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Universite Paris Descartes

UFR de Mathematiques et Informatique

45, rue des Saints-Peres, 75006, Paris.Licence 1

ereannee, 2012-2013,Mathematiques et Calcul 1 (MC1)

Feuille de TD n

8 :

Matrices et determinants

Exercice 1

On considere les matrices suivantes :

A=0 @1 2 4 1 5 1

2 3 51

A B=0 @0 11 3 0

1 0 2 4 1

02 3 0 11

A Lorsqu'elles ont un sens, calculer les expressionsA+B,AB,BA,tBA,B+AB,A+AB.

Exercice 2

On considere les matrices suivantes :

A=67 5 6 B=23 2 3 C=2 1 42

Trouver les expressions deAn,BnetCnpour toutn2N.

Exercice 3

Soit la matriceA=0

@111 1 11 11 11 A

1) CalculerA2.

2) Montrer queA2=A+ 2I.

3) En deduireA1.

Exercice 4Vrai ou faux?

SoientAetBdeux matrices carrees de dimensionnn.

1) SiAest inversible etA1=BalorsBest inversible etB1=A.

2) SiAetBsont inversibles etC=ABalorsCest inversible etC1=A1B1.

3) SiAB= 0 alorsA= 0 ouB= 0.

4) (A+B)2=A2+B2+ 2AB.

5)AB+BA= 0 ssi (A+B)2=A2+B2.

6) SiA+B=AB, alorsIAest inversible.

Exercice 5

Soient les matricesJ=0

B

B@0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 01

C

CAetA=IJ=0

B

B@11 0 0

0 11 0

0 0 11

0 0 0 11

C CA.

1) Calculer les puissances successives deJ.

2) Que peut-on dire deIJ4? En deduire queAest inversible et calculer son inverse.

1 2

Exercice 6

Inverser les matrices suivantes :

A=0 @1 2 4 1 01

2 1 11

A B=0 @4 11 0 2 3

2 1 31

A Exercice 7Pour chacun des systemes lineaires suivants, repondre aux questions ci-dessous. (S1)8 :4x4yz=15

2xyz=14

3x+ 2y+z= 15(S2)8

:2x3y2z= 1 z14x+ 6y= 1

5y+z11x= 1(S3)8

:2x2y3z= 2

4y+ 3z= 5

1yx= 1

1) Mettre le systeme sous forme matricielle.

2) Appliquer la methode de Gauss Jordan pour inverser la matrice du systeme.

3) Resoudre le systeme.

Exercice 8

1) Montrer que le produit de deux matrices diagonales de dimensionnnest une matrice diagonale.

2) SoitDla matrice diagonale suivante :

D=0 B B@a

10 0 0

0a20 0

0 0a30

0 0 0a41

C CA:

Determiner l'expression deDnpour toutn2N.

Exercice 9Calculer le rang des matrices suivantes : A=0 @1 42 3 1 5

2 0 41

A B=0 @4 6 0 2

2 2 1 1

1 31 31

A C=0 B

B@4 6 4

3 021 1 2 5

2 3 21

C CAD=0 @12 2 3 6 1 2

36 411

A

Exercice 10

On considere la fonctionf:R3!R3

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