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Exercices avec corrige succinct du chapitre 1

(Remarque : les references ne sont pas gerees dans ce document, par contre les quelques??qui apparaissent dans ce texte sont bien denis dans la version ecran complete du chapitre 1)

Exercice I.1

Montrer que la somme de vecteurs et le produit d'un vecteur par un nombre reel donnent a IR 3une structure d'espace vectoriel sur IR. Solution :Prendre la denition precise du document??et verier tous ses elements en utilisant les proprietes connues des nombres reels.Exercice I.2 Montrer que la somme de polyn^omes et le produit d'un polyn^ome par un nombre reel donnent aPn (polyn^omes de degre inferieur ou egal ana coecients reels) une structure d'espace vectoriel sur IR. Solution :Prendre la denition precise du document??et verier toutes ses elements en utilisant les proprietes connues des nombres reels.Exercice I.3 Montrer que l'ensemble des polyn^omes de degre exactement egal ann'est pas un espace vectoriel. Solution :Cet ensemble n'a pas d'element nul pour l'addition puisque le polyn^ome nul n'est pas de degren.Exercice I.4 Montrer que si~xest un vecteur de IR2, alorsF=f~x; 2IRgest un sous-espace vectoriel de IR 2. Montrer que si~xet~ysont deux vecteurs de IR3, alorsF=f~x+~y; ;2IRgest un sous-espace vectoriel de IR 3. Montrer que l'espace des polyn^omesPkest un sous-espace vectoriel dePnsikn. Solution :Il est facile de montrer que la somme de deux elements deFest un element deFet que le produit d'un nombre reel par un element deFest un element deF. Ainsi, pour le deuxieme exemple, on a : (1~x+1~y) + (2~x+2~y) = (1+2)~x+ (1+2)~y; (~x+~y) =~x+~y:Exercice I.5 Montrer que siFetGsont deux sous-espaces vectoriels deEalorsF\Gest un sous-espace vectoriel deEalors queF[Gne l'est pas (en general). Solution :PourF\G, il sut de se rappeler la denition deF\G=fx2E;x2Fetx2Gget d'utiliser le fait queFetGsont des sous-espaces vectoriels. PourF[G, il faut exhiber un contre-exemple. Par exemple, siF=f(0;1); 2IRgetG= f(1;0); 2IRg,F[G=fx2E;x2Foux2Ggn'est pas un sous-espace vectoriel car la somme de deux vecteurs deF[Gtels que (0;1) et (1;0) n'est pas dansF[G.1

Exercice I.6

SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels deEet soit

H=f~x=~y+~z; ~y2F; ~z2Gg:

On note alorsH=F+Get on appelleHla somme deFetG.

Representer graphiquement un element deHlorsqueE= IR3,Fest un plan vectoriel etGune droite vectorielle (non contenue dans le plan).

Montrer queHest un sous-espace vectoriel deE.

Que vautHdans le cas particulier de la premiere question ? Que vautF[Gdans ce m^eme cas Montrer que siF\G=f~0g,~yet~zsont uniques pour un~xdonne. On dit alors queF+Gest une somme directe et on noteFG. Solution :Ces questions ne posent pas de diculte. En ce qui concerne la troisieme question, H= IR3etF[Gn'est que la reunion des vecteurs de la droite et des vecteurs du plan. Pour l'unicite de la decomposition de la derniere question (comme pour toute demonstration d'unicite), on part de deux decompositions et on demontre qu'elles sont egales.Exercice I.7 Donner une famille liee de vecteurs de IR3(donner les vecteurs par leurs composantes). Montrer que la famillef(1;0;0);(0;1;0);(0;0;1)gde vecteurs de IR3donnes par leurs compo- santes est libre. Montrer qu'elle est aussi generatrice. En vous inspirant de la question precedente, donner une famille libre et generatrice de IRn. Solution :Pour donner une famille liee, on peut prendre deux vecteurs dont l'un est un scalaire fois le premier, mais il y a une innite d'exemples simples possibles... Pour montrer que la famillef(1;0;0);(0;1;0);(0;0;1)gest libre et generatrice, il sut d'appliquer les denitions, ce qui correspond au cas particuliern= 3 de la derniere question.Exercice I.8 La familleS=f(1;1;1);(1;1;1);(p2;p2;3)gest-elle liee ?

Solution :

(1;1;1)+(1;1;1)+ (p2;p2;3) = 0,++p2 = 0 ++3 = 0,++p2 = 0 +2+(3 +p2) = 0 Il existe des coecients non tous nuls, par exemple = 1;= (p23)=2;= (p2 + 3)=2, donc la famille est liee.Exercice I.9 Montrer que la famillef1;x;x2;:::;xngde polyn^omes dePnest une base dePn. 2 Solution :On montre que la famillefx0;x;x2;:::;xngest libre et generatrice, en utilisant en particulier la denition d'un polyn^ome et plus particulierement celle du polyn^ome nul.Exercice I.10 SoitB=f~e1;:::;~engune base de l'espace vectorielEet soit~x2E. En raisonnant par l'absurde, montrer que la decomposition de~xsurBest unique, c'est-a-dire qu'il existe1,2,...,nuniques tels que ~x=1~e1+:::+n~en:

Solution :On considere deux decompositions et on utilise le fait que la familleBest libre.Exercice I.11A partir des vecteurs~x= (1;1;1) et~y= (1;1;1) de IR3, trouver une vecteur~ztel que la famille

f~x;~y;~zgsoit une base de IR3. Solution :On choisit un vecteur dont les deux premieres composantes sont dierentes par

exemple~z= (1;0;0), puis on verie que les trois vecteurs de la famille ainsi obtenue sont lineairement

independants. Cela sut alors puisque l'on conna ^it la dimension de IR3, qui est egale a trois.Exercice I.12 Verier rapidement que les applications suivantes sont lineaires. Calculer leur noyau et leur image.

1.u1: IRn!IR, denie par

u

1(x) =a1x1+a2x2+:::+anxn

oua1,a2, ...,ansont des reels donnes.

2.u2:Pk!Pk1, denie par

u

2(p) =p0;

oup0est la derivee du polyn^omep.

Solution :

1. Keru1=fx2IRn; a1x1+a2x2+:::+anxn= 0g, Imu1= IR.

2. Keru2=P1, l'ensemble des polyn^omes constants, et Imu2=Pk1.Exercice I.13

SoitFetGdeux sous-espaces vectoriels deEtels queE=F+GetF\G=f~0g(voir l'exercice??). On a montre que si~x2E, alors il existe deux vecteurs uniques~y2Fet~z2Gtels que~x=~y+~z.

Soit l'application

u:E!F;telle queu(~x) =~y:

1. Montrer queuest une application lineaire.

2. Calculer le noyau et l'image deu.

3. Donner leur dimension et verier le resultat

dimE= dim Ker (u) + dim Im (u): 3 Solution :Verier les proprietes de l'application lineaire, puis montrer que Keru=Get Imu=F, ce qui donne le resultat de la derniere question.Exercice I.14 On noteula rotation d'un angledans IR2, utiliser les proprietes geometriques pour traiter l'exercice

1. Montrer que l'applicationuest lineaire.

2. Quel est son noyau, quelle est son image ?

3. Montrer qu'elle est bijective.

4. Donner l'application inverse et en deduire qu'elle est lineaire et bijective.

Solution :Aidez-vous d'une gure et tout est evident. u(~V+~V0) =u(~V) +u(~V0); u(~V) =u(~V);Keru=f~0g;Imu= IR2: L'application inverse d'une rotation d'angleest un rotation d'angle, c'est donc une application lineaire bijective, puisque vous venez de le demontrer pour la rotation d'angle.Exercice I.15 Montrer que la matrice de l'applicationiE:E!Eest la matrice identiteIlorsque l'on munitEde la m^eme base. Solution :Soitf~e1;:::;~engla base deE. Par denition d'une matrice associee a une application lineaire, la jeme colonne de la matrice associee aiEest constituee des composantes deiE(~ej) =~ej

dans la basef~e1;:::;~eng. Les elements de cette jeme colonne sont donc tous nuls sauf le jeme element

qui vaut 1. Cette matrice est donc bien la matrice identite.Exercice I.16 On suppose queE=F=P2, on munitP2de la base canoniquef1;x;x2get on denitutelle que u(p) =p0. Determiner alors la matrice deu. Solution :u(1) = 0,u(x) = 1 etu(x2) = 2x. La matrice est donc A=0 @0 1 0 0 0 2

0 0 01

A :Exercice I.17 Calculer le produitAB( etBAlorsque cela est possible) dans les cas suivants :

1.A=0 1

0 0 ,B=1 0 0 0 2.A=0 @1 21 0 1 1 11 01 A ,B=0 @1 0 1 1 111
A

Solution :

4

1.AB=0 0

0 0 ,BA=0 1 0 0

2.AB=0

@2 3 0 0 211
A et le produitBAest impossible car le nombre de colonnes de B est dierent du nombre de lignes deA.Exercice I.18 Montrer, en utilisant le produit de matrices, que la composee de deux rotations planes d'angles1et

2est une rotation plane d'angle1+2.

Solution :Vous eectuez le produit et vous utilisez les formules trigonometriques bien connues : cos(1+2) = cos(1)cos(2)sin(1)sin(2); sin(1+2) = sin(1)cos(2) + cos(1)sin(2):Exercice I.19 Montrer la proposition??. Pour cela on calculera la decomposition deu(~x) dans la base deFet on la comparera a la decomposition de~ydans la m^eme base.

Solution :

u(~x) =u(Xx j~ej) =Xx ju(~ej) =X jx j(X ia ij~fi) =X i(X ja ijxj)~fi=X iy i~fi; et l'unicite de la decomposition d'un vecteur sur une base donne y i=X ja ijxj soitY=AX.Exercice I.20

Soit la matriceA=3 4 5

1 2 6 ,uest l'application lineaire de IR3dans IR2dont la matrice estA lorsque l'on munit IR

3et IR2de leur base canonique. Calculeru(~x) pour~x= (1;1;2).

Solution :En appliquant la proposition??, les composantes deu(~x) dans la base canonique de IR

2sont donnees par le produit

3 4 5 1 2 6 0 @1 1 21
A =9 11 soitu(~x) = (9;11).Exercice I.21 On a montre, dans l'exercice??que la rotation plane d'angleest bijective. Donner la matrice inverse de la matrice de cette rotation. 5 Solution :On a montre aussi dans cet exercice que son inverse est la rotation d'angle. La matrice inverse est la matrice associee a l'application lineaire inverse, soit

A=cossin

sincos :Exercice I.22 Montrer que la matrice inverse d'une matrice, si elle existe, est unique. Solution :Pour montrer l'unicite, on suppose que la matrice possede deux inversesBetC, qui verient donc

AC=CA=I ; AB=BA=I:

Calculons alors le produitBACde deux manieres dierentes

BAC=B(AC) =BI=B; BAC= (BA)C=IC=C;

ce qui donneB=C.Exercice I.23 SoientXetYdeux vecteurs colonnes, les produitsXTYetXYTExistent-ils ? et, si oui,sont-ils egaux ? Solution :Pour que ces produits existent, il faut evidemment queXetYaient le m^eme nombren de composantes. Dans ce casXTYest une matrice a une ligne et une colonne, c'est donc un scalaire,

plus precisement vous reconnaissez le produit scalaire de deux vecteurs dont les composantes seraient

donnees par les elements deXetY. Par contreXYTest une matrice anlignes etncolonnes. Les deux matricesXTYetXYTetant de type dierent, elles ne peuvent pas ^etre egales !Exercice I.24

SoitEun espace vectoriel muni d'une baseE=f~e1;~e2g. On denit les vecteurs~e01=~e1+~e2,~e02= 2~e1~e2d'une nouvelle baseE0=f~e01;~e02g. DonnerP, matrice de passage deEdansE0.

Solution :Par denition de la matrice de passage (voir le paragraphe??), on a P=1 2 11 :Exercice I.25 On reprend les donnees de l'exercice??. On denitu2 L(E;E) par u(~e1) =~e1+ 3~e2;u(~e2) = 2~e1~e2

Quelle est la matriceAdeudans la baseE?

Exprimeru(~e01),u(~e02) en fonction de~e1et~e2.

En deduireu(~e01),u(~e02) en fonction de~e01et~e02.

En deduireA0.

CalculerP1AP.

6

Solution :

A=1 2 31
u(~e01) =u(~e1+~e2) =u(~e1) +u(~e2) =~e1+ 3~e2+ 2~e1~e2= 3~e1+ 2~e2:

De m^eme

u(~e02) = 7~e2: Vous calculez~e1et~e2en fonction de~e01et~e02, ce qui donne ~e

1=13~e01+~e02

; ~e 2=13

2~e01~e02

Il sut alors de remplacer dans le calcul deu(~e01) etu(~e02) de la question precedente. Les composantes deu(~e01) etu(~e02) sur~e01et~e02obtenues dans la question precedente vous donnent les colonnes deA0. Inversez la matricePcalculee dans l'exercice??, vous pouvez alors calculerP1AP, ce qui doit vous redonner la matriceA0.Exercice I.26

Determiner le rang des matricesAsuivantes :

A est la matrice de la rotation dans le plan.

A=0 @1 1 1 1 0 0

3 1 11

A A=0 @1 3 5 1

2 2 62

1 2 4 01

A

Solution :

le rang de la matrice de la rotation dans le plan est 2 puisque cette matrice est inversible et de taille 2. Le rang deAest 2, puisque les deux premieres colonnes sont lineairement independantes et que la troisieme colonne est identique a la deuxieme. Le rang deAest 2 puisque les deux premieres colonnes sont lineairement independantes et que les colonnes 3 et 4 sont des combinaisons lineaires des deux premieres colonnes (lesquelles ?). 7

Exercice I.27

Calculer les determinants suivants :

a c b d ,3a c 3b d 4 2 3 0 3 4 0 0 5 4 2 3 0 1 2 4 1 2 4 3 2 0 2 1 4 2 1 1 2 2 3 1 1 4 1 1 4 2 3 0 1 2 4 1 2 Solution :Ce sont des calculs evidents que vous pouvez verier avec scilab lorsque les matrices sont numeriques. Pour le dernier determinant, vous pouvez "sortir"(pourquoi ? ).Exercice I.28

Calculer les determinants suivants :

cossin sincos ,cossin sincos cossin0 sincos0 0 0 1 Solution :Les resultats sont : 1,, 1.Exercice I.29

1. Considerons une matriceA2 Mn;ntriangulaire inferieure (aij= 0 pouri < j), en utilisant la

denition du determinant montrer que detA=nY i=1a ii.

2. En deduire que :

pour les matrices diagonales (aij= 0 pouri6=j) on a aussi detA=nY i=1a ii, la matrice identite a pour determinant detI= 1. Solution :On itere la denition du determinant sur des matrices dont la dimension diminue jusqu'a

ce que l'on arrive sur un scalaire. Il est a noter qu'une matrice diagonale est un cas particulier des

matrices triangulaires.Exercice I.30 Montrer par un exemple que, en general, det (A+B)6= det (A) + det (B).

Solution :On peut prendre par exempleA=IetB=1 1

0 1 .Exercice I.31

Calculer

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 2 2

2 1 1 1

Solution :La reponse est6. et s'obtient en developpant par rapport une ligne qui a plusieurs 0.Exercice I.32

Montrer que le determinant d'une matrice triangulaire superieure est egal au produit de ses termes 8 diagonaux. Solution :Le determinant d'une matrice etant egal au determinant de sa transposee, on peut appliquer les resultats de l'exercice??.Exercice I.33 Montrer que deux matrices semblables ont m^eme determinant. Solution :Si deux matricesAetBsont semblables, alors il existe une matrice inversiblePtelle que

B=P1AP:

Il sut alors de calculer les determinants des deux membres et d'utiliser les regles sur le produit et

sur l'inverse des determinants.Exercice I.34 Calculer a nouveau le determinant de la matrice de l'exercice??, en developpant par rapport a une ligne ou une colonne de votre choix. Solution :La reponse est toujours6 ! et s'obtient en developpant par rapport une ligne (ou une colonne) qui a plusieurs 0.Exercice I.35

Quel est le rang de la matrice

A=0 @1 3 5 1

2 2 62

1 2 4 01

A Solution :Le rang de la matrice est au moins egal a 2 car1 3 2 2

6= 0. Pour montrer que le rang

deAest egal a 3, il faut trouver un determinant a 3 lignes et 3 colonnes non nul. Or les 4 determinants

de ce type sont nuls (les calculer). Le rang est donc denitivement 2.Exercice I.36

Calculer l'inverse deA=0

@2 1 2 1 2 3 3 121 A en utilisant les co-facteurs. Solution :Le determinant deAest egal a13. Alors l'inverse deAest donne par A

1=113BT;

ou B=0 @7 115 410 1
14 31

AExercice I.37

Resoudre le systeme lineaireAx= 0 ou

A=0 B

B@1 1 1

1 21 1 0 3

2 1 41

C CA: 9

En deduire le rang de la matriceA.

Un systemeAx= 0, dont la matriceA2 Mn;pest telle quen > p, a-t-il toujours une solution ? si oui est-elle unique ?

Solution :

x2KerA,8 >:x

1+x2+x3= 0

x

1+2x2x3= 0

x

1+3x3= 0

2x1+x2+4x3= 0,8

>:x

1+x2+x3= 0

x

22x3= 0

x2+2x3= 0 x2+2x3= 0 ,8 >:x

1+x2+x3= 0

x

22x3= 0

0 = 0

0 = 0,x1=3x3

x

2= 2x3,x=x30

@3 2 11 A La dimension du noyau deAest donc egal a 1 ( une base de ce noyau est8 :0 @3 2 11 A9= ). Or

3 = rangA+ dim (kerA);

ce qui donne rangA= 2. Nous venons de demontrer par l'exemple precedent, que la solution d'un systemeAx= 0, dont la matriceA2 Mn;pest telle quen > p, peut avoir une solution non unique. Il est clair que ce systeme

qui a plus d'equations que d'inconnues n'a pas toujours une solution (il est facile de construire des

contre-exemples a 3 equations et 2 inconnues).Exercice I.38quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9