-cosa)(cosc-cosb).http://www.bibmath.net1 Exercices - Déterminants: corrigéGrands calculs Exercice 4- Déterminant de Vandermonde-L1/L2/Math Sup/Math Spé-?? Nous allons procéder par récurrence surn. On commence par remarquer que, pourn= 2, on aV(α1,α2) =α2-α1. Nous allons donc prouver que :V(α1,...,αn) =?
Cette formule est vraie pourn= 2, et supposons là vraie au rangn-1. Si deux desαisontégaux, la formule est trivialement vraie, les deux termes étant égaux à 0. On suppose donc
que lesαisont tous distincts, et on considèreP(x) =V(α1,...,αn-1,x). Le développementde ce déterminant par rapport à la dernière colonne prouve quePest un polynôme de degré
déterminant possède deux colonnes identiques et est donc nul. Ces valeurs sont donc les racines
deP(il y en a exactementn-1), etPse factorise sous la forme : P(x) =V(α1,...,αn-1)(x-α1)...(x-αn-1). Il suffit de choisirx=αnpour obtenir le résultat.Exercice 5- Fonction affine-L1/Math Sup-??
1. Retranchons la première colonne à toutes les autres colonnes. Alors le déterminant de
A(x)est égal au déterminant d"une matrice dont la première colonne est constituée par des termes du typeai,1+xet tous les autres coefficients sont des constantes (ne dépendent pas dex). Si on développe ce déterminant par rapport à la première colonne, on trouve que det(A(x)) =n? i=1(-1)i(ai,1+x)det(Ai) oùAiest une matrice à coefficients réels. D"où le résultat.2. SoitD(x)le déterminant de la matrice obtenue en ajoutantxà chacun des coefficients.
D"après la question précédente, on sait queD(x) =ax+bpour des réelsaetb. De plus,D(-a)est le déterminant d"une matrice triangulaire inférieure dont les éléments diagonaux sontαi-a. D"oùD(-a) =n?
i=1(αi-a).De même, on a
D(-b) =n?
i=1(αi-b). aetcse déduisent alors facilement par la résolution d"un système2×2: ?a=D(-b)-D(-a)a-b b=aD(-b)-bD(-a)a-b.http://www.bibmath.net2 Exercices - Déterminants: corrigéExercice 6- Imbriqué...-L1/Math Sup-?? NotonsD(s1,...,sn)ce déterminant. Prouvons par récurrence surnqueD(s1,...,sn) =s1(s2-s1)(s3-s2)...(sn-sn-1).
On vérifie cette relation facilement pour les premières valeurs den. Si la propriété est vraie au
rangn-1, prouvons la au rangnen retranchant la première colonne à toutes les autres. On trouveD(s1,...,sn) =?
10...0
s1s2-s1... s2-s1............
s1s2-s1... sn-s1?
2-s1... ... s2-s1
s2-s1s3-s1... s3-s1............
s2-s1s3-s1... sn-s1?
On en déduit que
D(s1,...,sn) =s1D(s2-s1,s3-s1,...,sn-s1).
Utilisant l"hypothèse de récurrence, on trouve D(s1,...,sn) =s1(s2-s1)(s3-s1-s2+s1)...(sn-s1-sn-1+s1) =s1(s2-s1)(s3-s2)...(sn-sn-1). Exercice 7- Déterminant tridiagonal-L2/Math Spé/Oral Mines-?? On noteΔn(x)le déterminant recherché. On remarque, en écrivant la formule qui donnela définition du déterminant, queΔn(x)est un polynôme de degré exactement égal à2n. De
plus, le terme enx2nne peut s"obtenir qu"en faisant le produit des termes diagonaux. On en déduit que le coefficient devantx2nest égal à 1. Calculons ensuiteΔn(x)en effectuant un développement suivant la première ligne. On trouve n(x) = (1 +x2)Δn-1(x) +x?0 1 +x2-x0...0
...-x1 +x2-x...... 0 .........0 ......-x1 +x2-x0 0...0-x1 +x2?
On continue en effectuant un développement suivant la deuxième colonne du déterminant res- tant. On trouve n(x) = (1 +x2)Δn-1(x)-x2Δn-2(x). Pour trouver vraiment la valeur deΔn(x), on calcule les premières itérations. On a1(x) = 1 +x2,Δ2(x) = 1 +x2+x4,...
On conjecture queΔn(x) = 1 +x2+···+x2n. Démontrons ceci par récurrence double. La propriété est vraie aux rangsn= 1etn= 2. Si elle est vraie simultanément aux rangsn-2etn-1, la formule de récurrence précédente montre qu"elle est aussi vraie au rangn. On obtient
doncΔn(x) = 1 +x2+···+x2n. Exercice 8- Tridiagonal-L1/Math Sup-??http://www.bibmath.net3Exercices - Déterminants: corrigé1. On développe le déterminant par rapport à la première colonne. On trouve :
n+2=aΔn+1-c? c a b0...0c a b...
0 0 On développe encore le second déterminant par rapport à la première ligne, et on trouve le résultat demandé : n+2=aΔn+1-bcΔn.2. On va procéder par récurrencedouble. Précisément, on va prouver par récurrence sur
n≥1l"hypothèseHnsuivante : H n: "Δn=(n+1)an2 netΔn+1=(n+2)an+12 n+1."PuisqueΔ1=aetΔ2=a2-bc=3a24
,H1est vraie. Supposons l"hypothèse vraie au rang net prouvons-la au rangn+ 1. On a directementΔn+1=(n+2)an+12 n+1. De plus, n+2=aΔn+1-bcΔn=(n+ 2)an+22 n+1-a24×(n+ 1)an2
n=(n+ 3)an+22 n+2.Ceci prouveHn+2.
Exercice 9- Déterminant circulant-L1/L2/Math Sup/Math Spé-??Effectuons le calcul demandé. On obtient que la k-ième colonne deAMest égale à la k-ième
colonne deMmultipliée para1+a2ωk-1+···+anω(k-1)(n-1). En notantP(x) =a1+a2x+···+anxn-1,
on a donc d"une part det(AM) =P(1)P(ω)...P(ωn-1)det(M) et d"autre part det(AM) = det(A)det(M). Puisque le déterminant deMest non nul (c"est un déterminant de Van der Monde), on a : det(A) =P(1)P(ω)...P(ωn-1).Exercice 10- D"après CCP-L2/Math Spé-??
On va prouver par récurrence surnque ce déterminant vaut1 +x1y1+···+xnyn= Δn. La formule est vraie au rangn, supposons-la vraie au rangn-1et prouvons-la au rangn. Par multilinéarité du déterminant, on a : n=? x2y11 +x2y2...0
x ny1... ...1? x2y11 +x2y2... x2yn............
x ny1... ... xnyn.?Exercices - Déterminants: corrigéEn développant suivant la dernière colonne, on trouve que le deuxième déterminant vautΔn-1.
Pour le second, on peut factoriser parxndans la dernière ligne et paryndans la dernière colonne. On trouve que : n= Δn-1+? x2y11 +x2y2... x2............
y1... yn-11?
On effectue alorsC1-y1Cn→C1,C2-y2Cn→Cn,..., et on trouve n= Δn-1+?0 1... x2............
0... ...1?
n-1+xnyn. Ceci achève la preuve de l"hypothèse de récurrence, et donc du résultat.Exercice 11--L1/Math Sup-??
On metien facteur dans chaque ligne de la matrice. On voit alors apparaitre le déterminant de VanderMondeV(1,2,...,n). Le déterminant recherché vaut donc : D=n!? =n!? =n!? = 1!2!...n!Calculs théoriques
Exercice 12--L1/Math Sup/L2/Math Spé-?
On a :
(car l"image deAB, vue comme application linéaire, est contenue dans l"image deA). Mainte- nant, le théorème du rang garantit quePuisqueAB? Mn(R), on adet(AB) = 0.
Exercice 13- Déterminant de la transposition-L1/Math Sup/L2/Math Spé-?? M n(R)est la somme directe du sous-espace vectoriel des matrices symétriques et des ma-trices antisymétriques. Soit(A1,...,Ap)et(B1,...,Bq)une base respective de l"espace vectorielhttp://www.bibmath.net5
Exercices - Déterminants: corrigédes matrices symétriques et antisymétriques.(A1,...,Ap,B1,...,Bq)forme une base deMn(R),
et il suffit de calculer le déterminant dans cette base. Maisφ(Ai) =Aitandis queφ(Bj) =-Bj. On a doncdet(φ) = (-1)q. Il suffit ensuite de se souvenir quep=n(n+1)2 , ouq=n(n-1)2Comatrice et formules de Cramer
Exercice 14--L1/Math Sup/L2/Math Spé-??
Trouvons d"abord une condition nécessaire. PuisqueM?Mn(Z),det(M)?Z. D"autre part, siM-1?Mn(Z), son déterminant est un entier et doncdet(M-1) =1detM?Z. Ceci entraine quedet(M) =±1. Réciproquement, sidet(M) =±1, alorsMest inversible. De plus, toutes les entrées de sa comatrice, qui sont obtenus comme déterminants de la matrice, sont des entiers. De la formule de Cramer, on déduit queM-1=1det(M)tcomat(M)est une matrice à coefficients dansZ. Exercice 15- Rang de la comatrice-L2/Math Spé-??? a. - SiAest inversible, la formule de Cramertcomat(A)A= det(A)Inprouve quecomat(A) est inversible.- Si le rang deAest inférieur ou égal à n-2, puisque la comatrice est fabriquée à partir de
déterminants extraits d"ordren-1, la comatrice est nulle. - Si le rang deAvautn-1, notonsu(resp.v) l"endomorphisme associé àA(resp. à tcomat(A)) dans la base canonique deRn. Nécessairement, on aIm(u)?ker(v), et donc la dimension du noyau devest au supérieur àn-1. Ce n"est pasn, puisque la comatrice n"est pas la matrice nulle (un des déterminants extraits d"ordren-1deAest non nul). Le théorème du rang prouve alors que le rang de la comatrice est1. b. - Le casA= 0donne une solution. - Dans le cas où le rang deAest compris entre1etn-2, l"étude précédente montre que l"équation est impossible (sinonAserait la matrice nulle). - Si le rang deAestn-1, le rang de la comatrice est1< n-1: l"équation est toujours impossible. - SiAest inversible, les solutions sont toutes les matricesAtelles quetAA= (detA)In. Mais on a alorsdet(tAA) = (detA)2= detA, équation qui entraîne quedetA= 1. Les solutions sont alors les matricesAvérifianttAA=In, c"est-à-dire l"ensemble des matrices orthogonales. Exercice 16- Polynôme caractéristique de la comatrice-L2/Math Spé-????On noteBla transposée de la comatrice deA, il suffit de calculer le polynôme caractéristique
deB. On suppose d"abord queAest inversible. La formule de Cramer s"écrit encore :B= det(A)A-1,
ce qui donne :B-XIn= det(A)?
A -1-XdetAIn?On noteλ1,...,λnles valeurs propres deAdansC, répétées autant de fois que leur multiplicitéhttp://www.bibmath.net6
Exercices - Déterminants: corrigépour en avoir exactementn. On rappelle que le déterminant deAvaut :
det(A) =n? j=1λ j. Par ailleurs, les valeurs propres deA-1sont les1λ j, et le polynôme caractéristique deA-1vaut donc : PA-1(X) = (-1)nn?
j=1?X-1λ
j?On obtient finalement que :
PB(X) = (-1)nn?
j=1λnjn j=1? Xλ1...λn-1λ
i? = (-1)nn? i=1( X-? m?=iλ m) Dans le cas oùAn"est pas inversible, il est bien connu que pourr >0assez petit,Ar=A+rIn est inversible, et sirtend vers 0, la suiteArtend versA. En outre, les valeurs propres deArtendent vers les valeurs propres deA. Il suffit donc d"appliquer le résultat précédent àAr, puis
de faire tendrervers 0 pour vérifier que le résultat est encore valable.Applications
Exercice 17- Inversibilité-L1/Math Sup-?
L"application linéaire associée àMαest bijective si et seulement si la matriceMαest inver-
sible, si et seulement si le déterminant deMαest non-nul. On calcule donc ce déterminant. En
ajoutantL3àL1et2L3àL2, on trouve : det(Mα) =? ??????0 4α 0 1 1 -1 1 0? ??????=-1? ????4α 1 1? ????=α-4. L"application linéaire associée àMαest donc bijective si et seulement siα?= 4. Exercice 18- Inversibilité d"une matrice à paramètres-L1/Math Sup-?Il suffit de calculer le déterminant. Il faut le calculer de façon suffisamment intelligente pour
qu"il apparaisse immédiatement sous forme factorisée. Pour la première matrice, commencerhttp://www.bibmath.net7
Exercices - Déterminants: corrigépar tout ajouter sur la première colonne. det(A) =? -1a-1 00-1a-1
-1 0-1a? a-2a-1 0 a-2-1a-1 a-2 0-1a? = (a-2)?1a-1 0
1-1a-1
1 0-1a?
= (a-2)?1a+ 1-1 1
1 0a01 1-1a+ 1?
= (a-2)? ??????a+ 1-1 1 0a01-1a+ 1?
= (a-2)a? ????a+ 1 11a+ 1?
=a(a-2)?(a+ 1)2-1?=a2(a-2)(a+ 2). La matriceAest donc inversible si et seulement sia?= 0,2,-2.Pour la matriceB, on procède de la même façon, en commençant par mettrem2-m=m(m-1)http://www.bibmath.net8
Exercices - Déterminants: corrigéen facteur sur la dernière colonne. det(B) =m(m-1)?1m-1 2m-1 1
0m m01m3m-1 0?
=m(m-1)?1m-1 2m-1 1
0m m00 1m-1?
=-m(m-1)? ??????m m1 m m0 1m-1? =-m2(m-1)? ??????m m1 1 1 0 1m-1? =-m2(m-1)? ??????m0 1 1 0 01m-1-1?
??????(C2-C1→C1) =m2(m-1)? ????0 1 m-1 1? =-m2(m-1)2 La matrice est inversible si et seulement sim?= 0,1.Exercice 19- Famille libre-L1/Math Sup-?
Puisqu"on est en dimension 3, la famille(e1,e2,e3)est une famille libre si et seulement si c"est une base. SoitMla matrice de ses trois vecteurs, ie M=( (1 1t 1t1 t1 1) La famille(e1,e2,e3)est une base deR3si et seulement si la matriceMest inversible, c"est-à-dire si et seulement sidet(M)?= 0. Mais on a ???????1 1t 1t1 t1 1? ??????t+ 2 1t t+ 2t1 t+ 2 1 1? = (t+ 2)? ??????1 1t 1t11 1 1?
= (t+ 2)? ??????1 1t0t-1 1-t
0 0 1-t?
=-(t+ 2)(t-1)2.http://www.bibmath.net9 Exercices - Déterminants: corrigéLa famille est donc une base si et seulement sit?=-2ett?= 1. Exercice 20- A quelle condition la famille est-elle libre?-L2/Math Spé-???Développant, on trouve que cette relation est équivalente à?nj=1?λj+(λ1+···+λn)αj?uj= 0.
La famille(u1,...,un)est libre, ceci est équivalent à ?j? {1,...,s}, λj+ (λ1+···+λn)αj= 0. On reformule ces conditions en tant que système d"inconnuesλ1,...,λn. ((((((((1 +α1)α1α1... α121 +α2α-2... α2...............
n... ... αn1 +αn) 1 2... n) (((((((0 0 0)solution identiquement nulle,λ1=···=λn= 0. Autrement dit, si et seulement si la matrice
A=( ((((((((1 +α1)α1α1... α121 +α2α2... α2...............
n... ... αn1 +αn)est inversible. Pour déterminer siAest inversible, on calcule son déterminant, en commençant
par retirer la dernière colonne à toutes les précédentes : det(A) =?